初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第17讲 解直角三角形

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初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第17讲 解直角三角形

1 第十七讲 解直角三角形 利用直角三角形中的已知元素(至少有一条是边)求得其余元素的过程叫做解直角三角 形,解直角三角形有以下两方面的应用: 1.为线段、角的计算提供新的途径. 解直角三角形的基础是三角函数的概念,三角函数使直角三角形的边与角得以转化,突 破纯粹几何关系的局限. 2.解实际问题. 测量、航行、工程技术等生活生产的实际问题,许多问题可转化为解直角三角形获解, 解决问题的关键是在理解有关名词的意义的基础上,准确把实际问题抽象为几何图形,进而 转化为解直角三角形. 【例题求解】 【例 1】 如图,已知电线杆 AB 直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上,如果 CD 与地面成 45°,∠A=60°,CD=4m,BC=( 2264  )m,则电线杆 AB 的长为 . 思路点拨 延长 AD 交 BC 于 E,作 DF⊥BC 于 F,为解直角三角形创造条件. 【例 2】 如图,在四边形 ABCD 中,AB= 24 ,BC-1,CD= 3 ,∠ B=135°,∠C=90°, 则∠D 等于( ) A.60° B.67.5° C.75° D.无法确定 思路点拨 通过对内分割或向外补形,构造直角三角形. 注:因直角三角形元素之间有很多关系,故用已知元素与未知元素的途径常不惟一,选择怎 样的途径最有效、最合理呢?请记住:有斜用弦,无斜用切,宁乘勿除. 在没有直角的条件下,常通过作垂线构造直角三角形;在解由多个直角三角形组合而成的 问题时,往往先解已具备条件的直角三角形,使得求解的直角三角形最终可解. 【例 3】 如图,在△ABC 中,∠=90°,∠BAC=30°,BC=l,D 为 BC 边上一点,tan∠ 2 ADC 是方程 2)1(5)1(3 2 2  xx x x 的一个较大的根?求 CD 的长. 思路点拨 解方程求出 tan∠ADC 的值,解 Rt△ABC 求出 AC 值,为解 Rt△ADC 创造条件. 【例 4】 如图,自卸车车厢的一个侧面是矩形 ABCD,AB=3 米,BC=0.5 米 ,车厢底部 距离地面 1.2 米,卸货时,车厢倾斜的角度θ =60°.问此时车厢的最高点 A 距离地面多 少米?(精确到 1 米) 思路点拨 作辅助线将问题转化为解直角三角形,怎样作辅助线构造基本图形,展开空间想 象,就能得到不同的解题寻路 【例 5】 如图,甲楼楼高 16 米,乙楼坐落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午 12 时太阳 光线与水平面的夹角为 30°,此时,求: (1)如果两楼相距 20 米,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高? (2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应当是多少米? 思路点拨 (1)设甲楼最高处 A 点的影子落在乙楼的 C 处,则图中 CD 的长度就是甲楼的影子 在乙楼上的高;(2)设点 A 的影子落在地面上某一点 C,求 BC 即可. 注:在解决一个数学问题后,不能只满足求出问题的答案,同时还应对解题过程进行多方面 分析和考察,思考一下有没有多种解题途径,每种途径各有什么优点与缺陷,哪一条途径更 合理、更简捷,从中又能给我们带来怎样的启迪等. 若能养成这种良好的思考问题的习惯, 则可逐步培养和提高我们分析探索能力. 3 学历训练 1.如图,在△ABC 中,∠A=30°,tanB= 3 1 ,BC= 10 ,则 AB 的长为 . 2.如图,在矩形 ABCD 中.E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点,若 tan∠AEH = 3 4 ,四边形 EFGH 的周长为 40cm,则矩形 ABCD 的面积为 . 3.如图,旗杆 AB,在 C 处测得旗杆顶 A 的仰角为 30°,向旗杆前北进 10m,达到 D,在 D 处测得 A 的仰角为 45°,则旗杆的高为 . 4.上午 9 时,一条船从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度向正东方向航行,9 时 30 分到 达 B 处,从 A、B 两处分别测得小岛 M 在北偏东 45°和北偏东 15°方向,那么 B 处船与 小岛 M 的距离为( ) A.20 海里 B.20 海里 C. 315 海里 D. 320 5.已知a、b、c分别为△ABC中∠A、∠ B、∠ C的对边,若关于 x 的方程 02)( 2  bcaxxcb 有两个相等的实根,且 sinB·cosA—cosB·sinA=0,则△ABC 的形状为( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 6.如图,在四边形 ABCD 中,∠A=135°,∠B=∠D=90°,BC= 32 ,AD=2,则四边形 ABCD 的面积是( ) A. 24 B. 34 C. 4 D.6 7.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,CD=1,已知 AD、BD 的长是关于 x 的方程 02  qpxx 的两根,且 tanA—tanB=2,求 p 、 q 的值. 4 8.如图,某电信部门计划修建一条连结 B、C 两地的电缆,测量人员在山脚 A 点测得 B、 C 两地的仰角分别为 30°、45°,在 B 地测得 C 地的仰角为 60°.已知 C 地比 A 地高 200 米,则电缆 BC 至少长多少米?(精确到 0.1 米) 9.如图,在等腰 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠CBD=30,则 DC AD = . 10.如图,正方形 ABCD 中,N 是 DC 的中点.M 是 AD 上异于 D 的点,且∠NMB=∠MBC, 则 tan∠ABM= . 11.在△ABC 中,AB= 26  ,BC=2,△ABC 的面积为 l,若∠B 是锐角,则∠C 的度数 是 . 12.已知等腰三角形的三边长为 a、b、c,且 ca  ,若关于 x 的一元二次方程 022  cbxx 的两根之差为 2 ,则等腰三角形的一个底角是( ) A. 15° B.30° C.45° D.60° 13.如图,△ABC 为等腰直角三角形,若 AD= 3 1 AC,CE= 3 1 BC,则∠1 和∠2 的大小关系 是( ) A.∠1>∠2 B.∠1<∠2 C.∠1=∠2 D.无法确定 14.如图,在正方形 ABCD 中,F 是 CD 上一点,AE⊥AF,点 E 在 CB 的延长线上,EF 交 AB 于点 G. (1)求证:DF×FC=BG×EC; (2)当 tan∠DAF= 时,△AEF 的面积为 10,问当 tan∠DAF= 3 2 时,△AEF 的面积是多少? 5 15.在一个三角形中,有一边边长为 16,这条边上的中线和高线长度分别为 10 和 9,求三 角形中此边所对的角的正切值. 16.台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极 强的破坏力.据气象观测,距沿海某城市 A 的正南方向 220 千米 B 处有一台风中心,其中 心最大风力为 12 级,每远离台风中心 20 千米,风力就会减弱一级,该台风中心现正在以 15 千米/时的速度沿北偏东 30°方向往 C 处移动,且台风中心风力不变,若城市所受风力 达到或超过四级,则称为受台风影响. (1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由. (2)若会受到台风影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长? (3)该城市受到台风影响的最大风力为几级? 17.如图,山上有一座铁塔,山脚下有一矩形建筑物 ABCD,且建筑物周围没有开阔平整地 带.该建筑物顶端宽度 AD 和高度 DC 都可直接测得,从 A、D、C 三点可看到塔顶端 H.可 供使用的测量工具有皮尺、测角器. (1)请你根据现有条件,充分利用矩形建筑物,设计一个测量塔顶端到地面高度 HG 的方案.具 体要求如下: ①测量数据尽可能少; ②在所给图形上,画出你设计的测量平面图,并将应测数据标记在图形上(如果测 A、D 间 距离,用 m 表示;如果测 D、C 间距离,用 n 表示;如果测角,用α 、β 、γ 等表示.测 角器高度不计). (2)根据你测量的数据,计算塔顶端到地面的高度 HG(用字母表示). 6 参考答案 7
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