2019年浙江绍兴中考数学试题（解析版）

2019年浙江绍兴中考数学试题（解析版）

‎{来源}2019年绍兴中考数学试卷 ‎{适用范围:3． 九年级}‎ ‎{标题}2019年浙江省绍兴市中考数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 ‎{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，合计40分． ‎ ‎{题目}1．（2019•绍兴T1）－5的绝对值是 ‎ A.5 B.－5 C. D.－ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了绝对值的意义，根据负数的绝对值等于它的相反数，得|－5|＝5．因此本题选A．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-1-2-4]绝对值}‎ ‎{考点:绝对值的意义}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}2．（2019•绍兴T2）某市决定为全市中小学教室安装空调，今年预计投入资金126 000 000元，其中数字126 000 000元用科学记数法可表示为（ ）‎ A．12.6×107 B．1.26×108 C．1.26×109 D．0.126×1010‎ ‎{答案} B ‎{解析}本题考查了科学记数法的表示方法，126000000=1.26×100000000=1.26×108，因此本题选B．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-1-5-2]科学计数法}‎ ‎{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}3．（2019•绍兴T3）如图的几何体由六个相同的小正方体搭成，它的主视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．从正面看有三列，从左起第一列有两个正方形，第二列有两个正方形，第三列有一个正方形，因此本题选A．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-29-2]三视图}‎ ‎{考点:简单组合体的三视图}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}4．（2019•绍兴T4）为了解某地区九年级男生的身体情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下： ‎ 组别（cm）‎ x＜160‎ ‎160≤x＜170‎ ‎170≤x＜180‎ x≥180‎ 人数 ‎5‎ ‎38‎ ‎42‎ ‎15‎ 根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（ ）‎ A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.15‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了利用频率估计概率，先计算出样本中身高不低于180cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．样本中身高不低于180cm的频率＝＝0.15，所以估计他的身高不低于180cm的概率是0.15．因此本题选D．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-25-3]用频率估计概率}‎ ‎{考点:利用频率估计概率}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}5．（2019•绍兴T5）如图，墙上钉着三根木条a，b，c，量得∠1＝70°，∠2＝100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（ ）‎ A．5° B．10° C．30° D．70°‎ ‎{答案} B ‎{解析}本题考查了三角形内角和定理和对顶角的性质，设a，b所在直线所夹的锐角是∠α，由对顶角相等，得到∠3＝∠2＝100°，再根据∠α＋∠1＋∠3＝180°，求得∠α＝180°－70°－100°＝10°，因此本题选B．‎ α ‎3‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-11-2]与三角形有关的角}‎ ‎{考点:三角形内角和定理}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}6．（2019•绍兴T6）若三点（1，4），（2，7），（a，10）在同一直线上，则a的值等于（ ）‎ A. －1 B. 0 C. 3 D. 4‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了用待定系数法求一次函数解析式；设经过（1，4），（2，7）两点的直线解析式为y＝kx＋b，∴∴∴y＝3x＋1，将点（a，10）代入解析式，则a＝3；因此本题选C．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-19-2-2]一次函数}‎ ‎{考点:待定系数法求一次函数的解析式}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}7．（2019•绍兴T7）在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x＋5)(x－3)经过变换后得到抛物线y＝(x＋3)(x－5)，则这个变换可以是（ ）‎ A.向左平移2个单位 B.向右平移2个单位 C.向左平移8个单位 D.向右平移8个单位 ‎{答案}4‎ ‎{解析}本题考查了二次函数图象与几何变换，y＝(x＋5)(x－3)＝(x＋1)2－16，顶点坐标是(－1，－16)；y＝(x＋3)(x－5)＝(x－1)2－16，顶点坐标是(1，－16)．所以将抛物线y＝(x＋5)(x－3)向右平移2个单位长度得到抛物线y＝(x＋3)(x－5)，因此本题选B．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{考点:二次函数图象的平移}‎ ‎{类别:思想方法}{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}8．（2019•绍兴T8）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°，若BC＝2，则的长为（ ）‎ A.π B. π C.2π D. 2π ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了弧长的计算和圆周角定理，如图，连接OB、OC，由三角形内角和定理，求得∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－65°－70°＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，∴OB＝ ＝＝2，∴的长＝π，因此本题选A．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}‎ ‎{考点:圆周角定理}‎ ‎{考点:弧长的计算}‎ ‎{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}9．（2019•绍兴T9）正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（ ）‎ A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变 ‎{答案} D ‎{解析}本题考查了相似三角形的性质，由题意，得∠BCD＝∠ECF＝90°，∴∠BCE＝∠DCF，又∵∠CBE＝∠CFD＝90°，∴△CBE∽△CFD，∴＝，∴CE×CF ＝CB×CD，即矩形ECFG的面积＝正方形ABCD的面积，因此本题选D．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}‎ ‎{考点:相似三角形的判定（两角相等）}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}10．（2019•绍兴T10）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（ ）‎ A. B. C. D. ‎{答案} A ‎{解析}本题考查了勾股定理的应用，解决此题的突破点在于根据题意得到关系式：长方体中水的容积＝倾斜后底面积为ADCB的四棱柱的体积，列方程，得到DE的长，‎ E D C B A H F 如图，设DE＝x，则AD＝8－x，(8－x＋8)×3×3＝3×3×6，解得x＝4．∴DE＝4．‎ 在Rt△DEC中，CD＝＝＝5，‎ 过点C作CH⊥BF于点H，则由△CBH∽△CDE，得到＝，即＝，∴CH＝，因此本题选A．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-27-1-3]相似三角形应用举例}‎ ‎{考点:勾股定理的应用}‎ ‎{考点:相似三角形的应用}‎ ‎{考点:几何选择压轴}‎ ‎{类别:思想方法}{类别:高度原创}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，合计30分．‎ ‎{题目}11．（2019•绍兴T11）因式分解：x2－1＝ .‎ ‎{答案}(x+1)(x-1)‎ ‎{解析}本题考查了用平方差公式分解因式，根据平方差公式，有x2-1＝x2-12＝(x+1)(x-1).‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-14-3]因式分解}‎ ‎{考点:因式分解－平方差}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}12．（2019•绍兴T12）不等式3x－2≥4的解为 .‎ ‎{答案} x≥2.‎ ‎{解析}本题考查了解一元一次不等式，先移项得，3x≥4＋2，再合并同类项得，3x≥6，把x的系数化为1得，x≥2．‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-9-2]一元一次不等式}‎ ‎{考点:解一元一次不等式}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}13．（2019•绍兴T13）我国的《洛书》中记载着世界最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入3×3的方格中，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，如图的幻方中，字母m所表示的数是 .‎ ‎{答案}4‎ ‎{解析}本题考查了幻方的特点，数的对称性是解题的关键．根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，可知三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于15，∴第一列第三个数为：15－2－5＝8，∴m＝15－8－3＝4．‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-1-3-1]有理数的加法}‎ ‎{考点:有理数加法的实际应用}‎ ‎{类别:数学文化}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}14．（2019•绍兴T14）如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠PAD＝30°，以点B为圆心，AB为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则∠ADE的度数为 . ‎ ‎ ‎ ‎{答案}45°或15°.‎ ‎{解析}本题考查了以正方形为背景的角度计算，正确画出图形是解题的关键．如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠PAD＝30°，∴∠BAM＝60°，又∵BA＝BM，∴△ABM是等边三角形．当点E在直线PA的上方时，点E与点B重合，显然∠ADE＝∠ADB＝45°；当点E在直线PA的下方时，∠BDE＝180°－∠BME＝180°－2×60°＝60°，∴∠ADE＝∠BDE－∠ADB＝60°－45°＝15°，因此答案为45°或15°．‎ ‎ ‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-18-2-3] 正方形}‎ ‎{考点:等边三角形的判定}‎ ‎{考点:正方形的性质}‎ ‎{考点:几何综合}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}15．（2019•绍兴T15）如图，矩形ABCD的顶点A，C都在曲线y＝（常数k＞0，x＞0）上，若顶点D的坐标为（5，3），则直线BD的函数表达式是 .‎ ‎{答案}y＝x.‎ ‎{解析}本题考查了反比例函数中几何图形问题，设C(5，)，A(，3)，则A(，)；设直线BD的函数表达式为y＝ax＋b，则解得因此直线BD的函数表达式是y＝x．‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{考点:矩形的性质}‎ ‎{考点:待定系数法求一次函数的解析式}‎ ‎{考点:双曲线与几何图形的综合}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}16．（2019•绍兴T16）把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点O为正方形的中心，点E，F分别是AB，AD的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是 ． ‎ ‎{答案}10或6＋2或8＋2．‎ ‎{解析}本题考查了图形的剪拼，抓住图形的特征是解题的关键，如下图，共有3种周长不同的拼法，拼成的四边形的周长分别为10或6＋2或8＋2．‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-18-2-3] 正方形}‎ ‎{考点:勾股定理的应用}‎ ‎{考点:图形的剪拼}‎ ‎{考点:几何填空压轴}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共8小题，合计80分．‎ ‎{题目}17．（2019•绍兴T17（1））（1）计算：4sin60°＋(π－2)0－(－)－2－.‎ ‎{解析}本题考查了实数的运算，根据实数运算法则直接解答．‎ ‎{答案}解：原式＝4×＋1－4－2＝－3.‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-28-3]锐角三角函数}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:正弦}‎ ‎{考点:简单的实数运算}‎ ‎{题目}17．（2019•绍兴T17（2））（2）x为何值时，两个代数式x2＋1，4x＋1的值相等？‎ ‎{解析}本题考查了一元二次方程的解法，由题意得到x2＋1＝4x＋1，利用因式分解法解方程即可．‎ ‎{答案}解：由题意，得x2＋1＝4x＋1，x2－4x＝0，x(x－4)＝0，x1＝0，x2＝4．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-21-2-3] 因式分解法}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:解一元二次方程－因式分解法}‎ ‎{题目}18．（2019•绍兴T18）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．‎ ‎（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当0≤x≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程．‎ ‎（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．‎ ‎{解析}本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；（2）运用待定系数法求出y关于x的函数表达式，再把x＝180代入即可求出当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．‎ ‎{答案}解： （1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米．‎ ‎1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：＝6千米；‎ ‎（2）设y＝kx＋b（k≠0），把点(150，35)，(200，10)代入，‎ 得∴∴y＝－0.5x＋110．‎ 当x＝180时，y＝－0.5×180＋110＝20．‎ 答：当150≤x≤200时，函数表达式为y＝－0.5x＋110，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时．‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-19-4]课题学习 选择方案}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:待定系数法求一次函数的解析式}‎ ‎{考点:分段函数的应用}‎ ‎{题目}19．（2019•绍兴T19）小明、小聪参加了100m跑的5期集训，每期集训结束市进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图：‎ 根据图中信息，解答下列问题：‎ ‎（1）这5期的集训共有多少天？小聪5次测试的平均成绩是多少？‎ ‎（2）根据统计数据，结合体育运动的实际，从集训时间和测试成绩这两方面，说说你的想法.‎ ‎{解析}本题考查了条形统计图、折线统计图、算术平均数，抓住图中信息是解题的关键．（1）根据图中的信息可以求得这5期的集训共有多少天和小聪5次测试的平均成绩；（2）根据图中的信息和题意，说明自己的观点即可，本题答案不唯一，只要合理即可．‎ ‎{答案}解：（1）这5期的集训共有：5＋7＋10＋14＋20＝56（天），‎ 小聪这5次测试的平均成绩是：（11.88＋11.76＋11.61＋11.53＋11.62）÷5＝11.68（秒），‎ 答：这5期的集训共有56天，小聪5次测试的平均成绩是11.68秒；‎ ‎（2）一类：结合已知的两个统计图的信息及体育运动实际，如：集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能会造成劳累，导致成绩下滑．‎ 二类：结合已知的两个统计图的信息，如：集训时间为10天或14天时，成绩最好．‎ 三类：根据已知的两个统计图中的其中一个统计图的信息，如：集训时间每期都增加．‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-20-1-1]平均数}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:条形统计图}‎ ‎{考点:折线统计图}‎ ‎{考点:算术平均数}‎ ‎{题目}20．（2019•绍兴T20）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．‎ ‎（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．‎ ‎（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？‎ ‎（精确到0.1cm，参考数据：≈1.41，≈1.73）‎ ‎{解析}本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．‎ ‎（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题．‎ ‎（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H，则四边形PCHG是矩形，求出DF，再求出DF－DE即可解决问题．‎ ‎{答案}解：（1）如图2中，作BO⊥DE，垂足为O．‎ ‎∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，∴四边形ABOE是矩形，‎ ‎∴∠OBA＝90°，∴∠DBO＝150°－90°＝60°，‎ ‎∴OD＝BD•sin60°＝40•sin60°＝20（cm），‎ ‎∴DF＝OD＋OE＝OD＋AB＝20＋5≈39.6（cm）．‎ ‎（2）下降了．‎ 如图3，过点D作DF⊥l于F，过点C作CP⊥DF于P，过点B作BG⊥DF于G，过点C作CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，‎ ‎∵∠CBH＝60°，∠CHB＝90°，∴∠BCH＝30°，‎ 又∵∠BCD＝165°，∴∠DCP＝45°，‎ ‎∴CH＝BCsin60°＝10（cm），DP＝CDsin45°＝10（cm），‎ ‎∴DF＝DP＋PG＋GF＝DP＋CH＋AB＝10＋10＋5（cm），‎ ‎∴下降高度：DE－DF＝20＋5－10－10－5＝10－10≈3.2（cm）．‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-28-2-1]特殊角}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:高度原创}{类别:常考题}‎ ‎{考点:解直角三角形的应用—测高测距离}‎ ‎{题目}21．（2019•绍兴T21）在屏幕上有如下内容：‎ 如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D．张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．‎ ‎（1）在屏幕内容中添加条件∠D＝30°，求AD的长．请你解答．‎ ‎（2）以下是小明、小聪的对话：‎ 小明：我加的条件是BD＝1，就可以求出AD的长 小聪：你这样太简单了，我加的是∠A＝30°，连结OC，就可以证明△ACB与△DCO全等．‎ 参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线、添字母），并解答．‎ ‎{解析}本题考查了切线的性质及应用，添加过切点的半径是常用辅助线．（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCD＝90°，再根据含30°的直角三角形三边的关系得到OD＝2，然后计算OA+OD即可；‎ ‎（2）添加∠DCB＝30°，求AC的长，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明∠A＝∠DCB＝30°，然后根据含30°的直角三角形三边的关系求AC的长；本题答案不唯一．‎ ‎{答案}解：（1）连接OC，如图，‎ ‎∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，‎ ‎∵∠D＝30°，∴OD＝2OC＝2，‎ ‎∴AD＝AO+OD＝1+2＝3；‎ ‎（2）本题答案不唯一，如：‎ 添加∠DCB＝30°，求AC的长．‎ 解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，‎ ‎∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠DCB＝90°，‎ ‎∴∠ACO＝∠DCB，‎ ‎∵∠ACO＝∠A，‎ ‎∴∠A＝∠DCB＝30°，‎ 在Rt△ACB中，BC＝AB＝1，‎ ‎∴AC＝BC＝．‎ ‎ {分值}10‎ ‎{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:圆周角定理}‎ ‎{考点:切线的性质}‎ ‎{题目}22．（2019•绍兴T22）有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B＝90°，∠C＝135°，∠E＞90°．要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．‎ ‎（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．‎ ‎（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．‎ ‎{解析}本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形面积公式以及二次函数的应用等知识；（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，过点C作CF⊥AE于F，得出S1＝AB•BC＝6×5＝30；②若所截矩形材料的一条边是AE，过点E作EF∥AB交CD于F，FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H，则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，证出△CHF为等腰三角形，得出AE＝FG＝6，HG＝BC＝5，BG＝CH＝FH，求出BG＝CH＝FH＝FG－HG＝1，AG＝AB－BG＝5，得出S2＝AE•AG＝6×5＝30；（2）在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G，则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，证出△CGF为等腰三角形，得出MG＝BC＝5，BM＝CG，FG＝DG，设AM＝x，则BM＝6－x，FM＝GM+FG＝GM+CG＝BC+BM＝11－x，得出S＝AM×FM＝x(1－x)－x2+11x，由二次函数的性质即可得出结果．‎ ‎{答案}解：（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，如图1所示：‎ 过点C作CF⊥AE于F，S1＝AB•BC＝6×5＝30；‎ ‎②若所截矩形材料的一条边是AE，如图2所示：‎ 过点E作EF∥AB交CD于点F，FG⊥AB于点G，过点C作CH⊥FG于点H，‎ 则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，‎ ‎∵∠C＝135°，∴∠FCH＝45°，‎ ‎∴△CHF为等腰直角三角形，‎ ‎∴AE＝FG＝6，HG＝BC＝5，BG＝CH＝FH，‎ ‎∴BG＝CH＝FH＝FG－HG＝6－5＝1，‎ ‎∴AG＝AB－BG＝6－1＝5，‎ ‎∴S2＝AE•AG＝6×5＝30；‎ ‎（2）能；理由如下：‎ 在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AE于点N，过点C作CG⊥FM于点G，‎ 则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，‎ ‎∵∠C＝135°，‎ ‎∴∠FCG＝45°，‎ ‎∴△CGF为等腰直角三角形，‎ ‎∴MG＝BC＝5，BM＝CG，FG＝DG，‎ 设AM＝x，则BM＝6－x，‎ ‎∴FM＝GM+FG＝GM+CG＝BC+BM＝11－x，‎ ‎∴S＝AM×FM＝x(11－x)＝－x2+11x＝－(x－5.5)2+30.25，‎ ‎∴当x＝5.5时，S的最大值为30.25．‎ ‎{分值}12‎ ‎{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{考点:矩形的性质}‎ ‎{考点:与平行四边形有关的面积问题}‎ ‎{考点:二次函数与平行四边形综合}‎ ‎{题目}23．（2019•绍兴T23）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10．‎ ‎（1）在旋转过程中，‎ ‎①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．‎ ‎②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．‎ ‎（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．‎ ‎{解析}本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识．‎ ‎（1）①分两种情形分别求解即可．②显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，根据AM2＝AD2－DM2，计算即可，当∠ADM＝90°时，根据AM2＝AD2＋DM2，计算即可．‎ ‎（2）连接CD．首先利用勾股定理求出CD1，再利用全等三角形的性质证明BD2＝CD1即可．‎ ‎{答案}解：（1）①AM＝AD＋DM＝40，或AM＝AD－DM＝20．‎ ‎②显然∠MAD不能为直角．‎ 当∠AMD为直角时，AM2＝AD2－DM2＝302－102＝800，‎ ‎∴AM＝20或（AM＝－20舍去）．‎ 当∠ADM＝90°时，AM2＝AD2＋DM2＝302＋102＝1000，‎ ‎∴AM＝10或（AM＝－10舍去）．‎ 综上所述，满足条件的AM的值为20或10．‎ ‎（2）如图2中，连接CD1．‎ 由题意：∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，‎ ‎∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30，‎ ‎∵∠AD2C＝135°，∴∠CD2D1＝90°，‎ ‎∴CD1＝＝30，‎ ‎∵∠BAC＝∠D2AD1＝90°，‎ ‎∴∠BAC－∠CAD2＝∠D2AD1－∠CAD2，‎ ‎∴∠BAD2＝∠CAD1，‎ 又∵AB＝AC，AD2＝AD1， ‎ ‎∴△BAD2≌△CAD1（SAS），‎ ‎∴BD2＝CD1＝30．‎ ‎{分值}12‎ ‎{章节:[1-17-1]勾股定理}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{考点:勾股定理}‎ ‎{考点:全等三角形的判定SAS}‎ ‎{考点:几何综合}‎ ‎{题目}24．（2019•绍兴T24）如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记k＝MN∶EF．‎ ‎（1）若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值．‎ ‎（2）若a：b的值为，求k的最大值和最小值． ‎ ‎（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE＝60°，MP＝EF＝3PE时，求a∶b的值．‎ ‎{解析}本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，是一道几何综合题．（1）作EH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O．证明△FHE≌△MQN（ASA），即可解决问题．‎ ‎（2）由题意：2a≤MN≤a，a≤EF≤a，当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大最大值＝，当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为．‎ ‎（3）连接FN，ME．由k＝3，MP＝EF＝3PE，推出＝＝3，推出＝＝2，由△PNF∽△PME，推出＝＝2，ME∥NF，设PE＝2m，则PF＝4m，MP＝6m，NP＝12m，接下来分两种情形①如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与B重合．②如图3中，当点N与C重合，分别求解即可．‎ ‎{答案}解：（1）如图1中，‎ 作EH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，∴FH＝AB，MQ＝BC，‎ ‎∵AB＝CB，∴EH＝MQ，‎ ‎∵EF⊥MN，∴∠EON＝90°，‎ ‎∵∠ECN＝90°，∴∠MNQ+∠CEO＝180°，∠FEH+∠CEO＝180°，‎ ‎∴∠FEH＝∠MNQ，‎ ‎∵∠EHF＝∠MQN＝90°，∴△FHE≌△MQN（ASA），‎ ‎∴MN＝EF，∴k＝MN∶EF＝1．‎ ‎（2）∵a∶b＝1∶2，∴b＝2a，‎ 由题意：2a≤MN≤a，a≤EF≤a，‎ ‎∴当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大最大值＝，‎ 当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为．‎ ‎（3）连接FN，ME．‎ ‎∵k＝3，MP＝EF＝3PE，‎ ‎∴＝＝3，∴＝＝2，‎ ‎∵∠FPN＝∠EPM，∴△PNF∽△PME，‎ ‎∴＝＝2，ME∥NF，‎ 设PE＝2m，则PF＝4m，MP＝6m，NP＝12m，‎ ‎①如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与B重合．作FH⊥BD于H．‎ ‎∵∠MPE＝∠FPH＝60°，∴PH＝2m，FH＝2m，DH＝10m，‎ ‎∴＝＝ ＝．‎ ‎②如图3中，当点N与C重合，作EH⊥MN于H．则PH＝m，HE＝m，‎ ‎∴HC＝PH＋PC＝13m，∴tan∠HCE＝＝＝，‎ ‎∵ME∥FC，∴∠MEB＝∠FCB＝∠CFD，‎ ‎∵∠B＝∠D，∴△MEB∽△CFD，‎ ‎∴＝＝2，∴＝ ＝＝，‎ 综上所述，a∶b的值为或．‎ ‎{分值}14‎ ‎{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{考点:矩形的性质}‎ ‎{考点:相似三角形的性质}‎ ‎{考点:其他二次函数综合题}‎ ‎{考点:几何综合}‎