- 2021-11-06 发布 |
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文档介绍
2020年秋人教版数学七年级期末复习专题 :找规律之解答题专项(二)
2020 年秋人教版数学七年级期末复习专题 : 找规律之解答题专项(二) 1.“分块计数法”:对有规律的图形进行计数时,有些题可以采用“分块计数”的方法. 例如:图 1 有 6 个点,图 2 有 12 个点,图 3 有 18 个点,……,按此规律,求图 10、 图 n 有多少个点? 我们将每个图形分成完全相同的 6 块,每块黑点的个数相同(如图),这样图 1 中黑点 个数是 6×1=6 个;图 2 中黑点个数是 6×2=12 个:图 3 中黑点个数是 6×3=18 个;……;所以容易求出图 10、图 n 中黑点的个数分别是 、 . 请你参考以上“分块计数法”,先将下面的点阵进行分块,再完成以下问题: (1)第 5 个点阵中有 个圆圈;第 n 个点阵中有 个圆圈. (2)小圆圈的个数会等于 271 吗?如果会,请求出是第几个点阵. 2.如图,图 1 中小黑点的个数记为 a1=4,图 2 中小黑点的个数记为 a2=8,图 3 中小黑 点的个数记为 a3=13,… 根据以上图中的规律完成下列问题: (1)图 4 中小黑点的个数记为 a4,则 a4= ; (2)图 n 中小黑点的个数记为 an,则 an= (用含 n 的式子表示); (3)第几个图形中的小黑点的个数为 43 个? 3.观察下列图形与等式: ⇒ 22﹣12=2×1+1×1; 图(1) ⇒ 32﹣22=3×1+2×1; 图(2) ⇒ 42﹣32=4×1+3×1; 图(3) ⇒ ? 图(4) …… 根据图形面积与等式的关系找出规律,并结合其中的规律解决下列问题: (1)根据规律,图(4)对应的等式为 ; (2)请你猜想图(n)对应的等式(用含 n 的等式表示),并证明. 4.小明在学习第四章《基本平面图形》后,对一些规律性的问题进行了整理,请你在表格 中横线上填写正确的答案 1、线段问题 (例图) 线段上的点数 (包括 A、B) 线段数 (条) 3 3 4 6 … … 10 … … n 2、多边形对角线问题 (例图) 多边形 顶点个数 对角线 总条数 4 2 5 … … 10 … … n 3、角的问题 (例 图) ∠AOB 内增 加射线条数 角的总个数 1 3 2 … … 10 … n 5.用同样规格的黑,白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺宽为 1.5 米的小路 (1)铺第 5 个图形用黑色正方形瓷砖 块: (2)按照此方式铺下去,铺第 n 个图形用黑色正方形瓷砖 块:(用含 n 的代数 式表示) (3)若黑,白两种颜色的瓷砖规格都为(长为 0.5 米×宽 0.5 米),且黑色正方形瓷砖 每块价格 25 元,白色正方形瓷砖每块价格 30 元,若按照此方式铺满一段总面积为 18.75 平方米的小路时 n 是多少?该段小路所需瓷砖的总费用是多少? 6 . 用 黑 白 两 种 颜 色 的 正 六 边 形 地 砖 按 如 图 所 示 的 方 式 , 拼 成 若 干 个 图 案 : (1)当黑色地砖有 1 块时,白色地砖有 块,当黑色地砖有 2 块时,白色地砖有 块; (2)第 n(n 为正整数)个图案中,白色地砖有 块; (3)第几个图案中有 2018 块白色地砖?请说明理由. 7.归纳 人们通过长期观察发现,如果早晨天空中有棉絮状的高积云,那么午后常有雷雨降临, 于是有了“朝有破絮云,午后雷雨临”的谚语.在数学里,我们也常用这样的方法探求 规律,例如:三角形有 3 个顶点,如果在它的内部再画 n 个点,并以(n+3)个点为顶 点画三角形,那么最多以剪得多少个这样的三角形? 为了解决这个问题,我们可以从 n=1、n=2、n=3 等具体的、简单的情形入手,探索 最多可以剪得的三角形个数的变化规律. 三角形内点的个数 图形 最多剪出的小三角形个数 1 3 2 3 … … … (1)完成表格信息: 、 ; (2)通过观察、比较,可以发现: 三角形内的点每增加 1 个,最多可以剪得的三角形增加 个. 于是,我们可以猜想:当三角形内的点的个数为 n 时,最多可以剪得 个三角形. 像这样通过对现象的观察、分析,从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思 想方法称为归纳. 在日常生活中,人们互相交谈时,常常有人在列举了一些现象后,说“这(即列举的现 象)说明……”其实这就是运用了归纳的方法. 用归纳的方法得出的结论不一定正确,是否正确需要加以证实. (3)请你尝试用归纳的方法探索(用表格呈现,并加以证实):1+3+5+7+…+(2n﹣ 1)的和是多少? 8.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一组数:1,1,2,3, 5,8,13,…,其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和、现以这组数中 的各个数作为正方形的边长值构造如下正方形: 再分别依次从左到右取 2 个、3 个、4 个、5 个…正方形拼成如下长方形并记为①、②、 ③、④、…相应长方形的周长如下表所示: 序号 ① ② ③ ④ … 周长 6 10 x y … 仔细观察图形,上表中的 x= ,y= . 若按此规律继续作长方形,则序号为⑧的长方形周长是 . 9.如图,学校准备新建一个长度为 L 的读书长廊,并准备用若干块带有花纹和没有花纹的 两种规格大小相同的正方形地面砖搭配在一起,按图中所示的规律拼成图案铺满长廊, 已知每个小正方形地面砖的边长均为 0.3m. (1)按图示规律,第一图案的长度 L1= ;第二个图案的长度 L2= ; (2)请用代数式表示带有花纹的地面砖块数 n 与走廊的长度 Ln(m)之间的关系; (2)当走廊的长度 L 为 30.3m 时,请计算出所需带有花纹图案的瓷砖的块数. 10.阅读下面文字,解答题目中的问题. 阅读材料: ①平面上没有直线时,整个平面是 1 个区域; ②当平面上画出一条直线时,把平面分割成 2 个区域; ③当平面上有两条直线时,最多把平面分割成 4 个区域; ④当平面上有三条直线时,最多可以把平面分割成 7 个区域;… 解答下面问题: (1)根据上述事实填写下列表格: 平面上直线的条数 0 1 2 3 4 5 … 平面被分割成几个区 域 1 2 4 7 … (2)观察上表,猜想平面上有 n 条直线时,平面最多被分割成几个区域?(用含 n 的 代数式表示) (3)某校七年级(1)班 36 名同学为元旦联欢买来了一个特大蛋糕,如果要将这块蛋 糕分给每位同学,切 7 刀够吗?如果够,说明为什么;如果不够,至少要切几刀? 参考答案 1.解:图 10 中黑点个数是 6×10=60 个;图 n 中黑点个数是 6n 个, 故答案为:60 个,6n 个; (1)如图所示:第 1 个点阵中有:1 个, 第 2 个点阵中有:2×3+1=7 个, 第 3 个点阵中有:3×6+1=19 个, 第 4 个点阵中有:4×9+1=37 个, 第 5 个点阵中有:5×12+1=61 个, … 第 n 个点阵中有:n×3(n﹣1)+1=3n2﹣3n+1, 故答案为:61,3n2﹣3n +1; (2)3n2﹣3n+1=271, n2﹣n﹣90=0, (n﹣10)(n+9)=0, n1=10,n2=﹣9(舍), ∴小圆圈的个数会等于 271,它是第 10 个点阵. 2.解:(1)根据题意知 a4=1+2+3+4+5+4=19, 故答案为:19; (2)an=1+2+3+…+n+n+1+n = +2n+1 = n2+ n+1, 故答案为: n2+ n+1; (3)当 n2+ n+1=43 时, 解得:n=7 或﹣12(负值舍去), 所以第 7 个图形中的小黑点的个数为 43 个. 3.解:观察上边图形面积与等式的关系: (1)图(4)对应的等式为: 52﹣42=5×1+4×1, 故答案为:52﹣42=5×1+4×1; (2)根据(1)发现规律: 图(n)对应的等式为: (n+1)2﹣n2═(n+1)×1+n×1 证明:左边=n2+2n+1﹣n2=2n+1, 右边=2n+1, ∴左边=右边, 即(n+1)2﹣n2=(n+1)×1+n×1. 4.解:1、线段问题 线段上有 3 个点时,线段数为 1+2=3 条; 线段上有 4 个点时,线段数为 1+2+3=6 条; … 故当线段上有 10 个点时,线段数为 1+2+3+…+8+9=(1+9)× =45 条; 当线段上有 n 个点时,线段数为 1+2+3+…+(n﹣1)=(1+n﹣1)× = 条; 填表如下: 2、多边形对角线问题 多边形有 4 个顶点时,对角线有 =2 条; 多边形有 5 个顶点时,对角线有 =5 条; 多边形有 10 个顶点时,对角线有 =35 条; 多边形有 n 个顶点时,对角线有 条; 填表如下: 3、角的问题 ∠AOB 内增加 1 条射线时,角的总数为:1+2=3 条; ∠AOB 内增加 2 条射线时,角的总数为:1+2+3=6 条; ∠AOB 内增加 10 条射线时,角的总数为:1+2+3+…+11= =66 条; ∠AOB 内增加 n 条射线时,角的总数为:1+2+3+…+(n+1)= 条. 填表如下: 5.解:(1)铺第 1 个图形用黑色正方形瓷砖的块数为 1×4+1=5; 铺第 2 个图形用黑色正方形瓷砖的块数为 2×4+1=9; 铺第 3 个图形用黑色正方形瓷砖的块数为 3×4+1=13; … 铺第 5 个图形用黑色正方形瓷砖的块数为 5×4+1=21; 故答案为 21; (2)根据(1)发现规律: 铺第 n 个图形用黑色正方形瓷砖的块数为(4n+1); 故答案为(4n+1); (3)根据题意,得 铺第 n 个图形用白色正方形瓷砖为 2(n+1). ∴[(4n+1)+2(n+1)]×0.5×0.5=18.75, 解得 n=12. 该段小路所需瓷砖的总费用为: 25(4n+1)+30×2(n+1) 当 n=12 时,160n+85=2005. 答:该段小路所需瓷砖的总费用为 2005 元. 6.解:(1)当黑色地砖有 1 块时,白色地砖有 2+4=6 块,当黑色地砖有 2 块时,白色 地砖有 2+4×2=10 块, 故答案为:6、10; (2)根据题意知第 n(n 为正整数)个图案中,白色地砖有 2+4n(块), 故答案为:4n+2. (3)令 4n+2=2018, 解得:n=504, 所以,第 504 个图案中有 2018 块白色地砖. 7.解;(1)由图形规律可得,答案为 5,7; (2)∵5﹣3=7﹣5=2, ∴三角形内的点每增加 1 个,最多可以剪得的三角形增加 2 个; ∵三角形内点的个数为 1 时,最多剪出的小三角形个数 3=2×1+1, 三角形内点的个数为 2 时,最多剪出的小三角形个数 5=2×2+1, 三角形内点的个数为 3 时,7 最多剪出的小三角形个数 7=2×3+1, ∴三角形内点的个数为 n 时,最多剪出的小三角形个数 2n+1. 故答案为 2,(2n+1); (3) 加数的个数 和 1+3 22 1+3+5 32 1+3+5+7 42 … … 1+3+5+7+…+(2n﹣ 1) n2 证明:∵S=1+3+5+7+…+(2n﹣5)+(2n﹣3)+(2n﹣1) ∴S=(2n﹣1)+(2n﹣3)+(2n﹣5)+…+7+5+3+1 ∴S+S=2n•n=2n2 2S=2n2 S=n2 8.解:由分析知:第 1 个长方形的周长为 6=(1+2)×2; 第 2 个长方形的周长为 10=(2+3)×2; 第 3 个长方形的周长为 16=(3+5)×2; 第 4 个长方形的周长为 26=(5+8)×2; 第 5 个长方形的周长为 42=(8+13)×2; 第 6 个长方形的周长为 68=(13+21)×2; 第 7 个长方形的周长为 110=(21+34)×2; 第 8 个长方形的周长为 178=(34+55)×2. 9.解:(1)第一图案的长度 L1=0.3×3=0.9,第二个图案的长度 L2=0.3×5=1.5; 故答案为:0.9,1.5; (2)观察可得:第 1 个图案中有花纹的地面砖有 1 块,第 2 个图案中有花纹的地面砖 有 2 块,… 故第 n 个图案中有花纹的地面砖有 n 块; 第一个图案边长 L=3×0.3,第二个图案边长 L=5×0.3,则第 n 个图案边长为 L= (2n+1)×0.3; (3)把 L=30.3 代入 L=(2n+1)×0.3 中得: 30.3=(2n+1)×0.3, 解得:n=50, 答:需要 50 个有花纹的图案. 10.解:(1):①平面上没有直线时,整个平面是 1 个区域; ②当平面上画出一条直线时,把平面分割成 1+1=2 个区域; ③当平面上有两条直线时,最多把平面分割成 1+1+2=4 个区域; ④当平面上有三条直线时,最多可以把平面分割成 1+1+2+3=7 个区域; ⑤当平面上有 4 条直线时,最多可以把平面分割成 1+1+2+3+4=11 个区域; ⑥当平面上有 5 条直线时,最多可以把平面分割成 1+1+2+3+4+5=16 个区域; 补全表格如下: 平面上直线的条数 0 1 2 3 4 5 … 平面被分割成几个区 域 1 2 4 7 11 16 … (2)当平面内有 n 条直线时,可以把一个平面最多分成 1+(1+2+3+…+n)=1+ 个区域; (3)当切 7 刀的时候,最多可以切 1+ =29 个区域, 当切 8 刀的时候,最多可以切 1+ =37 个区域. ∴至少应切 8 刀.查看更多