2020-2021学年人教版九年级上册数学期末冲刺试题

2020-2021学年人教版九年级上册数学期末冲刺试题

人教新版 2020-2021 学年九年级上册数学期末冲刺试题 一．选择题（共 12 小题，满分 36 分，每小题 3 分） 1．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．抛物线 y＝2（x+3）2+4的顶点坐标是（ ） A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（2，4） 3．掷一枚质地均匀硬币，前 3次都是正面朝上，掷第 4次时正面朝上的概率是（ ） A．0 B． C． D．1 4．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为 2：3，△ABC的面积为 40，则△ DEF的面积为（ ） A．60 B．70 C．80 D．90 5．如图所示，D、E分别是△ABC的边 AB、BC上的点，且 DE∥AC，AE、CD相交于点 O．若 S△DOE：S△COA＝4：25，则 S△BDE与 S△CDE的比是（ ） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5 6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点 B逆时针旋转得到△A′ BC′，使点 C的对应点 C′恰好落在边 AB上，则∠CAA′的度数是（ ） A．50° B．70° C．110° D．120° 7．如图，将半径为 1的圆形纸板，沿长、宽分别为 8和 5的矩形的外侧滚动一周并回到开 始的位置，则圆心所经过的路线长度是（ ） A．13 B．26 C．13+π D．26+2π 8．将抛物线（ ）先向下平移 1个单位长度，再向左平移 2个单位长度后所得到的抛物 线为 y＝﹣2（x﹣3）2+1． A．y＝﹣2（x﹣5）2+2 B．y＝﹣2（x﹣1）2 C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1 D．y＝﹣2（x﹣4）2+3 9．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点 A，B分别在 y轴、x轴上，OA＝2，OB ＝1，斜边 AC∥x轴．若反比例函数 y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过 AC的中点 D，则 k的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 10．如图，⊙O的直径 AB垂直于弦 CD，垂足是 E，∠A＝22.5°，OC＝8，则 CD的长为 （ ） A．4 B．8 C．8 D．16 11．如图，正方形 OABC绕着点 O逆时针旋转 40°得到正方形 ODEF，连接 AF，则∠OFA 的度数是（ ） A．15° B．20° C．25° D．30° 12．已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线 x＝1，其图 象的一部分如图所示，下列说法中：①abc＜0；②2a+b＝0；③当﹣1＜x＜3时，y＞0； ④a﹣b+c＜0；⑤2c﹣3b＞0．其中正确结论的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分） 13．已知二次函数 y＝x2+6x﹣3，用配方法化为 y＝a（x﹣h）2+k的形式为 ． 14．已知在反比例函数 y＝ 图象的每一支曲线上，函数值 y随着自变量 x的增大而增大， 则 k的取值范围是 ． 15．如图，在平行四边形 ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠A＝125°，则∠BCE＝ 度． 16．已知 A，B，C三点在⊙O上，且 AB是⊙O内接正三角形的边长，AC是⊙O内接正方 形的边长，则∠BAC的度数为 ． 17．如图，将 Rt△ABC绕点 C按顺时针方向旋转 90°到△A′B′C的位置，已知斜边 AB ＝10cm，BC＝6cm，设 A′B′的中点是 M，连接 AM，则 AM＝ cm． 18．如图，∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点 A，ON上有一点 B．当△ PAB的周长取最小值时． （Ⅰ）能否求出∠APB的度数？ （用“能”或“否”填空）； （Ⅱ）如果能，请你作出点 A，点 B的位置（保留作图痕迹，不写证明），并写出∠APB 的度数；如果不能，请说明理由． 三．解答题（共 7 小题，满分 66 分） 19．如图，一次函数 y1＝ax+b与反比例函数 y2＝ 的图象相交于 A（2，8），B（8，2）两 点，连接 AO，BO，延长 AO交反比例函数图象于点 C． （1）求一次函数 y1的表达式与反比例函数 y2的表达式； （2）当 y1＜y2，时，直接写出自变量 x的取值范围为 ； （3）点 P是 x轴上一点，当 S△PAC＝ S△AOB时，请直接写出点 P的坐标为 ． 20．如图，是一个可以自由转动的转盘，转盘被分成面积相等的三个扇形，每个扇形上分别 标上 ，1，﹣1三个数字．小明转动转盘，小亮猜结果，如果转盘停止后指针指向的结 果与小亮所猜的结果相同，则小亮获胜，否则小明获胜． （1）如果小明转动转盘一次，小亮猜的结果是“正数”，那么小亮获胜的概率是 ． （2）如果小明连续转动转盘两次，小亮猜两次的结果都是“正数”，请用画树状图或列 表法求出小亮获胜的概率． 21．如图，在△ABC中，CD⊥AB于 D，BE⊥AC于 E，试说明： （1）△ABE∽△ACD； （2）AD•BC＝DE•AC． 22．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线 AD交 BC于点 D．过点 D作 DE⊥AD交 AB于点 E，以 AE为直径作⊙O． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若 AC＝6，BC＝8，求 BE的长． 23．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价为每件 10元，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于每件 16元， 市场调查发现，该产品每天的销售量 y（件）与每件销售价 x（元）之间的函数关系图象 如图所示． （1）求 y与 x之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围． （2）求每天的销售利润 W（元）与每件销售价 x（元）之间的函数关系式，并求出每件 销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 24．已知△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点 D，点 E是直线 AD上的动点，将 BE绕点 B 顺时针方向旋转 60°得到 BF，连接 EF、CF、AF． （1）如图 1，当点 E在线段 AD上时，猜想∠AFC和∠FAC的数量关系；（直接写出结 果） （2）如图 2，当点 E在线段 AD的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证 明你的结论，若不成立，请写出你的结论，并证明你的结论； （3）点 E在直线 AD上运动，当△ACF是等腰直角三角形时，请直接写出∠EBC的度数． 25．如图，已知抛物线 y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于 A（﹣1，0），C（2，3）两点，与 y 轴交于点 N．其顶点为 D． （1）抛物线及直线 AC的函数关系式； （2）若抛物线的对称轴与直线 AC相交于点 B，E为直线 AC上的任意一点，过点 E作 EF∥BD交抛物线于点 F，以 B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求 点 E的坐标；若不能，请说明理由； （3）若 P是抛物线上位于直线 AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共 12 小题，满分 36 分，每小题 3 分） 1．解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意； C．属于中心对称图形，故本选项不合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2．解：∵抛物线 y＝2（x+3）2+4， ∴该抛物线的顶点坐标为（﹣3，4）， 故选：B． 3．解：掷一枚质地均匀的硬币，前 3次都是正面朝上，则掷第 4次时正面朝上的概率是 ； 故选：B． 4．解：∵△ABC与△DEF相似，相似比为 2：3， ∴面积比为 4：9， ∵△ABC的面积为 40， ∴△DEF的面积为 90， 故选：D． 5．解：∵DE∥AC， ∴△DEO∽△CAO， ∵S△DOE：S△COA＝4：25， ∴（ ）2＝ ， ∴ ＝ ， ∵DE∥AC， ∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴S△BDE与 S△CDE的比＝2：3， 故选：C． 6．解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°， ∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°， ∵将△ABC绕点 B逆时针旋转得到△A′BC′，使点 C的对应点 C′恰好落在边 AB上， ∴∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB， ∴∠BAA′＝∠BA′A＝ （180°﹣40°）＝70°， ∴∠CAA'＝∠CAB+∠BAA′＝50°+70°＝120°． 故选：D． 7．解：∵圆从一边滚到另一边，圆心都要绕其矩形的顶点旋转 90°， ∴圆心绕其矩形的四个顶点共旋转了 360°， ∴圆沿矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，则圆心所经过的路线长度＝ 8+8+5+5+ ＝26+2π． 故选：D． 8．解：∵将 y＝﹣2（x﹣3）2+1，先向上平移 1 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度得 到 y＝﹣2（x﹣5）2+2， ∴平移前抛物线的解析式是：y＝﹣2（x﹣5）2+2． 故选：A． 9．解：作 CE⊥x轴于 E， ∵AC∥x轴，OA＝2，OB＝1， ∴OA＝CE＝2， ∵∠ABO+∠CBE＝90°＝∠OAB+∠ABO， ∴∠OAB＝∠CBE， ∵∠AOB＝∠BEC， ∴△AOB∽△BEC， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴BE＝4， ∴OE＝5， ∵点 D是 AB的中点， ∴D（ ，2）． ∵反比例函数 y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过点 D， ∴k＝ ×2＝5． 故选：B． 10．解：∵∠A＝22.5°， ∴∠BOC＝2∠A＝45°， ∵⊙O的直径 AB垂直于弦 CD， ∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形， ∴CE＝ OC＝4 ， ∴CD＝2CE＝8 ． 故选：B． 11．解：∵正方形 OABC绕着点 O逆时针旋转 40°得到正方形 ODEF， ∴∠AOF＝90°+40°＝130°，OA＝OF， ∴∠OFA＝（180°﹣130°）÷2＝25°． 故选：C． 12．解：∵抛物线开口向下，则 a＜0． 对称轴在 y 轴右侧，a、b 异号，则 b＞0． 抛物线与 y 轴交于正半轴，则 c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ∵抛物线的对称轴是直线 x＝1，则﹣ ＝1，b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故②正确； 由图象可知，抛物线与 x 轴的左交点位于 0 和﹣1 之间，在两个交点之间时，y＞0， 在 x＝﹣1 时，y＜0，故③错误； 当 x＝﹣1 时，有 y＝a﹣b+c＜0，故④正确； 由 2a+b＝0，得 a＝﹣ ，代入 a﹣b+c＜0得﹣ +c＜0，两边乘以 2 得 2c﹣3b＜0， 故⑤错误． 综上，正确的选项有：①②④． 所以正确结论的个数是 3个． 故选：B． 二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分） 13．解：y＝x2+6x﹣3 ＝x2+6x+9﹣9﹣3 ＝（x+3）2﹣12． 故答案为：y＝（x+3）2﹣12． 14．解：比例函数 y＝ 图象上的每一条曲线上，y随 x的增大而增大， ∴k﹣3＜0， ∴k＜3． 故答案为：k＜3． 15．解：∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∴∠B＝180°﹣125°＝55°， ∵CE⊥AB， ∴在 Rt△BCE中，∠BCE＝90°﹣∠B＝90°﹣55°＝35°． 故答案为：35． 16．解：①如图 1所示： ∵AB是⊙O内接正三角形的边长，AC是⊙O内接正方形的边长， ∴∠AOB＝120°，∠AOC＝90°， ∴∠BCO＝360°﹣120°﹣90°＝150°， ∴∠BAC＝ ∠BOC＝75°； ②如图 2所示，同①得出∠BAC＝15°， 故答案为：75°或 15°． 17．解：作 MH⊥AC于 H，因为 M为 A′B′的中点，故 HM＝ A′C ， 又因为 A′C＝AC＝ ＝8，则 HM＝ A′C＝ ×8＝4，B′H＝3， 又因为 AB′＝8﹣6＝2，所以 AH＝3+2＝5， AM＝ ＝ cm． 故答案为： ． 18．解：（Ⅰ）能求出∠APB的度数， 故答案为：能； （Ⅱ）如图所示，点 B即为所求， 分别作点 P关于 OM、ON的对称点 P′、P″，连接 OP′、OP″、P′P″，P′P″交 OM、ON于点 A、B， 连接 PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于 P′P″． 如图所示：由轴对称性质可得， OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB， ∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°， ∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°， 又∵∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°， ∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°． 三．解答题（共 7 小题，满分 66 分） 19．解：（1）将 A（2，8），B（8，2）代入 y＝ax+b得 ， 解得 ， ∴一次函数为 y＝﹣x+10， 将 A（2，8）代入 y2＝ 得 8＝ ，解得 k＝16， ∴反比例函数的解析式为 y＝ ； （2）由图象可知，当 y1＜y2时，自变量 x的取值范围为：x＞8或 0＜x＜2， 故答案为 x＞8或 0＜x＜2； （3）由题意可知 OA＝OC， ∴S△APC＝2S△AOP， 把 y＝0代入 y1＝﹣x+10得，0＝﹣x+10，解得 x＝10， ∴D（10，0）， ∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝ ﹣ ＝30， ∵S△PAC＝ S△AOB＝ ×30＝24， ∴2S△AOP＝24， ∴2× ×yA＝24，即 2× OP×8＝24， ∴OP＝3， ∴P（3，0）或 P（﹣3，0）， 故答案为 P（3，0）或 P（﹣3，0）． 20．解：（1）∵每个扇形上分别标上 ，1，﹣1三个数字，其中是“正数”的有 2个数， ∴小亮猜的结果是“正数”，那么小亮获胜的概率是 ； 故答案为： ； （2）根据题意画图如下： 共有 9种等情况数，其中两次的结果都是“正数”的有 4种， ∴小亮获胜的概率是 ． 21．解：（1）∵CD⊥AB于 D，BE⊥AC于 E， ∴∠AEB＝∠ADC＝90°， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE∽△ACD； （2）∵△ABE∽△ACD， ∴ ， 在△ADE和△ACB中， ， ∴△ADE∽△ACB， ∴ ， ∴AD•BC＝DE•AC． 22．（1）证明：连接 OD，如图所示． 在 Rt△ADE中，点 O为 AE的中点， ∴DO＝AO＝EO＝ AE， ∴点 D在⊙O上，且∠DAO＝∠ADO． 又∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝∠DAO， ∴∠ADO＝∠CAD， ∴AC∥DO． ∵∠C＝90°， ∴∠ODB＝90°，即 OD⊥BC． 又∵OD为半径， ∴BC是⊙O的切线； （2）解：∵在 Rt△ACB中，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝ ＝10． 设 OD＝r，则 BO＝10﹣r． ∵OD∥AC， ∴△BDO∽△BCA， ∴ ，即 ， 解得：r＝ ， ∴BE＝AB﹣AE＝10﹣ ＝ ． 23．解：（1）根据图象可知： 设 y与 x之间的函数关系式为 y＝kx+b， 把（10，26）（16，20）代入，得 解得 所以 y与 x之间的函数关系式为 y＝﹣x+36， 10≤x≤16． 答：y与 x之间的函数关系式 y＝﹣x+36， 自变量 x的取值范围 10≤x≤16． （2）w＝（x﹣10）（﹣x+36） ＝﹣x2+46x﹣360 ＝﹣（x﹣23）2+169． ∵﹣1＜0，当 x＜23时，w随 x的增大而增大， ∵10≤x≤16． ∴当 x＝16时，每天的销售利润最大，最大利润为 120． 答：每件销售价为 16元时，每天的销售利润最大，最大利润是 120元． 24．解：（1）∠AFC+∠FAC＝90°， 理由如下：连接 AF， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝30°， ∵将 BE绕点 B顺时针方向旋转 60°得到 BF， ∴BE＝BF，∠EBF＝60°， ∴∠EBF＝∠ABC， ∴∠ABE＝∠FBC，且 AB＝BC，BE＝BF， ∴△ABE≌△CBF（SAS） ∴∠BAE＝∠BCF＝30°， ∴∠ACF＝90°， ∴∠AFC+∠FAC＝90°； （2）结论仍然成立， 理由如下：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝30°， ∵将 BE绕点 B顺时针方向旋转 60°得到 BF， ∴BE＝BF，∠EBF＝60°， ∴∠EBF＝∠ABC， ∴∠ABE＝∠FBC，且 AB＝BC，BE＝BF， ∴△ABE≌△CBF（SAS） ∴∠BAE＝∠BCF＝30°， ∴∠ACF＝90°， ∴∠AFC+∠FAC＝90°； （3）当点 E在点 A下方时， ∵△ACF是等腰直角三角形， ∴AC＝CF， ∵△ABE≌△CBF， ∴CF＝AE， ∴AC＝AE＝AB， ∴∠ABE＝ ＝75°， ∴∠EBC＝∠ABE﹣∠ABC＝15°， 当点 E在点 A上方时，同理可求∠EBC＝75°． 25．解：（1）由抛物线 y＝﹣x2+bx+c过点 A（﹣1，0）及 C（2，3）得， ， 解得 ， 故抛物线为 y＝﹣x2+2x+3； 又设直线为 y＝kx+n过点 A（﹣1，0）及 C（2，3）， 得 ， 解得 ， 故直线 AC为 y＝x+1； （2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴D（1，4）， 当 x＝1时，y＝x+1＝2， ∴B（1，2）， ∵点 E在直线 AC上，设 E（x，x+1）． ①如图 2，当点 E在线段 AC上时，点 F在点 E上方，则 F（x，x+3）， ∵F在抛物线上， ∴x+3＝﹣x2+2x+3， 解得，x＝0或 x＝1（舍去）， ∴E（0，1）； ②当点 E在线段 AC（或 CA）延长线上时，点 F在点 E下方，则 F（x，x﹣1）， ∵F在抛物线上， ∴x﹣1＝﹣x2+2x+3， 解得 x＝ 或 x＝ ， ∴E（ ， ）或（ ， ）， 综上，满足条件的点 E的坐标为（0，1）或（ ， ）或（ ， ）； （3）方法一：如图 3，过点 P作 PQ⊥x轴交 AC于点 Q，交 x轴于点 H；过点 C作 CG ⊥x轴于点 G，设 Q（x，x+1），则 P（x，﹣x2+2x+3） ∴PQ＝（﹣x2+2x+3）﹣（x+1） ＝﹣x2+x+2 又∵S△APC＝S△APQ+S△CPQ ＝ PQ•AG ＝ （﹣x2+x+2）×3 ＝﹣ （x﹣ ）2+ ， ∴面积的最大值为 ； 方法二：过点 P作 PQ⊥x轴交 AC于点 Q，交 x轴于点 H；过点 C作 CG⊥x轴于点 G， 如图 3， 设 Q（x，x+1），则 P（x，﹣x2+2x+3） 又∵S△APC＝S△APH+S 直角梯形 PHGC﹣S△AGC ＝ （x+1）（﹣x2+2x+3）+ （﹣x2+2x+3+3）（2﹣x）﹣ ×3×3 ＝﹣ x2+ x+3 ＝﹣ （x﹣ ）2+ ， ∴△APC的面积的最大值为 ．