山西省中考数学试卷含答案解析

山西省中考数学试卷含答案解析

‎2018 年 山西省中考数学 试 卷(解析版)‎ 第 I 卷 选 择 题 （ 共 30 分） ‎ 一 、选 择 题（ 本 大 题 共 10 个 小 题 ，每 小 题 3 分 ，共 30 分 ，在 每 个 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ，只 有 一项符合题目要求 ， 请选出并在答题卡 上 将该项涂黑） ‎ ‎1.下 面 有 理 数 比 较 大 小 ， 正 确 的 是 （ ）‎ A. 0＜ -2 B. -5＜ 3 C. -2＜ -3 D. 1＜ -4‎ ‎【答案】 B ‎【考点】 有 理 数 比 较 大 小 ‎2. “算经十书”是指 汉唐一千多年间的 十 部著名数学著作，它 们曾经是隋唐时期 国 子监算学科 的 教 科 书 ， 这 些 流 传 下 来 的 古 算 书 中 凝 聚 着 历 代 数 学 家 的 劳 动 成 果 .下 列 四 部 著 作 中 ， 不 属 于 我 国古代数学著作的 是 （） ‎ A.《九章算术》 B. 《几何原本》 C. 《 海 岛 算 经 》 D. 《 周 髀 算 经 》‎ ‎【答案】 B ‎【考点】 数学文化 ‎ ‎【解析 】《 几 何 原 本 》 的 作 者 是 欧 几 里 得 ‎3. 下 列 运 算 正 确 的 是 （ ）‎ A. (- a3 )2 = -a6 B. 2a2 + 3a2 = 6a2 C. 2a2 × a3 = 2a6 D. ‎ ‎【 答案】 D ‎【考点】 整式运算 ‎ ‎【解析】 A. (- a3 )2 = a6 B2a2 + 3a2 = 5a2 C. 2a2 × a3 = 2a5‎ ‎4. 下列一元二次方程 中 ，没有实数根的是 （ ）‎ A. x2 - 2x = 0 B. x2 + 4x -1 = 0 C. 2x2 - 4x + 3 = 0 D. 3x2 = 5x - 2‎ ‎【答案】 C ‎【考点】 一 元 二 次 方 程 根 的 判 别 式 ‎【解析 】△＞ 0，有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ，△ =0，有 两 个 相 等 的 实 数 根 ，△ ＜ 0，没 有 实 数 根 .‎ A.△ =4 B.△ =20 C. △ =-8 D. △ =1‎ ‎5. 近年来快递业发展 迅 速 ，下表是 2018 年 1-3 月份我省部分地市 邮 政快递业务量的统 计 结 果（ 单 位：万件） ‎ 太原市 ‎ 大同市 ‎ 长治市 ‎ 晋中市 ‎ 运城市 ‎ 临汾市 ‎ 吕梁市 ‎ ‎3303.78‎ ‎332.68‎ ‎302.34‎ ‎319.79‎ ‎725.86‎ ‎416.01‎ ‎338.87‎ ‎1-3 月 份 我 省 这 七 个 地 市 邮 政 快 递 业 务 量 的 中 位 数 是 （ ）‎ A.319.79 万件 B. 332.68 万件 C. 338.87 万件 D. 416.01 万件 ‎ ‎【答案】 C ‎【考点】 数 据 的 分 析 ‎【解析】 将 表格中 七 个 数 据 从 小 到 大 排 列 ， 第 四 个 数 据 为 中 位 数 ， 即 338.87 万件 .‎ ‎6. 黄河是中华民族的 象 征，被誉为母亲河， 黄河壶口瀑布位于 我 省吉县城西 45 千 米 处 ，是 黄 河 上最具气势的自然 景 观，其落差约 30 米 ， 年 平 均 流 量 1010 立方米 /秒 . 若 以 小 时 作 时 间 单 位 ， 则其年平均流量可 用 科学计数法表示为 ‎ A. 6.06 ´104 立方米 /时 B. 3.136 ´106 立方米 /时 C. 3.636 ´106 立方米 /时 D. 36.36 ´105 立方米 /时 ‎【答案】 C ‎【考点】 科 学 计 数 法 ‎【解析】 一秒为 1010 立方米，则一小时 为 1010×60×60=3636000 立方米， 3636000 用 科 学 计数法表示为 3.636×106 .‎ ‎7. 在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个 球，记下颜色后放 回 袋子中，充分摇匀 后 ，再随机摸出一个 球 ，两次都摸到黄球 的 概率是（） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】 A ‎【考点】 树 状 图 或 列 表 法 求 概 率 ‎【解析】 ‎ 由表格可知，共有 9 种等可能结果，其 中 两次都摸到黄球的 结 果有 4 种， ‎ ‎∴ P（ 两 次 都 摸 到 黄 球 ） =‎ ‎8. 如 图 ，在 Rt△ ABC 中 ，∠ ACB=90°，∠ A=60°，AC=6，将 △ ABC 绕 点 C 按 逆 时 针 方 向 旋 转 得 到 ‎△ A’ B’ C， 此 时 点 A’ 恰好在 AB 边 上 ， 则 点 B’ 与点 B 之 间 的 距 离 是 （ ）‎ A. 12 B. 6 C.6 D. 6‎ ‎【答案】 D ‎【考点】 旋 转 ， 等 边 三 角 形 性 质 ‎【解析 】连接 BB’ ，由 旋 转 可 知 AC=A’ C，BC=B’ C，∵ ∠ A=60°，∴ △ ACA’ 为 等 边 三 角 形 ，‎ ‎∴∠ ACA’ =60°， ∴ ∠ BCB’ =60°∴ △ BCB’ 为 等 边 三 角 形 ， ∴ BB’ =BC= 6 3 .‎ ‎9. 用配方法将二次函 数y = x2 - 8x - 9 化为 y = a(x - h)2 + k 的形式为（）‎ A. y = (x - 4)2 + 7 B. y = (x - 4)2 - 25 C. y = (x + 4)2 + 7 D. y = (x + 4)2 - 25‎ ‎【答案】 B ‎【考点】 二 次 函 数 的 顶 点 式 ‎【解析】 y = x2 - 8x - 9 = x2 - 8x +16 -16 - 9 = (x - 4)2 - 25‎ ‎10. 如图，正方形 ABCD 内 接 于 ⊙ O， ⊙ O 的 半 径 为 2，以点 A 为 圆 心 ， 以 AC 为 半 径 画 弧 交 AB 的 延长线于点 E，交 AD 的延长线于点 F， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是 （ ）‎ A.4π -4 B. 4π -8 C. 8π -4 D. 8π -8‎ ‎【答案】 A ‎【考点】 扇 形 面 积 ， 正 方 形 性 质 ‎【解析】 ∵四边形 ABCD 为正方形，∴∠ BAD=90°， 可 知 圆 和 正 方 形 是 中 心 对 称 图 形 ，‎ 第 I 卷 非 选 择 题 （ 共 90 分） ‎ 二 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 5 个 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 15 分）‎ ‎11.计算： (3+1)(3-1) = .‎ ‎【答案】 17‎ ‎【考点】 平 方 差 公 式 ‎【解析】 ∵ (a + b)(a - b) = a2 - b2 ∴(3+1)(3-1) =(3)2-1 =18-1=17‎ ‎12. 图 1 是 我 国 古 代 建 筑 中 的 一 种 窗 格 .其 中 冰 裂 纹 图 案 象 征 着 坚 冰 出 现 裂 纹 并 开 始 清 溶 ， 形 状 无一定规则，代表 一 种自然和谐美 .图 2 是 从 图 1 冰 裂 纹 窗 格 图 案 中 提 取 的 由 五 条 线 段 组 成 的 图 形，则 Ð1+ Ð2 + Ð3 + Ð4 + Ð5 = 度 .‎ ‎【答案】 360‎ ‎【考点】 多 边 形 外 角 和 ‎【解析】 ∵任 意 n 边 形 的 外 角 和 为 360°， 图 中 五 条 线 段 组 成 五 边 形 ‎∴ Ð1+ Ð2 + Ð3 + Ð4 + Ð5 = 360° .‎ ‎13． 2018 年 国 内 航 空 公 司 规 定 ： 旅 客 乘 机 时 ， 免 费 携 带 行 李 箱 的 长 、 宽 、 高 之 和 不 超 过 115cm. 某厂家生产符合该 规 定的行李箱，已知 行 李箱的宽为 20cm， 长 与 高 的 比 为 8:11， 则 符 合 此 规 定 的行李箱的高的最 大 值为 _____cm.‎ ‎【答案】 55‎ ‎【考点】 一 元 一 次 不 等 式 的 实 际 应 用 ‎【解析】 解 ： 设 行 李 箱 的 长 为 8xcm， 宽 为 11xcm ‎20 + 8x +11x £ 115‎ 解得 x £ 5‎ ‎∴高的最大值为 11´ 5 = 55 cm ‎14．如 图 ，直 线 MN∥ PQ，直 线 AB 分别与 MN，PQ 相交于点 A，B.小宇同学利用尺规 按 以下步骤 作 图： ①以点 A 为 圆 心 ， 以 任 意 长 为 半 径 作 弧 交 AN 于点 C，交 AB 于点 D；②分别以 C， D 为 圆 心 ，‎ 以大于 CD 长 为 半 径 作 弧 ，两 弧 在 ∠ NAB 内 交 于 点 E；③ 作 射 线 AE 交 PQ 于点 F.若 AB=2，∠ ABP=600 ，‎ 则线段 AF 的长为 ______.‎ ‎【答案】 2‎ ‎【考点】 角 平 分 线 尺 规 作 图 ， 平 行 线 性 质 ， 等 腰 三 角 形 三 线 合 一 ‎【解析】 过点 B 作 BG⊥ AF 交 AF 于点 G 由尺规作图可知， AF 平分∠ NAB ‎∴∠ NAF=∠ BAF ‎∵ MN∥ PQ ‎∴∠ NAF=∠ BFA ‎∴∠ BAF=∠ BFA ‎∴ BA=BF=2‎ ‎∵ BG⊥ AF ‎∴ AG=FG ‎∵ ∠ ABP=600‎ ‎∴∠ BAF=∠ BFA=300‎ Rt△ BFG 中，FG = BF × c o s ÐBFA = 2´ = ‎ ‎∴ AF = 2FG = 2‎ ‎15． 如 图 ， 在 Rt△ ABC 中， ∠ ACB=900 ， AC=6， BC=8，点 D 是 AB 的 中 点 ， 以 CD 为 直 径 作 ⊙ O，⊙ ‎ O 分别与 AC， BC 交于点 E， F，过点 F 作⊙ O 的切线 FG，交 AB 于点 G，则 FG 的长为 _____.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【考点】 直 角 三 角 形 斜 中 线 ， 切 线 性 质 ， 平 行 线 分 线 段 成 比 例 ， 三 角 函 数 ‎【解析】 连接 OF ‎∵ FG 为 ⊙ 0 的 切 线 ∴ OF⊥ FG ‎∵ Rt△ ABC 中， D 为 AB 中点 ‎ ‎∴ CD=BD ‎∴ ∠ DCB=∠ B ‎∵ OC=OF ‎∴ ∠ OCF=∠ OFC ‎∴ ∠ CFO=∠ B ‎∴ OF∥ BD ‎∵ O 为 CD 中点 ‎ ‎∴ F 为 BC 中点 ‎ ‎∴ CF = BF= BC = 4‎ Rt△ ABC 中， s i nÐB = ‎ Rt△ BGF 中， FG = BF sin ÐB = 4 ´ = 三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 8 个 小 题 ， 共 75 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ）‎ ‎16.（本题共 2 个 小 题 ， 每 小 题 5 分，共 10 分） ‎ 计 算 ：（ 1）‎ ‎【考点】 实 数 的 计 算 ‎【解析】 解：原式 =8-4+2+1=7 ‎ ‎（ 2）‎ ‎【考点】 分式化简 ‎【解析】 解：原式 ===‎ ‎17.（本题 8 分 ）如 图 ，一 次 函 数 ‎y1 = k1 x + b(k1 ¹ 0) 的 图 象 分 别 与 x 轴，y 轴 相 交 于 点 A，B，与 反 比例函数 y2= (k¹ 0) 的 图 象 相 交 于 点 C（ -4， -2）， D（ 2， 4） .‎ ‎（ 1） 求 一 次 函 数 和 反 比 例 函 数 的 表 达 式 ；‎ ‎（ 2）当 x 为 何 值 时 ，y1 > 0 ；‎ ‎ （ 3）当 x 为 何 值 时 ，y1 < y2 ，请直接写出 x 的 取 值 范 围 .‎ ‎【考点】 反 比 例 函 数 与 一 次 函 数 ‎【解析】（ 1）解： Q一次函数 y1 = k1 x + b 的 图 象 经 过 点 C（ -4， -2）， D（ 2， 4），‎ ‎（ 3）解： x < -4 或 0 < x < 2.‎ ‎18.（本题 9 分 ） 在 “ 优 秀 传 统 文 化 进 校 园 ” 活 动 中 ， 学 校 计 划 每 周 二 下 午 第 三 节 课 时 间 开 展 此 项 活 动 ，拟 开 展 活 动 项 目 为 ：剪 纸 ，武 术 ，书 法 ，器 乐 ，要 求 七 年 级 学 生 人 人 参 加 ，并 且 每 人 只 能参加其中一项活 动 .教务处在该校七年 级 学生中随机抽取了 100 名学生进行调查，并 对此进行 统计，绘制了如图 所 示的条形统计图和 扇 形统计图（均不完 整 ） .‎ 请解答下列问题 :‎ ‎（ 1） 请 补 全 条 形 统 计 图 和 扇 形 统 计 图 ；‎ ‎（ 2） 在 参 加 “ 剪 纸 ” 活 动 项 目 的 学 生 中 ， 男 生 所 占 的 百 分 比 是 多 少 ？‎ ‎（ 3） 若 该 校 七 年 级 学 生 共 有 500 人 ， 请 估 计 其 中 参 加 “ 书 法 ” 项 目 活 动 的 有 多 少 人 ？‎ ‎（ 4）学 校 教 务 处 要 从 这 些 被 调 查 的 女 生 中 ，随 机 抽 取 一 人 了 解 具 体 情 况 ，那 么 正 好 抽 到 参 加“ 器 乐”活动项目的女 生 的概率是多少？ ‎ ‎【考点】 条 形 统 计 图 ， 扇 形 统 计 图 ‎【解析 】（ 1）解： ‎ ‎ （ 2）解：´100% = 40%.‎ 答：男生所占的百 分 比为 40%.‎ ‎（ 3）解： 500 ´ 21%=105（人） .‎ 答：估计其中参加 “ 书法”项目活动的 有 105 人 .‎ ‎ （ 4）解：‎ ‎5‎ 答：正好抽到参加 “ 器乐”活动项目的 女 生的概率为 .‎ ‎19.(本题 8 分 )祥 云 桥 位 于 省 城 太 原 南 部 ， 该 桥 塔 主 体 由 三 根 曲 线 塔 柱 组合而成，全桥共设 13 对直线型斜拉索，造 型新颖，是“三晋 大 地” 的 一 种 象征 .某 数 学 “ 综 合 与 实 践 ” 小 组 的 同 学 把 “ 测 量 斜 拉 索 顶 端 到 桥 面 的 距 离 ”作 为 一 项 课 题 活 动 ，他 们 制 订 了 测 量 方 案 ，并 利 用 课 余 时 间借助该桥斜拉索 完 成了实地测量 .‎ 测量结果如下表 .‎ 项目 ‎ 内容 ‎ 课题 ‎ 测 量 斜 拉 索 顶 端 到 桥 面 的 距 离 测 量 示 意 图 说 明 ： 两 侧 最 长 斜 拉 索 AC， BC 相 交 于 点 C， 分 别 与 桥 面 交 于 A， B 两 点 ， 且 点 A， B， C 在 同 一 竖 直 平 面 内 .‎ 测量数据 ‎ ‎∠ A 的 度 数 ‎∠ B 的 度 数 AB 的长度 ‎ ‎38°‎ ‎28°‎ ‎234 米 ‎... ...‎ ‎(1) 请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点 C 到 AB 的距离（参考数据sin 38°» 0.6 ，cos 38°» 0.8 ，‎ tan 38°» 0.8 ， sin 28°» 0.5 ， cos 28°» 0.9 ， tan 28°» 0.5 ）；‎ ‎(2) 该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）.‎ ‎【考点】 三 角 函 数 的 应 用 ‎【解析】 ‎ ‎（ 1） 解： 过点 C 作 CD ^ AB 于点 D.‎ 设 CD= x 米，在 Rt D ADC 中，‎ ‎∠ ADC=90°， ∠ A=38°.‎ Q AD + BD = AB = 234 . x + 2x = 234.‎ 解得 x = 72 .‎ 答：斜拉索顶端点 C 到 AB 的距离为 72 米 .‎ ‎（ 2） 解 ： 答 案 不 唯 一 ， 还 需 要 补 充 的 项 目 可 为 ： 测 量 工 具 ， 计 算 过 程 ， 人 员 分 工 ， 指 导 教 师，活动感受等 .‎ ‎20.(本 题 7 分 )2018 年 1 月 20 日 ，山 西 迎 来 了“ 复 兴 号 ”列 车 ，与“和谐 号 ” 相 比 ，“ 复 兴 号 ” 列 车 时 速 更 快 ， 安 全 性 更 好 .已 知 “ 太 原 南 -北 京 西 ” 全程大约 500 千 米 ，“ 复 兴 号 ”G92 次 列 车 平 均 每 小 时 比 某 列“ 和 谐 号 ”列 车多行驶 40 千 米 ， 其 行 驶 时 间 是 该 列 “ 和 谐 号 ” 列 车 行 驶 时 间的（两 ‎ 列车中途停留时间 均 除外） .经 查 询 ，“ 复 兴 号 ” G92 次 列 车 从 太 原 南 到 北 京 西 ， 中 途 只 有 石 家 庄 一站，停留 10 分钟 .求乘坐“复兴号” G92 次列车从太原南到 北 京西需要多长时间 .‎ ‎【考点】 分 式 方 程 应 用 ‎【解析】 ‎ 解： 设 乘 坐 “ 复 兴 号 ” G92 次 列 车 从 太 原 南 到 北 京 西 需 要 x 小时，‎ 由题意，得 解得 x = 经检验， x =是原方程的根 .‎ 答 ： 乘 坐 “ 复 兴 号 ” G92 次 列 车 从 太 原 南 到 北 京 西 需 要小时 .‎ ‎ ‎ ‎21. （本题 8 分 ） 请 阅 读 下 列 材 料 ， 并 完 成 相 应 的 任 务 ：‎ ‎‎ 在 数 学 中 ，利 用 图 形 在 变 化 过 程 中 的 不 变 性 质 ，常 常 可 以 找 到 解 决 问 题 的 办 法 .著 名 美 籍 匈 牙 利数学家波利亚在 他 所著的《数学的发现 》一书中有这样一个 例子：试问如何在一 个三角形 ABC 的 AC 和 BC 两 边 上 分 别 取 一 点 X 和 Y，使得 AX=BY=XY.（ 如 图 ） 解 决 这 个 问 题 的 操 作 步 骤 如 下 ： 第 一 步 ，在 CA 上 作 出 一 点 D，使 得 CD=CB，连 接 BD.第 二 步 ，在 CB 上 取 一 点 Y’ ，作 Y’ Z’ //CA,‎ 交 BD 于点 Z’ ，并在 AB 上取一点 A’ ，使 Z’ A’ =Y’ Z’ .第 三 步 ， 过 点 A 作 AZ//A’ Z’ ，交 ‎ BD 于点 Z.第 四 步 ， 过 点 Z 作 ZY//AC，交 BC 于点 Y，再过 Y 作 YX//ZA，交 AC 于点 X.‎ 则有 AX=BY=XY.‎ 下面是该结论的部 分 证明： 证明： QA Z / / A ' ZÐBA' Z ' = ÐBAZ 又 Q∠A'BZ'=∠ABZ. △BA' Z : △BAZ Z ' A ' = BZ ' .‎ ZA BZ 同 理 可 得 ‎Y ' Z ' = ‎BZ '‎ ‎. Z ' A ' = ‎Y ' Z ' .‎ YZ BZ ZA YZ Q Z ' A' = Y ' Z ' , ZA = YZ.‎ ‎...‎ 任务： ‎ ‎（ 1） 请 根 据 上 面 的 操 作 步 骤 及 部 分 证 明 过 程 ， 判 断 四 边 形 AXYZ 的形状，并加以证 明 ；‎ ‎（ 2） 请 再 仔 细 阅 读 上 面 的 操．作．步．骤．， 在 （ 1）的基础上完成 AX=BY=XY 的证明过程； ‎ ‎（ 3）上 述 解 决 问 题 的 过 程 中 ，通 过 作 平 行 线 把 四 边 形 BA’ Z’ Y’ 放大得到四边形 BAZY，从 而 确 定了点 Z， Y 的 位 置 ， 这 里 运 用 了 下 面 一 种 图 形 的 变 化 是 .‎ A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.位似 ‎ ‎【考点】 菱形的性 质 与 判 定 ,图形的位似 ‎ ‎【解析】 ‎ ‎（ 1） 答 ：四边形 AXYZ 是菱形 .‎ 证明： Q Z Y / / A C, Y X/ / ZA, 四边形 AXYZ 是 平 行 四 边 形 .‎ ZA = YZ , YAXYZ 是菱形 ‎（ 2） 答 ：证明： QC D= C B, Ð1 = Ð2‎ ZY / / AC , Ð1 = Ð3 .‎ Ð2=Ð3 . YB = YZ .‎ 四边形 AXYZ 是 菱 形 ， AX=XY=YZ.‎ AX=BY=XY.‎ ‎(3)上 述 解 决 问 题 的 过 程 中 ，通 过 作 平 行 线 把 四 边 形 BA’ Z’ Y’ 放大得到四边形 BAZY，从 而 确定了点 Z， Y 的 位 置 ， 这 里 运 用 了 下 面 一 种 图 形 的 变 化 是 D （ 或 位 似 ） .‎ A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.位似 ‎22. (本题 12 分 )综 合 与 实 践 问 题 情 境 ： 在 数 学 活 动 课 上 ， 老 师 出 示 了 这 样 一 个 问 题 ： 如 图 1， 在 矩 形 ABCD 中， AD=2AB， E 是 AB 延 长 线 上 一 点 ，且 BE=AB，连 接 DE，交 BC 于点 M，以 DE 为 一 边 在 DE 的 左 下 方 作 正 方 形 DEFG， 连接 AM． 试 判 断 线 段 AM 与 DE 的 位 置 关 系 ．‎ 探 究 展 示 ： 勤 奋 小 组 发 现 ， AM 垂直平分 DE，并展示了如下的 证 明方法：‎ 证明： Q B E = A B, AE = 2 AB AD = 2 AB, AD = AE 四边形 ABCD 是 矩 形 ， AD / / BC.‎ （ 依 据 １ ）‎ BE = AB , EM = DM .‎ 即 AM 是△ ADE 的 DE 边上的中线， ‎ 又 Q AD = AE, AM ^ DE. （依据 2）‎ AM 垂直平分 DE．‎ 反 思 交 流 ：‎ ‎(1) 上 述 证 明 过 程 中 的 “ 依 据 1”“ 依 据 2”分别是指什么？ ‎ ‚ 试 判 断 图 １ 中 的 点 A 是否在线段 GF 的 垂 直 平 分 上 ， 请 直 接 回 答 ， 不 必 证 明 ；‎ ‎(2)创 新 小 组 受 到 勤 奋 小 组 的 启 发 ， 继 续 进 行 探 究 ， 如 图 2， 连 接 CE，以 CE 为 一 边 在 CE 的左下 方作正方形 CEFG， 发 现 点 G 在线段 BC 的 垂 直 平 分 线 上 ， 请 你 给 出 证 明 ；‎ 探 索 发 现 ：‎ ‎(3)如图 3，连接 CE，以 CE 为一边在 CE 的右上方作正方形 CEFG，可以发现点 C，点 B 都在线段 AE 的垂直平分线上， 除此之外，请观察 矩 形 ABCD 和正方形 CEFG 的顶点与边，你还能 发现哪个 顶点在哪条边的垂 直 平分线上，请写出 一 个你发现的结论， 并 加以证明 .‎ ‎【考点】 平 行 线 分 线 段 成 比 例 ， 三 线 合 一 ， 正 方 形 、 矩 形 性 质 ， 全 等 ‎【解析】 ‎ ‎(1) 答 ： 依据 1：两 条 直 线 被 一 组 平 行 线 所 截 ，所 得 的 对 应 线 段 成 比 例（ 或 平 行 线 分 线 段 成比例） .‎ 依据 2： 等 腰 三 角 形 顶 角 的 平 分 线 ， 底 边 上 的 中 线 及 底 边 上 的 高 互 相 重 合 （ 或 等 腰 三 角 形的“三线合一 ”） .‎ ‚ 答：点 A 在 线 段 GF 的垂直平分线上 . (2) 证明 ：过点 G 作 GH ^ BC 于点 H，‎ Q四 边形 ABCD 是 矩 形 ， 点 E 在 AB 的 延 长 线 上 ，‎ ÐCBE = ÐABC = ÐGHC = 90°. Ð1+Ð2=90°.‎ Q四边形 CEFG 为 正 方 形 ，‎ CG = CE, ÐGCE = 90°.Ð1+ Ð3 = 90°. Ð2=Ð3.‎ △GHC ≌ △CBE. HC = BE.‎ 四边形 ABCD 是 矩 形 ， AD = BC.‎ ‎ AD = 2 AB, BE = AB, BC = 2BE = 2HC. HC = BH.‎ GH 垂直平分 BC.点 G 在 BC 的 垂 直 平 分 线 上 ‎ ‎（ 3）答：点 F 在 BC 边的垂直平分线上 （ 或点 F 在 AD 边 的 垂 直 平 分 线 上 ） .‎ 证 法 一 ： 过点 F 作 FM ^ BC 于点 M，过点 E 作 EN ^ FM 于点 N.‎ ÐBMN = ÐENM = ÐENF = 90°.‎ Q四边形 ABCD 是 矩 形 ， 点 E 在 AB 的延长线 上， ‎ ÐCBE = ÐABC = 90°.四边形 BENM 为矩形 .‎ BM = EN , ÐBEN = 90°. Ð1+ Ð2 = 90°.‎ Q四边形 CEFG 为 正 方 形 ，‎ EF = EC, ÐCEF = 90°. Ð2 + Ð3 = 90°.‎ Ð1=Ð3. QÐCBE = ÐENF = 90°,‎ △ENF≌△EBC.‎ NE = BE. BM = BE.‎ Q四边形 ABCD 是 矩 形 ， AD = BC.‎ AD = 2 AB, AB = BE. BC = 2BM . BM = MC.‎ QFM 垂直平分 BC， 点 F 在 BC 边 的 垂 直 平 分 线 上 .‎ 证 法 二 ： 过 F 作 FN ^ BE 交 BE 的 延 长 线 于 点 N，连接 FB， FC.‎ Q四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 AB 的延长线上， ‎ ∠ CBE=∠ ABC=∠ N=90°. ∠ 1+∠ 3=90°.‎ Q四边形 CEFG 为正方形， EC=EF，∠ CEF=90°.‎ ∠ 1+∠ 2=90°. ∠ 2=∠ 3.‎ △ ENF @ △ CBE.‎ NF=BE,NE=BC.‎ Q四边形 ABCD 是矩形， AD=BC.‎ QAD=2AB， BE=AB. 设 BE=a，则 BC=EN=2a,NF=a.‎ BF=CF. 点 F 在 BC 边 的 垂 直 平 分 线 上 .‎ ‎23. (本题 13 分 )综 合 与 探 究 如图，抛物线与 x 轴交于 A , B 两点（点 A 在点 B 的 左 侧 ）， 与 y 轴交于点 C ，连接 AC , BC .点 P 是 第 四 象 限 内 抛 物 线 上 的 一 个 动 点 ，点 P 的横坐标为 m ，过 点 P 作 PM ^ x 轴 ，垂 足 为点 M ， PM 交 BC 于点 Q ，过点 P 作 PE∥ AC 交 x 轴于点 E ，交 BC 于点 F .‎ ‎（ 1） 求 A ， B ， C 三点的坐标； ‎ ‎（ 2） 试探究在点 P 的 运 动 的 过 程 中 ，是 否 存 在 这 样 的 点 Q ，使 得 以 A ， C ， Q 为 顶 点 的 三 角 形 是 等腰三角形 .若 存 在 ， 请 直．接．写出此时点 Q 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说明理由； ‎ ‎（ 3） 请用含 m 的 代 数 式 表 示 线 段 QF 的长，并求出 m 为 何 值 时 QF 有最大值 .‎ ‎【考点】 几 何 与 二 次 函 数 综 合 ‎【解析】 ‎ ‎（ 1） 解： 由 y = 0 ，得 解得 x1 = -3 ， x2 = 4 .‎ 点 A ， B 的坐标分别为 A(-3,0)， B（ 4， 0）‎ 由 x = 0 ，得 y = -4 . 点 C 的 坐 标 为 C（ 0， -4） .‎ ‎1‎ ‎（ 2） 答： Q ( 5‎ ‎2 , 5‎ ‎2‎ ‎2 - 4) ， Q (1,-3) .‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎（ 3） 过点 F 作 FG ^ PQ 于点 G .‎ 则 FG∥x 轴 . 由 B（ 4， 0）， C（ 0， -4），得 △O B C为 等 腰 直 角 三 角 形 .‎ ÐOBC = ÐQFG = 45° . GQ = FG = FQ .‎ PE∥ AC , Ð1 = Ð2 .‎ FG∥x 轴， Ð2 = Ð3 . Ð1 = Ð3 .‎ ÐFGP = ÐAOC = 90° , △FGP∽△AOC .‎