2019年湖北随州中考数学试题（解析版）

2019年湖北随州中考数学试题（解析版）

‎{来源}2019年随州市中考数学 ‎{适用范围:3． 九年级}‎ ‎{标题}随州市二〇一九年初中学业水平考试 考试时间：120分钟 满分：120分 ‎{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．‎ ‎{题目}1．（2019·随州市，1）－3的绝对值是(　　)‎ A．3 B．－3　　　 C．±3 D．9‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值等于这个数在数轴上所表示的点到原点的距离，因为-3在数轴上所表示的点到原点的距离是3，因此本题选A．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-2-4]绝对值}‎ ‎{考点:绝对值的意义}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}2．（2019·随州市，2）地球的半径约为6370000m，用科学记数法表示正确的是(　　)‎ A．637×104m B．63.7×105m　　　　 C．6.37×106m D．6.37×107m ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了科学记数法，6370000m=6.37×106m，因此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-5-2]科学计数法}‎ ‎{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}3．（2019·随州市，3）如图，直线l1∥l2，直角三角板的直角顶点C在直线l1上，一锐角顶点B在直线l2上，若∠1=35°，则∠2的度数是 (　　)‎ A．65° B．55° C．45° D．35°‎ ‎（第3题图）‎ ‎{答案}B ‎（第3题解）‎ ‎{解析}本题考查了平行线的性质．如图，∵∠ACB=90°，∠1=35°，∴∠DCB=∠ACB-∠1=55°，∵l1∥l2，∴∠2=∠DCB=55°，因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-5-3]平行线的性质}‎ ‎{考点:角的计算}‎ ‎{考点:两直线平行同位角相等}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}4．（2019·随州市，4）下列运算正确的是(　　)‎ A．4m-m=4　　 B．(a2)3=a5 C．(x+y)2=x2+y2　　　 D．-(t-1)=1-t ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了合并同类项，幂的乘方，完全平方公式，去括号．A．4m-m=3m，错误；B．(a2)3=a6，错误；C．(x+y)2=x2+2xy+y2，错误；D．-(t-1)=1-t，正确；因此本题选D ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-14-1]整式的乘法}‎ ‎{考点:合并同类项}‎ ‎{考点:幂的乘方}‎ ‎{考点:完全平方公式}‎ ‎{考点:去括号}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}5．（2019·随州市，5）某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们投中的次数统计如下表：‎ 投中次数 ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 人数 ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ 则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为 (　　)‎ A．5，6，6　　　　 B. 2，6，6 C．5，5，6　　　　 D．5，6，5‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了众数、中位数和平均数．众数是指一组数据中出现次数最多的数据，由表可知，5次的次数最多，所以众数为5；将上述数据按从小到大的顺序排列，即为：3、5、5、5、6、6、7、7、8、8，由中位数的定义可得中位数为=6；平均数为：（3×1+5×3+6×2+7×2+8×2）=6，因此本题选A．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}‎ ‎{考点:加权平均数（频数为权重）}‎ ‎{考点:中位数}‎ ‎{考点:众数}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}6．（2019·随州市，6）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为(　　)‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎（第6题图）‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了三视图，圆锥的全面积计算．由题意可得，这一几何体是以1为底面半径，3为母线长的圆锥，所以它的表面积为：×12+×1×3=4，因此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-29-2]三视图}‎ ‎{考点:简单几何体的三视图}‎ ‎{考点:由三视图判断几何体}‎ ‎{考点:圆锥侧面展开图}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}7．（2019·随州市，7）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是(　　)‎ A．　　　　 B．　　　　 C． D．‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了距离与时间的图象．由题意可得，乌龟的路程随着时间的变化而变化，兔子一开始让乌龟先跑，所以最初一段时间，兔子的路程为0，因为兔子又输给了乌龟，所以乌龟比兔子先到达终点，符合题意的是选项B，因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-19-1-2] 函数的图象}‎ ‎{考点:距离时间图象}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}8．（2019·随州市，8）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，BD，AE交于点O，若随机向平行四边形ABCD内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为 (　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎（第8题图）‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查概率，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．如图，不妨设阴影部分△BEO的面积为S，在□ABCD中，BC=AD，BC∥AD，∵点E是BC的中点，∴BE=BC=AD，∵BC∥AD，∴∠OBE=∠ODA，∠OEB=∠OAD，∴△OBE∽△ODA，∴==，===，∴S△ADO=4S，∴S△ABO=2S，∴S□ABCD=2S△ABD=2（4S+2S）=12S，∴P（米粒落在阴影部分）===，因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-25-1-2]概率}‎ ‎{考点:平行四边形边的性质}‎ ‎{考点:相似三角形的判定（两角相等）}‎ ‎{考点:相似三角形的性质}‎ ‎{考点:相似三角形面积的性质}‎ ‎{考点:几何概率}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}9．（2019·随州市，9）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：==，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设x=，易知＞，故x＞0，由x2==+-=，解得x=，即=．根据以上方法，化简后的结果为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算．由题意得：‎ ‎==5-2；‎ 设x=，易知＜，故x＜0，‎ 由x2==+-=6，‎ 解得x=，即=，‎ 则=5-2-=5-3．因此本题选D．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-16-3]二次根式的加减}‎ ‎{考点:分母有理化}‎ ‎{考点:二次根式的加减法}‎ ‎{考点:二次根式的混合运算}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题目}10．（2019·随州市，10）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A ，B两点，与y轴交于点C ，OA=OC，对称轴为直线x=1，则下列结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③ac+b+1=0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根．其中正确的有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎（第10题图）‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了二次函数的图象与不等式，一元二次方程的关系．如图，由二次函数图象开口向下，可得a＜0，对称轴为直线x=1＞0，得a，b异号，即b＞0，又因为抛物线与y轴交点在y轴的正半轴，所以c＞0，故abc＜0，即①正确；∵OA=OC，又∵OC=c，∴A（-c，0），∵对称轴为直线x=1，∴点A的对称点B是（2+c，0），则1＜2＜2+c，∴当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，∴a+b+c＞0，即②正确；∵当x= -c时，y=0，即ac2-bc+c=0，∵c＞0，∴ac-b+1=0，显然b≠0，∴ac+b+1≠0，故③错误；∵当x=2+c时，y=0，∴2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，故④正确；综上所述，正确的有①，②，④，共3个，因此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{考点:二次函数的定义}‎ ‎{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}‎ ‎{考点:二次函数的系数与图象的关系}‎ ‎{考点:抛物线与一元二次方程的关系}‎ ‎{考点:抛物线与不等式（组）}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．‎ ‎{题目}11．（2019·随州市，11）计算：（-2019）0-2cos60°= ．‎ ‎{答案}0‎ ‎{解析}本题考查了实数的综合运算能力．本题涉及零指数幂，特殊的三角函数值，原式=1-2×=0．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-28-2-1]特殊角}‎ ‎{考点:零次幂}‎ ‎{考点:特殊角的三角函数值}‎ ‎{考点:简单的实数运算}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}12．（2019·随州市，12）如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA=50°，则∠C的度数为 ．‎ ‎（第12题图）‎ ‎{答案}40°‎ ‎{解析}本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理．如图，在⊙O中，OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=50°，∴∠AOB=80°，∴∠C=∠AOB=40°．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-24-1-4]圆周角}‎ ‎{考点:等边对等角}‎ ‎{考点:三角形内角和定理}‎ ‎{考点:圆周角定理}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}13．（2019·随州市，13）2017年，随州学子尤东梅参加《最强大脑》节目，成功完成了高难度的项目挑战，展现了惊人的记忆力．在2019年的《最强大脑》节目中，也有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左往右依次为 和 ．‎ ‎（第13题图）‎ ‎{答案}1，8‎ ‎{解析}本题考查有理数的运算．因为外圆两直径上的四个数字之和相等，所以左边空白圆圈内的数字为：4+8-11=1，又因为内、外两个圆周上的四个数字之和相等，所以右边空白圆圈内的数字为：4+8+11+1-（3+6+7）=8，所以图中两空白圆圈内应填写的数字从左往右依次为1和8．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-3-2]有理数的减法}‎ ‎{考点:有理数的加减混合运算}‎ ‎{类别:数学文化}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}14．（2019·随州市，14）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐标为（1，0），点A在x轴正半轴上，且AC=2．将△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移3个单位，则变换后点A的对应点的坐标为 ．‎ ‎（第14题图）‎ ‎{答案}（-2，2）‎ ‎{解析}本题考查了图形的变换．如图，将△ABC先绕点C逆时针旋转90°得到△A1B1C1，此时A1（1，2），再将△A1B1C1向左平移3个单位得到△A2B2C2，此时A2（-2，2），所以点A的对应点的坐标为（-2，2）．‎ ‎（第14题解）‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-23-1]图形的旋转}‎ ‎{考点:坐标系内的旋转}‎ ‎{考点:坐标系内图形的平移}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}15．（2019·随州市，15）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，D为AB的中点，反比例函数y=（k＞0）的图象经过点D，且与BC交于点E，连接OD，OE，DE，若△ODE的面积为3，则k的值为 ．‎ ‎（第15题图）‎ ‎{答案}4‎ ‎{解析}本题考查了反比例函数的几何意义，反比例函数与几何图形的结合．如图，作DF⊥x轴，垂足为点F．∵S四边形ODEC =S△ODF+S四边形CEDF =S△ODE+S△OEC，又∵点D、E均在反比例函数y=的图象上，∴S△ODF =S△OEC =，∴S四边形CEDF =S△ODE =3．不妨设D（m，），∵D为AB的中点，∴B ‎（2m，），∵BC⊥x轴，∴E（2m，），∴DF=，CE=，CF=2m-m=m，‎ ‎∴S四边形CEDF=（CE+DF）·CF==3，∴k=4．‎ ‎ （第15题解）‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-26-2]实际问题与反比例函数}‎ ‎{考点:反比例函数的几何意义}‎ ‎{考点:双曲线与几何图形的综合}‎ ‎{考点:方程的解}‎ ‎{考点:代数填空压轴}‎ ‎{考点:几何填空压轴}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题目}16．（2019·随州市，16）如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点（不与端点重合），将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．给出下列判断：①∠EAG=45°；②若DE=a，则AG∥CF；③若E为CD的中点，则△GFC的面积为a2；④若CF=FG，则DE=（-1）a；⑤BG·DE+AF·GE=a2．其中正确的是 ．（写出所有正确判断的序号）‎ ‎（第16题图）‎ ‎{答案}①②④⑤‎ ‎{解析}本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等．如图，在正方形ABCD中，AD=CD=BC=AB=a，∠D=∠BAD=∠B=∠BCD=90°，由对折得△ADE≌△AFE，∴AD=AF，∠DAE=∠FAE，∠D=∠AFE=90°，∴∠AFG=180°-∠AFE=90°，∵AD=AB，∴AB=AF，在△ABG和△AFG中，AB=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG≌△AFG（HL），∴∠BAG=∠FAG，∵∠DAE +∠FAE +∠FAG +∠BAG =90°，∴∠GAE=45°，即①正确；‎ 若DE=a，不妨设BG=m，∵△ABG≌△AFG（已证），∴∠AGF=∠AGB，GF=BG=m，∵DE=‎ a，∴FE=DE=a，∴EG=a + m，CE=a，CG=a-m，∵∠ECG=90°，∴CG2+CE2=EG2，即（a-m）2+（a）2=（a + m）2，∵a＞0，得：m=a，∴CG= a-m=a，GF=m=a，∴CG= GF，∴∠GFC=∠GCF，∵∠BGF=∠GFC+∠GCF=2∠GFC，∠BGF=∠AGB+∠AGF=2∠AGF，∴∠GFC =∠AGF，∴AG∥CF，即②正确；‎ 若E为CD的中点，即DE=EF=a，不妨设BG=m，则EG=a + m，CE=a，CG=a-m，∵∠ECG=90°，∴CG2+CE2=EG2，即（a-m）2+（a）2=（a + m）2，∵a＞0，得：m=a，∴CG= a-m=a，GF=m=a，∵S△CGE=CG·CE=×（a）×（a）=a2，∵GF︰EF=a︰a =2︰3，∴GF︰GE=2︰5，∴S△GFC=S△CGE =×a2=a2≠a2，则③错误；‎ 若CF=FG，∴∠FGC=∠FCG，∵∠FGC+∠FEC=∠FCG+∠FCE=90°，∴∠FEC=∠FCE，∴EF=FC，∴FG=EF，∴不妨设DE=EF=BG=FG=m，则GE=2m，CG=CE=a-m，∴△CEG是等腰直角三角形，∴EG=CG=（a-m），∴2m =（a-m），∴m=（-1）a，即DE=（-1）a，则④正确；‎ 不妨设DE=EF=x，BG=FG=y，∵∠ECG=90°，∴（a-x）2+（a-y）2=（x + y）2，得a2-a（x+y）-xy=0，∵CG·CE-BG·DE=（a-y）（a-x）-xy=[ a2-a（x+y）-xy] =0，∴CG·CE= BG·DE，∵S△ABG+S△ADE=S△AFG+S△AFE=S△AGE=AF·GE，∴S正方形ABCD= S△ABG + S△AFG + S△AFE + S△ADE + S△CEG = AF·GE +CG·CE = AF·GE + BG·DE，又∵S正方形ABCD =a2，∴BG·DE+AF·GE=a2，即⑤正确．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-18-2-3] 正方形}‎ ‎{考点:正方形的性质}‎ ‎{考点:正方形有关的综合题}‎ ‎{考点:生活中的轴对称}‎ ‎{考点:全等三角形的性质}‎ ‎{考点:全等三角形的判定HL}‎ ‎{考点:等边对等角}‎ ‎{考点:勾股定理}‎ ‎{考点:平行线的性质与判定}‎ ‎{考点:几何填空压轴}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{题型:3-解答题}三、解答题：本大题有8小题，共72分．‎ ‎{题目}17．（2019·随州市，17）解关于x的分式方程：=．‎ ‎{解析}本题考查了解分式方程．方程两边同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程进行求解，最后进行检验．‎ ‎{答案}解：9（3-x）=6（3+x）‎ 得x=，经检验：x=是原方程的解．‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-15-3]分式方程}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:分式方程的解}‎ ‎{考点:解含两个分式的分式方程}‎ ‎{考点:分式方程的检验}‎ ‎{题目}18．（2019·随州市，18）已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）若x1+x2=3，求k的值及方程的根．‎ ‎{解析}本题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程．由题意，方程有两个不相等的实数根，可知△＞0，解不等式即可得k的取值范围；根据两根之和，以及韦达定理，建立关于k的一元一次方程可得k的值，再把k的值代入到原方程中求出方程的根．‎ ‎{答案}解：（1）由题意得：△＞0，‎ 即（2k+1）2-4（k2+1）＞0，‎ 得4k-3＞0，∴k＞．‎ ‎ （2）∵x1+x2=3，又∵x1+x2=2k+1，‎ ‎ ∴2k+1=3，得k=1（符合），‎ ‎ 所以原方程为：x2-3x+2=0‎ ‎ （x-1）（x-2）=0，解得：x1=1，x2=2‎ ‎∴k的值为1，方程的根分别为1和2．‎ ‎{分值}7‎ ‎{章节:[1-21-3] 一元二次方程根与系数的关系}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{考点:根的判别式}‎ ‎{考点:解一元一次不等式}‎ ‎{考点:根与系数关系}‎ ‎{考点:解一元二次方程－因式分解法}‎ ‎{题目}19．（2019·随州市，19）“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：‎ 扇形统计图 条形统计图 ‎ ‎ ‎（1）接受问卷调查的学生共有 人，条形统计图中m的值为 ；‎ ‎（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为 ；‎ ‎（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为 人；‎ ‎（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．‎ ‎{解析}本题考查了扇形统计图，条形统计图，概率．由30÷50%=60人，所以接受问卷调查的学生共有60人，因为60-4-30-16=10，即m=10；16÷60×360°=96°，即 “了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为96°，（4+30）÷60×1800=1020人，即全校“非常了解”和“基本了解”程度的总人数约为1020人；用列表法或画树状图法列举出所有情况，进而求出对应的概率．‎ ‎{答案}解：（1）60，10；‎ ‎ （2）96°；‎ ‎ （3）1020；‎ ‎（4）记男生分别为A1，A2，女生分别为B1，B2，则用列表法表示如下：‎ ‎ ‎ A1‎ A2‎ B1‎ B2‎ A1‎ ‎（A1，A2）‎ ‎（A1，B1）‎ ‎（A1，B2）‎ A2‎ ‎（A2，A1）‎ ‎（A2，B1）‎ ‎（A2，B2）‎ B1‎ ‎（B1，A1）‎ ‎（B1，A2）‎ ‎（B1，B2）‎ B2‎ ‎（B2，A1）‎ ‎（B2，A2）‎ ‎（B2，B1）‎ ‎∴P（恰好抽到1名男生和1名女生）==，‎ 答：恰好抽到1名男生和1名女生的概率是．‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-25-2]用列举法求概率}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{考点:抽样调查}‎ ‎{考点:扇形统计图}‎ ‎{考点:条形统计图}‎ ‎{考点:可能性的大小}‎ ‎{考点:概率的意义}‎ ‎{题目}20．（2019·随州市，20）在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．‎ ‎（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；‎ ‎（2）若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．‎ ‎（第20题图）‎ ‎{解析}本题考查了解直角三角形——方位角．作PC⊥AB于点C，根据∠A=30°，∠B=45°，AP=120求得BP值；再根据时间=路程÷速度，求出救助船A、B到达点P的时间，再进行比较得解．‎ ‎{答案}解：（1）作PC⊥AB于点C，‎ ‎ 在Rt△APC中，∠ACP=90°，∠A=30°，AP=120，‎ ‎ ∴PC=AP·sinA=120×sin30°=120×=60，‎ ‎ 在Rt△BPC中，∠BCP=90°，∠B=45°，‎ ‎∴PB==60，‎ 答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离是60海里．‎ ‎（2）tA===3小时，‎ tB===2＜3，‎ 答：救助船B先到达．‎ ‎（第20题解）‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{考点:解直角三角形－方位角}‎ ‎{题目}21．（2019·随州市，21）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC 于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC=2∠CBF．‎ ‎（1）求证：BF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的直径为3，sin∠CBF=，求BC和BF的长．‎ ‎（第21题图）‎ ‎{解析}本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直径所对的圆周角是直角，解直角三角形，相似三角形的判定和勾股定理．（1）根据AB=AC，兼合直径AB所对的圆周角是直角，根据等腰三角形三线合一的性质得到AE平分∠BAC，利用角的等量转化得出BF是切线；（2）作CG⊥BF于点G，由∠CBF的正弦值求出CG长，再利用三角形相似求出CF的长，最后在Rt△ABF中利用勾股定理求出BF长．‎ ‎{答案}解：（1）如图所示，连接AE，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠AEB=90°，即AE⊥BC，‎ ‎∵AB=AC，∴AE平分∠BAC，AE平分BC，‎ ‎∴∠BAC=2∠BAE，‎ ‎∵∠BAC=2∠CBF，‎ ‎∴∠BAE=∠CBF，‎ ‎∵∠AEB=90°，∴∠BAE+∠ABE=90°，‎ ‎∴∠CBF +∠ABE=90°，即∠ABF=90°，‎ ‎∴AB⊥BF，‎ ‎∴BF是⊙O的切线．‎ ‎ （2）作CG⊥BF于点G，‎ ‎∵∠BAE=∠CBF，∴sin∠BAE= sin∠CBF=，‎ ‎ ∴BE=AB·sin∠BAE=3×=，‎ ‎ ∴BC=2BE=2；‎ ‎ 在Rt△BCG中，∠BGC=90°，‎ ‎ ∴CG=BC·sin∠CBF=2×=2，‎ ‎ ∵∠F=∠F，∠CGF=∠ABF=90°，‎ ‎ ∴△CGF∽△ABF，‎ ‎ ∴=，即=，得：CF=6，∴AF=AC+CF=3+6=9，‎ ‎ ∴BF===6．‎ ‎（第21题解）‎ ‎{分值}9‎ ‎{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{考点:直径所对的圆周角}‎ ‎{考点:三线合一}‎ ‎{考点:直线与圆的位置关系}‎ ‎{考点:切线的判定}‎ ‎{考点:解直角三角形}‎ ‎{考点:相似三角形的判定（两角相等）}‎ ‎{考点:相似三角形的性质}‎ ‎{考点:勾股定理}‎ ‎{题目}22．（2019·随州市，22）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式p=x+8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表：‎ 销售价格x（元/千克）‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎…‎ ‎10‎ 市场需求量q（百千克）‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎…‎ ‎4‎ 已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克．‎ ‎（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；‎ ‎（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．‎ ‎①当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围；‎ ‎②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当x为 元/千克时，利润y有最大值；若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为 元/千克．‎ ‎{解析}本题考查了一次函数、二次函数的最值、二次函数与不等式．（1）根据需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，不妨设q=kx+b，则满足，解得：，则q= -x+14，根据“销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克”即可确定x的取值范围；‎ ‎（2）当半成品食材全部售出时，即满足每天的产量小于或等于市场需求量，建立不等式x+8≤-x+14，得x≤4；每天的利润要根据食材的销售情况进行分类讨论，再求出函数解析式：‎ y= ；‎ ‎（3）当2≤x≤4时，y=x2+7x-16，∵a=＞0，抛物线开口向上，又∵对称轴是直线x= -7＜2，∴当2≤x≤4时，y随着x的增大而增大，∴当x=4时，ymax=20；当4≤x≤10时，y= -x2+13x-16，∵a= -1＜0，抛物线开口向下，对称轴是直线x=6.5，∴当x=6.5时，y有最大值，即y=26.25＞20，∴当x=6.5时，利润y有最大值；∵当2≤x≤4时，ymax=20＜24，∴当y≥24时，y满足y= -x2+13x-16，令-x2+13x-16=24，得x2-13x+40=0，即（x-5）（x-8）=0，∴x1=5，x2=8，又∵y≥24，∴5≤x≤8，∵半成品食材的浪费量为p-q，即（x+8）-（-x+14）=x-6，当x增大时，代数式的值随之增大，∴当x=5时，（p-q）有最小值．‎ ‎{答案}解：（1）q= -x+14（2≤x≤10）；‎ ‎ （2）①令p≤q，即x+8≤-x+14，得x≤4，‎ ‎ ∴当2≤x≤4时，每天的半成品食材能全部售出时；‎ ‎ ②当2≤x≤4时，y=px-2p=（x+8）（x-2）=x2+7x-16；‎ ‎ 当4≤x≤10时，y=qx-2p=（-x+14）x-2（x+8）= -x2+13x-16；‎ ‎ （3）6.5；5．‎ ‎{分值}11‎ ‎{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{考点:待定系数法求一次函数的解析式}‎ ‎{考点:一元一次不等式的应用}‎ ‎{考点:抛物线与不等式（组）}‎ ‎{考点:商品利润问题}‎ ‎{考点:方案比较}‎ ‎{题目}23．（2019·随州市，23）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如=100a+10b+c．‎ ‎【基础训练】‎ ‎（1）解方程填空：‎ ‎①若+=45，则x= ；②若-=26，则y= ；‎ ‎③若+=，则t= ；‎ ‎【能力提升】‎ ‎（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被1 整除，-一定能被 整除，·-mn一定能被 整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）‎ ‎（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．‎ 数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532-235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．‎ ‎①该“卡普雷卡尔黑洞数”为 ；‎ ‎②设任选的三位数为（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．‎ ‎{解析}本题综合考查了一元一次方程．（1）由题意得：+=（20+x）+（10x+3）=11x+23，则11x+23=45，得x=2；-=（70+y）-（10y+8）=62-9y，则62-9y =26，得y=4；若+=，即为（100t+93）+（508+10t）=1301+10t，得t=7；（2）+=（10m+n）+（10n+m）=11（m+n），-=（10m+n）-（10n+m）=9（m-n），·-mn=（10m+n）（10n+m）-mn=10（m2+n2+10mn），由结果中所含因式易得解；（3）按照题目的要求进行作差求解可得“卡普雷卡尔黑洞数”，对于任选的三位数为（不妨设a＞b＞c），从具体到抽象，根据题意作差亦可说明其能产生黑洞数．‎ ‎{答案}解：（1）①2；②4；③7；‎ ‎ （2）11，9，10；‎ ‎ （3）①495；‎ ‎ ②-=（100a+10b+c）-（100c+10b+a）=99（a-c），所以得出来的结果必为99的倍数，∵a＞b＞c，∴a≥b+1≥c+2，∴a-c≥2；又∵9≥a＞c≥0，∴a-c≤9，∴2≤a-c≤9，所以经过第一次运算操作后，出现的数可能为198、297、396、495、594、693、792、891，其中198和891，297和792，396和693，495和594，它们出现的数字分别相同，所以第二次运算操作时的结果也必然相同，故只考虑198、297、396、495这四个数，其中对于198，按如上步骤进行操作，可得结果依次为：981-189=792，972-279=693，963-369=594，954-459=594，此时即产生“卡普雷卡尔黑洞数”；同理对297、396、495分别进行如上步骤的操作，均为产生该黑洞数．综上可得：对于任选的三位数为（不妨设a＞b＞c），均可产生该黑洞数．‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-27-1-3]相似三角形应用举例}‎ ‎{难度:6-竞赛题}‎ ‎{类别:数学文化}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{考点:解一元一次方程（合并同类项）}‎ ‎{考点:解一元一次方程（移项）}‎ ‎{考点:解一元一次方程（去括号）}‎ ‎{考点:一元一次方程的应用（其他问题）}‎ ‎{考点:不等式的性质}‎ ‎{题目}24．（2019·随州市，24）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（-2，0），C（6，0）．‎ ‎（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；‎ ‎（2）如图2，连接AB，AC，设点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作PD⊥AC于点E，交x轴于点D，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于点G．设线段DG的长为d，求d与m的函数关系式，并注明m的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若△PDG的面积为，‎ ‎ ①求点P的坐标；‎ ‎ ②设M为直线AP上一动点，连接OM交直线AC于点S，则点M在运动过程中，在抛物线上是否存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M及其对应的点R的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎（图1） （图2） 备用图 ‎{解析}本题综合考查了．（1）由题意得：设y=a（x+2）（x-6）过点A（0，6），可得-12a=6，则a=，∴抛物线解析式为：y=（x+2）（x-6）= -x2+2x+6，对称轴为直线x=2；‎ ‎（2）由A（0，6），B（-2，0），C（6，0），用待定系数法求出AC、AB的函数解析式，再由“PD⊥AC ”、“ PG∥AB”得到直线解析式中一次项系数“k”的关系，进而表示出PD、PG的函数关系式，既而求出点D、G的坐标，用含m的代数式表示出d；‎ ‎（3）①根据“△PDG的面积为”，利用S△PDG=DG·yP，建立方程，求出点P的坐标（5，）；‎ ‎②因为“△ARS为等腰直角三角形”，就“∠RAS=90°”、“∠SRA=90°”、“∠ASR=90°”展开分类讨论．∵A（0，6），P（5，），∴直线AP的解析式：y= -x+6；∵OA=OC=6，∠AOC=90°，∴△AOC为等腰直角三角形，∴∠OAC=∠OCA=45°；当∠RAS=90°时，如图①，作R1H⊥y轴于点H，∵△AR1S1为等腰Rt△，∴AR1= AS1，∠AS1R1=45°=∠OAC，∴S1R1∥y轴；易证△AR1H为等腰Rt△，不妨设AH=R1H=n，∴R1（n，n +6），又∵R1在y= -x2+2x+6上，∴-n2+2n+6= n +6，解得：n =0（舍去），n=2（符合），此时R1（2，8），∵S1R1∥y轴，且S1在y= -x+6上，∴S1（2，4），∴直线OS1解析式：y= 2x，令2x = -x+6，得x=，∴y=2x=2×=，∴M1（，）；当∠ARS=90°时，如图②，∵∠R2 AS2=45°=∠ACO，∴AR2∥x轴，同理：S2R2∥y轴，又∵R2在抛物线上，易得R2（4，6），∴S2（4，2），∴直线OS2解析式：y=x，令x = -x+6，得x=6，∴y=x=×6=3，∴M2（6，3）；当∠ASR=90°时，如图③，作S3Q⊥R3 A于点Q，∵∠R3 AS3=45°=∠ACO，∴AR3∥x轴，如上同理得R3（4，6），∴AQ=S3Q=AR3=×4=2，∴S2（2，4），如上同理可得此时M3（，）；综上可得：M1（，）、R1（2，8）或M2（6，3）、R2（4，6）或M3（，）、R3（4，6）．‎ ‎ ‎ 图① 图② 图③‎ ‎（第24题解）‎ ‎{答案}解：（1）y= -x2+2x+6，对称轴为直线x=2；‎ ‎ （2）∵A（0，6），B（-2，0），C（6，0），‎ ‎ ∴直线AC的解析式：y= -x+6，‎ ‎ 直线AB的解析式：y=3x+6，‎ ‎ ∵PD⊥AC，∴kPD·kAC= -1，其中kAC = -1，∴kPD=1，‎ ‎ ∴直线PD的解析式：y=(x-m)+n=x-m+n，∴D（m-n，0），‎ ‎∵PG∥AB，∴kPG=kAB，其中kAB=3，∴kPG=3，‎ ‎∴直线PG的解析式：y=3（x-m）+n=3x-3m+n，∴G（m -n，0），‎ ‎∴d=（m-n）-（m-n）= n=（-m2+2m+6）= -m2+m+4,‎ 又∵点P是位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，‎ ‎∴2＜m＜6，‎ 如上可得：d= -m2+m+4（2＜m＜6）；‎ ‎（3）①∵△PDG的面积为，∴DG·yP=，即×n×n =，‎ ‎ 得n2=，∵n＞0，∴n=，‎ ‎ 令-m2+2m+6=，即m2-4m-5=0，∴（m-5）（m+1）=0，‎ 得m1=5，m2= -1，∵2＜m＜6，∴m=5符合，此时点P（5，）；‎ ‎ ②M（，），R（2，8）或M（6，3），R（4，6）或M（，），R（4，6）．‎ ‎{分值}12‎ ‎{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{考点:求二次函数的函数值}‎ ‎{考点:抛物线与一元二次方程的关系}‎ ‎{考点:二次函数中讨论等腰三角形}‎ ‎{考点:二次函数中讨论直角三角形}‎ ‎{考点:等腰直角三角形}‎ ‎{考点:代数综合}‎ ‎{考点:几何综合}‎