四川省成都市中考数学试卷含答案解析

四川省成都市中考数学试卷含答案解析

四川省成都市2018年中考数学试卷（解析版）‎ 一、选择题（A卷）‎ ‎1.实数 在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中最大的是（  ）‎ A.                                            B.                                            C.                                            D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎【考点】数轴及有理数在数轴上的表示，有理数大小比较 ‎ ‎【解析】【解答】解：根据数轴可知a＜b＜0＜c＜d∴这四个数中最大的数是d 故答案为：D ‎【分析】根据数轴上右边的数总比左边的数大，即可得出结果。‎ ‎2.2018年5月21日，西昌卫星发射中心成功发射探月工程嫦娥四号任务“鹊桥号”中继星，卫星进入近地点高度为200公里、远地点高度为40万公里的预定轨道.将数据40万用科学记数法表示为（  ）‎ A.                               B.                             C.                             D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数 ‎ ‎【解析】【解答】解：40万=4×105故答案为:B ‎【分析】根据科学计数法的表示形式为：a×10n。其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1,即可求解。‎ ‎3.如图所示的正六棱柱的主视图是（  ）‎ A.                                B.       ‎ C.                                           D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎【考点】简单几何体的三视图 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵从正面看是左右相邻的3个矩形，中间的矩形面积较大，两边的矩形面积相同，∴答案A符合题意 故答案为：A ‎【分析】根据主视图是从正面看到的平面图形，即可求解。‎ ‎4.在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是（  ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎【答案】C ‎ ‎【考点】关于原点对称的坐标特征 ‎【解析】【解答】解：点 关于原点对称的点的坐标为（3,5）故答案为：C ‎【分析】根据关于原点对称点的坐标特点是横纵坐标都互为相反数，就可得出答案。‎ ‎5.下列计算正确的是（  ） ‎ A.         B.               C.         D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎【考点】同底数幂的乘法，完全平方公式及运用，合并同类项法则及应用，积的乘方 ‎ ‎【解析】【解答】解：A、x2+x2=2x2 ， 因此A不符合题意；B、 （x-y）2=x2-2xy+y2 ， 因此B不符合题意；‎ C、 （x2y）3=x6y3 ， 因此C不符合题意；‎ D、 ，因此D符合题意；‎ 故答案为:D ‎【分析】根据合并同类项的法则，可对A作出判断；根据完全平方公式，可对B作出判断；根据积的乘方运算法则及同底数幂的乘法，可对C、D作出判断；即可得出答案。‎ ‎6.如图，已知 ，添加以下条件，不能判定 的是（  ）‎ A.                    B.                    C.                    D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎【考点】三角形全等的判定 ‎ ‎【解析】【解答】解：A、∵∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=CB∴△ABC≌△DCB，因此A不符合题意；‎ B、∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB ‎∴△ABC≌△DCB，因此B不符合题意；‎ C、 ∵∠ABC=∠DCB，AC=DB，BC=CB，不能判断△ABC≌△DCB，因此C符合题意；‎ D、 ∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB ‎∴△ABC≌△DCB，因此D不符合题意；‎ 故答案为：C ‎【分析】根据全等三角形的判定定理及图中的隐含条件，对各选项逐一判断即可。‎ ‎7.如图是成都市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是（  ）‎ A. 极差是8℃                    B. 众数是28℃                    C. 中位数是24℃                    D. 平均数是26℃‎ ‎【答案】B ‎ ‎【考点】平均数及其计算，中位数，极差、标准差，众数 ‎ ‎【解析】【解答】A、极差=30℃-20℃=10℃，因此A不符合题意；B、 ∵20、28、28、24、26、30、22这7个数中，28出现两次，是出现次数最多的数 ‎∴众数是28，因此B符合题意；‎ C、 排序：20、22、24、26、28、28、30‎ 最中间的数是24、26，‎ ‎∴中位数为：（24+26）÷2=25，因此C不符合题意；‎ D、 平均数为：（20+22+24+26+28+28+30）÷7≠26‎ 因此D不符合题意；‎ 故答案为：B ‎【分析】根据极差=最大值减去最小值，可对A作出判断；根据众数和中位数的定义，可对B、C作出判断；根据平均数的计算方法，可对D作出判断。从而可得出答案。‎ ‎8.分式方程 的解是（  ） ‎ A. x=1                                B.                                 C.                                 D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎【考点】解分式方程 ‎ ‎【解析】【解答】解：方程两边同时乘以x（x-2）得：（x+1）（x-2）+x=x（x-2）‎ x2-x-2+x=x2-2x 解之：x=1‎ 经检验：x=1是原方程的根。‎ 故答案为：A ‎【分析】方程两边同时乘以x（x-2），将分式方程转化为整式方程，再解整式方程，然后检验即可求解。‎ ‎9.如图，在 中， ， 的半径为3，则图中阴影部分的面积是（  ）‎ A.                                          B.                                          C.                                          D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎【考点】平行四边形的性质，扇形面积的计算 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD∴AB∥DC ‎∴∠B+∠C=180°‎ ‎∴∠C=180°-60°=120°‎ ‎∴阴影部分的面积=120 ×32÷360=3 ‎ 故答案为：C ‎【分析】根据平行四边形的性质及平行线的性质，可求出∠C的度数，再根据扇形的面积公式求解即可。‎ ‎10.关于二次函数 ，下列说法正确的是（  ）‎ A. 图像与 轴的交点坐标为                           B. 图像的对称轴在 轴的右侧      ‎ C. 当 时， 的值随 值的增大而减小          D. 的最小值为-3‎ ‎【答案】D ‎ ‎【考点】二次函数的性质，二次函数的最值 ‎ ‎【解析】【解答】解：A、当x=0时，y=-1，图像与 轴的交点坐标为（0，-1），因此A不符合题意；B、 对称轴为直线x=-1，对称轴再y轴的左侧，因此B不符合题意；‎ C、 当x＜-1时y的值随 值的增大而减小，当-1＜x＜0时，y随x的增大而增大，因此C不符合题意；‎ D、 a=2＞0，当x=-1时,y的最小值=2-4-1=-3，因此D符合题意；‎ 故答案为：D ‎【分析】求出抛物线与y轴的交点坐标，可对A作出判断；求出抛物线的对称轴，可对B作出判断；根据二次函数的增减性，可对C作出判断；求出抛物线的顶点坐标，可对D作出判断；即可得出答案。‎ 二、填空题（A卷）‎ ‎11.等腰三角形的一个底角为 ，则它的顶角的度数为________． ‎ ‎【答案】80° ‎ ‎【考点】三角形的面积，等腰三角形的性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵等腰三角形的一个底角为 ∴它的顶角的度数为：180°-50°×2=80°‎ 故答案为：80°‎ ‎【分析】根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和定理，就可求得结果。‎ ‎12.在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为 ，则该盒子中装有黄色兵乓球的个数是________． ‎ ‎【答案】6 ‎ ‎【考点】概率公式，简单事件概率的计算 ‎ ‎【解析】【解答】解：设该盒子中装有黄色兵乓球的个数为x个，根据题意得：= ，解之：x=6‎ 故答案为：6‎ ‎【分析】根据黄球的概率，建立方程求解即可。‎ ‎13.已知 ，且 ，则 的值为________． ‎ ‎【答案】12 ‎ ‎【考点】解一元一次方程，比例的性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：设 则a=6k，b=5k，c=4k ‎∵ ‎ ‎∴6k+5k-8k=6，解之：k=2‎ ‎∴a=6×2=12‎ 故答案为：12‎ ‎【分析】设 ，分别用含k的式子表示出a、b、c的值，再根据 ，建立关于k的方程，求出k的值，就可得出a的值。‎ ‎14.如图，在矩形 中，按以下步骤作图：①分别以点 和 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ；②作直线 交 于点 .若 ， ，则矩形的对角线 的长为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】线段垂直平分线的性质，勾股定理，作图—基本作图 ‎ ‎【解析】【解答】连接AE，‎ 根据题意可知MN垂直平分AC ‎∴AE=CE=3‎ 在Rt△ADE中，AD2=AE2-DE2‎ AD2=9-4=5‎ ‎∵AC2=AD2+DC2‎ AC2=5+25=30‎ ‎∴AC= ‎ ‎【分析】根据作图，可知MN垂直平分AC，根据垂直平分线的性质，可求出AE的长，再根据勾股定理可求出AD的长，然后再利用勾股定理求出AC即可。‎ 三、解答题（A卷）‎ ‎15. ‎ ‎（1）. ‎ ‎（2）化简 . ‎ ‎【答案】（1）原式          ‎ ‎（2）解：原式 ‎ ‎【考点】实数的运算，分式的混合运算，特殊角的三角函数值 ‎ ‎【解析】【分析】(1)先算乘方、开方、绝对值，代入特殊角的三角函数值，再算乘法，然后在合并同类二次根式即可。‎ ‎(2) 先将括号里的分式通分计算，再将除法转化为乘法，然后约分化简即可。‎ ‎16.若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围. ‎ ‎【答案】由题知： .原方程有两个不相等的实数根， ， . ‎ ‎【考点】一元二次方程的求根公式及应用 ‎ ‎【解析】【分析】根据已知条件此方程有两个不相等的实数根，得出b2-ac＞0,解不等式求解即可。‎ ‎17.为了给游客提供更好的服务，某景区随机对部分游客进行了关于“景区服务工作满意度”的调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表.‎ 根据图标信息，解答下列问题： ‎ ‎（1）本次调查的总人数为________，表中 的值________； ‎ ‎（2）请补全条形统计图； ‎ ‎（3）据统计，该景区平均每天接待游客约3600人，若将“非常满意”和“满意”作为游客对景区服务工作的肯定，请你估计该景区服务工作平均每天得到多少名游客的肯定. ‎ ‎【答案】（1）120；45%‎ ‎（2）比较满意； （人）；补全条形统计图如下：‎ ‎（3）（人）.答：该景区服务工作平均每天得到1980人的肯定. ‎ ‎【考点】用样本估计总体，统计表，条形统计图 ‎ ‎【解析】【解答】(1) 12÷10％=120人m=1-10％-40％-5％=45％‎ ‎【分析】（1）根据统计表可得出：本次调查的总人数=非常满意的人数除以所占百分比；m=1-其它三项的百分比，计算即可。（2）根据根据统计表中的数据，可得出n=抽查的总人数×40％，再补全条形统计图。（3）用3600ד非常满意”和“满意”所占的百分比之和，计算即可。‎ ‎18.由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达 处时，测得小岛 位于它的北偏东 方向，且于航母相距80海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛 位于它的北偏东 方向.如果航母继续航行至小岛 的正南方向的 处，求还需航行的距离 的长.（参考数据： ， ， ， ， ， ）‎ ‎【答案】解：由题知： ， ， .在 中， ， ， （海里）.‎ 在 中， ， ， （海里）.‎ 答：还需要航行的距离 的长为20.4海里. ‎ ‎【考点】解直角三角形，解直角三角形的应用﹣方向角问题 ‎ ‎【解析】【分析】根据题意可得出 ， ， ，再利用解直角三角形在Rt△ACD和Rt△BCD中，先求出CD的长，再求出BD的长，即可解答。‎ ‎19.如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象经过点 ，与反比例函数 的图象交于 .‎ ‎（1）求一次函数和反比例函数的表达式； ‎ ‎（2）设 是直线 上一点，过 作 轴，交反比例函数 的图象于点 ，若 为顶点的四边形为平行四边形，求点 的坐标. ‎ ‎【答案】（1）∵一次函数y=x+b的图象经过点A（-2,0），‎ ‎∴-2+b=0,得b=2.‎ ‎∴一次函数的解析式为y=x+2，‎ ‎∵一次函数的解析式为y=x+2与反比例函数y=(x>0)的图象交于B（a，4），‎ ‎∴4=a+2,得a=2，‎ ‎∴4=，得k=8，‎ 即反比例函数解析式为：y=(x>0);‎ ‎（2）∵点A（-2,0），‎ ‎∴OA=2，‎ 设点M（m-2,m），点N（,m）,‎ 当MN∥AO且MN=AO时，四边形AOMN是平行四边形，‎ ‎,‎ 解得，m=或m=2+2，‎ ‎∴点M的坐标为（2-2，2）或（2+2） ‎ ‎【考点】待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定与性质 ‎ ‎【解析】【分析】（1）根据点A的坐标求出一次函数解析式，再根据两图像交于点B，利用反比例函数解析式求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数解析式即可。‎ ‎（2）设出点M、N的坐标，根据当 且 时，四边形 是平行四边形，建立关于m的方程，根据m＞0，求出m的值，从而可得出点M的坐标，即可解答。‎ ‎20.如图，在 中， ， 平分 交 于点 ， 为 上一点，经过点 ， 的 分别交 ， 于点 ， ，连接 交 于点 .‎ ‎（1）求证： 是 的切线； ‎ ‎（2）设 ， ，试用含 的代数式表示线段 的长； ‎ ‎（3）若 ， ，求 的长. ‎ ‎【答案】（1）如图，链接CD ‎∵AD为∠BAC的角平分线，‎ ‎∴∠BAD=∠CAD.‎ ‎∵OA=OD，‎ ‎∴∠ODA=∠OAD，‎ ‎∴∠ODA=∠CAD.‎ ‎∴OD∥AC.‎ 又∵∠C=90°，‎ ‎∴∠ODC=90°，‎ ‎∴OD⊥BC，‎ ‎∴BC是⊙O的切线.‎ ‎（2）连接DF，‎ 由（1）可知，BC为切线，‎ ‎∴∠FDC=∠DAF.‎ ‎∴∠CDA=∠CFD.‎ ‎∴∠AFD=∠ADB.‎ 又∵∠BAD=∠DAF，‎ ‎∴∆ABD∽∆ADF,‎ ‎∴ ,‎ ‎∴AD2=AB·AF.‎ ‎∴AD2=xy,‎ ‎∴AD= ‎ ‎（3）连接EF 在Rt∆BOD中，sinB= ,‎ 设圆的半径为r，∴ ，‎ ‎∴r=5.‎ ‎∴AE=10,AB=18.‎ ‎∵AE是直径，∠AFE=90°,而∠C=90°，‎ ‎∴EF∥BC,‎ ‎∴∠AEF=∠B,‎ ‎∴sin∠AEF= .‎ ‎∴AF=AE·sin∠AEF=10× = .‎ ‎∵AF∥OD,‎ ‎∴ ,‎ ‎∴DG= AD.‎ ‎∴AD= ,‎ ‎∴DG= ‎ ‎【考点】切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形 ‎ ‎【解析】【分析】（1）连接OD，根据角平分线的性质及等腰三角形的性质，去证明∠ODC=90°即可。(2)连接DF，DE，根据圆的切线，可证得∠FDC=∠DAF，再证∠CDA=∠CFD=∠AED，根据平角的定义可证得∠AFD=∠ADB，从而可证得△ABD∽△ABF，得出对应边成比例，可得出答案。（3）连接EF，在Rt△BOD中，利用三角函数的定义求出圆的半径、AE、AB的长，再证明EF∥BC，得出∠B=∠AEF，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，再根据AF∥OD，得出线段成比例，求出DG的长，然后可求出AD的长，从而可求得DG的长。‎ 四、填空题（B卷）‎ ‎21.已知 ， ，则代数式 的值为________. ‎ ‎【答案】0.36 ‎ ‎【考点】代数式求值，二元一次方程组的其他应用 ‎ ‎【解析】【解答】∵ ①， ②由①+②得：2x+4y=1.2，即x+2y=0.6‎ ‎∵ =（x+2y）2=0.62=0.36‎ ‎【分析】由①+②得出x+2y的值，再将已知代数式分解因式，然后整体代入，即可求解。‎ ‎22.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为 ，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】勾股定理，正方形的性质，简单事件概率的计算 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为 ，设两直角边的长分别为2x、3x ‎∴大正方形的面积为（2x）2+（3x）2=13x2‎ 小正方形的边长为3x-2x=x，则小正方形的面积为x2,‎ ‎∴阴影部分的面积为：13x2-x2=12x2,‎ ‎∴针尖落在阴影区域的概率为： ‎ 故答案为： ‎ ‎【分析】根据已知四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为 ，因此设两直角边的长分别为2x、3x，利用勾股定理求出大正方形的面积，再求出小正方形的面积，再求出阴影部分的面积，利用概率公式，求解即可。‎ ‎23.已知 ， ， ， ， ， ，…（即当 为大于1的奇数时， ；当 为大于1的偶数时， ），按此规律， ________. ‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】探索数与式的规律 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵ ， ∴S2=- -1= ‎ ‎∵ ，    ∴S3=1÷（ ）= ‎ ‎∵ ，∴S4=-（ ）-1=   ‎ ‎∴S5=-a-1、S6=a、S7= 、S8= …‎ ‎∴2018÷4=54…2‎ ‎∴S2018= ‎ 故答案为: ‎ ‎【分析】根据已知求出S2= ，S3= ，S4= 、S5=-a-1、S6=a、S7= 、S8= …可得出规律，按此规律可求出答案。‎ ‎24.如图，在菱形 中， ， 分别在边 上，将四边形 沿 翻折，使 的对应线段 经过顶点 ，当 时， 的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】勾股定理，菱形的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质，解直角三角形 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵菱形 沿 翻折，使 的对应线段 经过顶点 ，∴∠A=∠E=∠C，∠1=∠B，EM=AM，AB=EF=DC=AD ‎∵EF⊥EF ‎∴∠EDM=90°‎ ‎∴tan∠E= = ‎ 设DM=4x，DE=3x，则EM=AM=5x=EF ‎∴DC=AD=AM+DM=9x，DF=EF-DE=9x-3x=6x  ‎ 延长EF交BC于点H ‎∴AD∥BC，EF⊥EF ‎∴∠EDM=∠DHC=90°∵∠E=∠C ‎∴△DEM∽△HCD ‎∴EM：DC=DE:CH，即5x：9x=3x：CH 解之：CH= ，‎ 在Rt△DHC中，DH2=DC2-CH2‎ DH2=81x2-（ ）2‎ 解之：DH= ‎ ‎∴FH=DH-DF= -6x= ‎ ‎∵∠1+∠HFN=180°∠B+∠C=180°，∠1=∠B ‎∴∠HFN=∠C，∠DHC=∠FHN=90°‎ ‎∴△FHN∽△CHD ‎∴FN:DC=FH:CH，即FN:9x= ： ‎ 解之：FN=2x=BN ‎∴CN=BC-BN=9x-2x=7x ‎∴ = ‎ 故答案为： ‎ ‎【分析】根据折叠的性质，可得出菱形 沿 翻折，使 的对应线段 经过顶点 ，可得出∠A=∠E=∠C，∠1=∠B，EM=AM，AB=EF=DC=AD，利用锐角三角形函数的定义，可得出tan∠E= = ，设DM=4x，DE=3x，则EM=AM=5x=EF，就可求出菱形的边长及EM的长，延长EF交BC于点H，再证明△DEM∽△HCD，求出CH的长，利用勾股定理求出DH的长，就可得出FH的长，然后证明△FHN∽△CHD，求出FN的长，即可得出BN的长，从而可求出BN和CN之比。‎ ‎25.设双曲线 与直线 交于 ， 两点（点 在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线 的方向平移，使其经过点 ，将双曲线在第三象限的一支沿射线 的方向平移，使其经过点 ，平移后的两条曲线相交于点 ， 两点，此时我称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”， 为双曲线的“眸径”当双曲线 的眸径为6时， 的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】反比例函数图象的对称性，菱形的性质，平移的性质，解直角三角形 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵双曲线是关于原点成中心对称，‎ 点P、Q关于原点对称和直线AB对称 ‎∴四边形PAQB是菱形 ‎∵PQ=6‎ ‎∴PO=3‎ 根据题意可得出△APB是等边三角形 ‎∴在Rt△POB中，OB=tan30°×PO= ×3= ‎ 设点B的坐标为（x,x）‎ ‎∴2x2=3‎ x2= =k 故答案为： ‎ ‎【分析】根据平移的性质和反比例函数的对称性，可证得四边形PAQB是菱形及△APB是等边三角形，就可求出PO的长，利用解直角三角形求出OB的长，直线y=x与x轴的夹角是45°，设点B的坐标为（x,x），利用勾股定理求出x2的值，就可求出k的值。‎ 五、解答题 （B卷）‎ ‎26.为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉.经市场调查，甲种花卉的种植费用 （元）与种植面积 之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元.‎ ‎（1）直接写出当 和 时， 与 的函数关系式； ‎ ‎（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共 ，若甲种花卉的种植面积不少于 ，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎忙分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植费用最少？最少总费用为多少元？ ‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）设甲种花卉种植为 ，则乙种花卉种植 ..‎ 当 时， .‎ 当 时， 元.‎ 当 时， .‎ 当 时， 元.‎ ‎， 当 时，总费用最低，最低为119000元.‎ 此时乙种花卉种植面积为 .‎ 答：应分配甲种花卉种植面积为 ，乙种花卉种植面积为 ，才能使种植总费用最少，最少总费用为119000元. ‎ ‎【考点】待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式（组）的综合应用，一次函数的实际应用 ‎ ‎【解析】【分析】（1）利用函数图像上的点的坐标，可得出当 和 时， 与 的函数关系式。‎ ‎（2）设甲种花卉种植为 ，则乙种花卉种植 ，根据甲种花卉的种植面积不少于 ，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，建立不等式组，期初a的取值范围，利用一次函数的性质及自变量的取值范围即可解答。‎ ‎27.在 中， ， ， ，过点 作直线 ，将 绕点 顺时针得到 （点 ， 的对应点分别为 ， ）射线 ， 分别交直线 于点 ， .‎ ‎（1）如图1，当 与 重合时，求 的度数； ‎ ‎（2）如图2，设 与 的交点为 ，当 为 的中点时，求线段 的长； ‎ ‎（3）在旋转过程时，当点 分别在 ， 的延长线上时，试探究四边形 的面积是否存在最小值.若存在，求出四边形 的最小面积；若不存在，请说明理由. ‎ ‎【答案】（1）由旋转的性质得： .， ， ， ， ， .‎ ‎（2）为 的中点， .由旋转的性质得： ， .‎ ‎， .‎ ‎， ，‎ ‎.‎ ‎（3）， ‎ 最小， 即最小，.‎ 法一：（几何法）取 中点 ，则 .‎ ‎.‎ 当 最小时， 最小， ，即 与 重合时， 最小.‎ ‎， ， ， .‎ 法二：（代数法）设 ， .‎ 由射影定理得： ， 当 最小，即 最小，‎ ‎.‎ 当 时，“ ”成立， . ‎ ‎【考点】三角形的面积，解直角三角形，旋转的性质 ‎ ‎【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得出 ，根据已知易证m∥AC，得出∠A'BC是直角，利用特殊角的三角函数值，可求出∠A'CB的度数，就可求出结果。‎ ‎（2）根据中点的定义及性质的性质，可证得∠A=∠A'CM，利用解直角三角形求出PB和BQ的长，再根据PQ=PB+BQ，计算即可解答。‎ ‎（3）根据已知得出四边形FA'B'Q的面积最小，则△PCQ的面积最小，可表示出△PCQ的面积，利用几何法取 中点 ，则 ，得出PQ=2CG，当CG最小时，则PQ最小根据垂线段最短，求出CG的值，从而可求出PQ的最小值，就可求出四边形FA'B'Q面积的最小值。也可以利用代数式解答此题。‎ ‎28.如图，在平面直角坐标系 中，以直线 为对称轴的抛物线 与直线 交于 ， 两点，与 轴交于 ，直线 与 轴交于 点.‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式； ‎ ‎（2）设直线 与抛物线的对称轴的交点为 、 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若 ，且 与 面积相等，求点 的坐标； ‎ ‎（3）若在 轴上有且仅有一点 ，使 ，求 的值. ‎ ‎【答案】（1）由题可得： 解得 ， ， .二次函数解析式为： .‎ ‎（2）作 轴， 轴，垂足分别为 ，‎ 则 .‎ ‎， ， ，‎ ‎，解得 ， ， .‎ 同理， .‎ ‎，‎ ‎① （ 在 下方）， ，‎ ‎，即 ， .‎ ‎， ， .‎ ‎② 在 上方时，直线 与 关于 对称.‎ ‎， ， .‎ ‎， ， .‎ 综上所述，点 坐标为 ； .‎ ‎（3）由题意可得： .， ， ，即 .‎ ‎， ， .‎ 设 的中点为 ，‎ 点有且只有一个， 以 为直径的圆与 轴只有一个交点，且 为切点.‎ 轴， 为 的中点， .‎ ‎， ， ，‎ ‎，即 ， .‎ ‎， . ‎ ‎【考点】待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数的实际应用-几何问题，利用二次函数图像判断一元二次方程根的情况 ‎ ‎【解析】【分析】（1）根据对称轴为直线 ，及点A、C的坐标，利用待定系数法建立方程组，就可求出函数解析式。‎ ‎（2）作 轴， 轴，垂足分别为 ，则 ，得出MQ、NQ的长，可得出点B的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，分情况讨论：① （ 在 下方）；② 在 上方时，直线 与 关于 对称，建立方程求出方程的解，分别求出点G的坐标即可。（3）由题意可得： .‎ ‎（3）根据题意得出k+m=1，即m=1-k，可得出y1=kx+1-k，将两函数联立方程，得出 ，求出方程的解，就可得出点B的坐标，再设 的中点为 ，求出点P的坐标，再证明△AMP和△PNB相似，得出对应边成比例，建立方程 ，根据k＞0，求出方程的解即可解答。‎