中考数学专题复习练习:全等三角形

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中考数学专题复习练习:全等三角形

全等三角形 一、全等三角形知识梳理:‎ 全等三角形的概念:能够完全重合的两个三角形;‎ 全等三角形的性质:全等三角形对应边;对应角相等;对应边上的中线相等;对应边上的高相等;对应角的平分线相等. ‎ 三角形全等的条件:(1)SSS; (2) SAS; (3) ASA; (4) AAS; (5) HL 两个三角形不全等的情况:(1)有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形;‎ ‎ (2)有三个角对应相等的两个三角形.‎ 全等变换:只改变图形的位置,而不改变其形状大小的图形变换叫全等变换.平移、翻折、旋转前后的图形全等,具有全等的所有性质.‎ ‎(1)平移变换:把图形沿某直线平行移动.‎ ‎(2)对称变换:将图形沿直线翻着1800.‎ ‎(3)旋转变换:将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置.‎ 二、角平分线:‎ 角平分线的定义:一条射线,把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的角平分线.‎ 角平分线的性质:角平分线上的点到角的两边的举距离相等.到角两边距离相等的点在角的角平分线上.‎ 三角形角平分线性质:三角形三条角平分线交于三角形内部一点,并且交点到三边距离相等.‎ 三、几何证明的一般步骤:‎ ‎1. 根据题意,画出图形;‎ ‎2. 根据题设、结论、,结合图形,写出已知、求证.‎ ‎3. 经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.‎ 考点分析 ‎1. 全等的概念和性质;‎ ‎2.三角形全等的条件:只给出三角形三角三边六个条件中的一个或两个条件时,都不能保证所画出的三角形一定全等.‎ ‎3. 全等三角形的利用:‎ 证明角相等:(1)对顶角相等;(2)等角的余角(或补角)相等;(3)两直线平行,同位角相等,内错角相等;(4)角平分线的定义;(5)等式性质;(6)全等三角形的对应角相等;(7)等边对等角.‎ 证明线段线段:(1)中点定义;(2)等式性质;(3)全等三角形的对应边相等;(4)等角对等边;(5)角平分线的性质.‎ 证明垂直的方法:(1)证明两直线夹角等于900;(2)证明邻补角相等;(3)若三角形的两锐互余,则第三 个角是直角;(4)垂直于平行线中的一条直线也垂直于另一条直线;(5)证明该角所在的三角 形与已知直角三角形全等;(6)邻补角的平分线互相垂直.‎ 证明一条线段等于另外两条线段的和:采用截长补短法. (1)截长法:在较长的线段上截取一条线段等于较短线段;(2)补短法:延长较短线段和较长线段相等.‎ ‎4. 角平分线的性质及相关证明;‎ ‎(1)有角平分线时,常用角平分线上的点向角两边作垂线段,利用角平分线上的点到角两边距离相等证题.‎ ‎(2)有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形.‎ ‎5. 中线的性质相关证明:‎ ‎(1)取线段中点构造全等三有形;‎ ‎(2)有以线段中点为端点的线段时,常延长加倍此线段,构造全等三角形;‎ ‎(3)有三角形中线时,常延长加倍中线,构造全等三角形 (倍长中线).‎ 典型题型分析 类型1. 全等的概念和性质 例1. 如图,已知≌,,,‎ 则对应边为_____,对应角为_______.‎ 例2. 如图,已知,若,,‎ ‎,,求的度数. 例1图 例2图 例3. 如图, ≌,点A和点B、点C和点D分别是对应顶点,如果AB=6cm,BD=7cm,AD=4cm,那么BC的长为( ) ‎ A. 6cm B. 5cm C. 4cm D. 不能确定 变式题:如图,≌,并且AB=CD,那么下列结论错误的是( ) ‎ A. ∠1=∠2 B. ∠D=∠B C. CA=AC D. AC=BC B ‎ C ‎ A ‎ AD ‎ ‎1 ‎ ‎22 ‎ D ‎ C ‎ B ‎ A ‎ ‎ 例3图 变式题图 ‎【拓展提升】‎ 例4. 如图所示,绕顶点A顺时针旋转(旋转角度不大于1800),若∠B=300,∠C=400,问:‎ ‎(1)顺时针旋转多少度时,旋转后的的顶点与原的顶点B和A在同一条直线上?‎ ‎ (2)再继续旋转多少度时,、、在同一条直线上(原是指开始位置)?‎ C ‎ A ‎ ‎ ‎ B ‎ ‎ ‎ 类型2. 三角形全等的条件 利用“SSS”‎ 例1. 如图,点E、F在BC上,AB=DC,AF=DE,BE=CF.求证:≌.‎ A ‎ D ‎ B ‎ E ‎ F ‎ C ‎ ‎(1) ‎ A ‎ BB ‎ F ‎ E ‎ D ‎ C ‎ ‎(2) ‎ A ‎ B ‎ F ‎ E ‎ C ‎ D ‎ ‎(4) ‎ A ‎ B ‎ E ‎ F ‎ D ‎ C ‎ ‎(3) ‎ ‎ ‎ 变式题:已知点B,E,C,F在同一条直线上,AB=DF,AC=DE,BE=CF.求证:∠A=∠D.‎ A ‎ D ‎ B ‎ E ‎ C ‎ F ‎ ‎ ‎ 例2. 如图,AC=AD,BC=BD.求证:∠C=∠D.‎ B ‎ D ‎ C ‎ A ‎ A ‎ D ‎ B ‎ C ‎ E ‎ 例3. 如图,已知:AC,BD相交于O点,且.求证:∠B=∠C.‎ ‎【拓展提升】‎ 例1. 如图,已知:.求证:(1);(2)AE∥DF. ‎ 利用“SAS”‎ 例1. 在中,AB=AC,AD平分∠BAC,求证:≌‎ A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ 例2. 如图,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.求证::≌.‎ A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ E ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎ ‎ A ‎ F ‎ D ‎ B ‎ C ‎ EE ‎ 例3.如图,已知:. 求证:. ‎ ‎【拓展提升】‎ 例1. 如图,已知: ,求证:‎ 例2. 如图,已知:,. 求证:. ‎ 利用:“ASA” “ASA”‎ 例1. 由AB⊥BD,ED⊥BD,垂足分别为B、D点,点C在BD上,且BC=CD,点A、C、E在同一条直线上,求证:DE=AB.‎ A ‎ BBB ‎ E ‎ D ‎ C ‎ G ‎ F ‎ 例2. 和中,∠A=500, ∠B=300,AB=10, ∠B=500, ∠F=1000,DE=10,‎ 求证:≌‎ 变式题:如图, ∠ABC=∠DCB, ∠ACB=∠DBC,求证:AC=DB.‎ A ‎ B ‎ C ‎ DD ‎ 例3. 如图,在ΔAFD和ΔCEB中,点A、E、F、C在同一条直线上,有下面四个论断:(1)AD=CB,(2)AF=CE,‎ ‎(3) ∠B=∠D ,(4) AD∥BC.请用其中三个条件,余下一个作为结论,编一道数学题并写出解答过程.‎ A ‎ D ‎ BBB ‎ CC ‎ E ‎ F ‎ 例4. 如图,已知:. 求证:. ‎ 例5. 如图,两条直线AC,BD相交于O,BO=DO,AO=CO,直线EF过点O且分别交AB、CD于 点E,F,求证:OE=OF D ‎ F ‎ C ‎ O ‎ A ‎ E ‎ B ‎ 例6. 如图,已知:,.求证:点B是线段AC的中点.‎ 例7.如图,已知:,,,直线DC过E点交AD于D,交BC于C.‎ 求证:.‎ ‎【拓展提升】‎ 例1. 如图,已知:,.求证:.‎ 例2. 如图,已知: AD为的高,且,F为AD上一点,连结BF并延长交AC于E,.‎ ‎ 求证:‎ 例3. 如图所示:在△ABC和△DBC中,∠ACB=∠DBC=,E是BC的中点,EF⊥AB,垂足为F,‎ 且AB=DE. (1)求证:BD=BC; (2)若BD=8cm,求AC的长.‎ C ‎ E ‎ B ‎ A ‎ F ‎ D ‎ 例4. 某人在河的一岸,要测河面一只船B与码头A距离,他的做法是:(1)在岸边确定一点C,使C与A、B在同一直线上,(2)在AC的垂直方向画线段CD,取其中点O,(3)画DF⊥CD,使F、O、A在同一直线上,(4)在线段DF上找到一点E,使E与O、B共线.他说只要测出线段EF的长就是船B与码头A的距离.他这样做有道理吗?为什么?‎ A ‎ C ‎ B ‎ DD ‎ E ‎ F ‎ O ‎ 例5. 如图,在△ABC中,AC⊥BC,AC=BC,D为AB上一点,AF⊥CD交CD的延长线于F,BE⊥CD 于E.求证:EF=BE—AF A ‎ C ‎ F ‎ D ‎ E ‎ BB ‎ 利用:“HL”‎ 例1. 如图,已知AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,DE=BF,求证:AB∥CD.‎ D ‎ A ‎ E ‎ F ‎ B ‎ C ‎ B ‎ F ‎ G ‎ C ‎ D ‎ E ‎ A ‎ 例2. 如图,△ABC中,点D、E分别是AB、AC边上的点,BD=CE,DF⊥BC于点F,EG⊥BC,于点G,且DF=EG.求证:BE=CD.‎ 例3.如图,AB=AC,点D、E分别在AC、AB上,AG⊥BD,AF⊥CE,垂足分别为G、F,且AG=AF.‎ ‎ 求证:AD=AE.‎ BB ‎ C ‎ A ‎ E ‎ D ‎ F ‎ G ‎ ‎【拓展提升】‎ 例1. 已知,如图,△ABC和都是锐角三角形,CD、分别是高,且,‎ ‎ ,.求证:△ABC ≌.‎ A ‎ D ‎ B ‎ C ‎ A ‎ D ‎ B ‎ C ‎ 变式题:如果△ABC和都是钝角三角形,其余条件不变,结论:“△ABC ≌”还成立吗?‎ 如图,已知:,.求证:点B是线段AC的中点.‎ 巩固练习:‎ ‎1. 如图,已知:求证:. ‎ ‎2. 如图,已知:求证:.‎ ‎3. 如图,已知:D、E是BC上的两点,且求证:.‎ ‎4.已知:在中,M在BC上,D在AM上,(如图)求证:‎ ‎5. 如图所示,已知,E是AC上一点. 求证:. ‎ A ‎ D ‎ CC ‎ B ‎ ‎6. 如图,已知:.求证:.‎ ‎7. 已知:(如图). 求证:‎ 变式题:如图,已知,,.求证:.‎ ‎8. 如图,已知:,直线AE,BD相交于点C,,,交BD于F.‎ 求证:.‎ ‎9. 如图,已知:,EF过点O.求证:.‎ ‎10. 如图,已知:在中,AD是的平分线,于E,于C,求证:.‎ C ‎ D ‎ A ‎ E ‎ F ‎ B ‎ ‎11. 如图:AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别是E,F,求证:CE=DF.‎
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