初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第4讲 明快简捷—构造方程的妙用

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第4讲 明快简捷—构造方程的妙用

1 第四讲 明快简捷—构造方程的妙用 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是如果我们能构造一元二次方程，那么 就能运用一元二次方程丰富的知识与方法辅助解题，构造一元二次方程的常用方法是： 1．利用根的定义构造 当已知等式具有相同的结构，就可把某两个变元看成是关于某个字母的一元二次方程的 两根． 2．利用韦达定理逆定理构造 若问题中有形如 ayx  ， bxy  的关系式时，则 x 、 y 可看作方程 02  bazz 的两 实根． 3．确定主元构造 对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程． 成功的构造是建立在敏锐的观察、恰当的变形、广泛的联想的基础之上的；成功的构造能收 到明快简捷、出奇制胜的效果． 注： 许多数学问题表面上看难以求解，但如果我们创造性地运用已知条件，以已知条件为 素材，以所求结论为方向，有效地运用数学知识，构造出一种辅助问题及其数学形式，就能 使问题在新的形式下获得简解，这就是解题中的“构造”策略，构造图形，构造方程、构造 函数、构造反例是常用构造方法． 【例题求解】 【例 1】 已知 x 、 y 是正整数，并且 23 yxxy ， 12022  xyyx ，则  22 yx ． 思路点拨 xyyxyx 2)( 222  ，变形题设条件，可视 yx  、 xy 为某个一元二次方程两 根，这样问题可从整体上获得简解． 【例 2】 若 1ab ，且有 0920015 2  aa 及 0520019 2  bb ，则 b a 的值是( ) A． 5 9 B． 9 5 C． 5 2001 D． 9 2001 思路点拨 第二个方程可变形为 0920015 2  bb ，这样两个方程具有相同的结构，从利用 定义构造方程入手． 【例 3】 已知实数 a 、 b 满足 122  baba ，且 22 baabt  ，求t 的取值范围． 2 思路点拨 由两个等式可求出 ba  、 ab 的表达式，这样既可以从配方法入手，又能从构造 方程的角度去探索，有较大的思维空间． 【例 4】 已知实数 a 、 b 、 c 满足 2 cba ， 4abc ． (1)求 、 、 中最大者的最小值； (2)求 3 cba 的最小值． 思路点拨 不妨设 a≥b，a≥c，由条件得 acb  2 ， abc 4 ．构造以 b、c 为实根的一元二 次方程，通过△≥0 探求 的取值范围，并以此为基础去解(2)． 注： 构造一元二次方程，在问题有解的前提下，运用判别式△≥0，建立含参数的不等式， 缩小范围逼近求解，在求字母的取值范围，求最值等方面有广泛的应用． 【例 5】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平 方，恰好等于这个四位数． (2003 年全国初中数学联赛试题) 思路点拨 设前后两个二位数分别为 x ， y ，则有 yxyx  100)( 2 ，将此方程整理成关于 (或 y )的一元二次方程，在方程有解的前提下，运用判别式确定 y (或 x )的取值范围． 学历训练 1．若方程 01)32(22  xmxm 的两个实数根的倒数和是 s ，则 s 的取值范围是 ． 2．如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB＝5，CD⊥AB，已知 BC、AC 是一元二次方程 0)1(4)12(2  mxmx 的两个根，则 m 的值是 ． 3．已知 a 、 b 满足 0122  aa ， 0122  bb ，则 a b b a  = ． 4．已知 012  ， 012   ，，则   的值为( ) A．2 B．-2 C．-1 D． 0 5．已知梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若 S△AOB＝4，S△COD＝9，则四边形 ABCD 的面积 S 的最小值为( ) A．21 B． 25 C．26 D． 36 6．如图，菱形 A6CD 的边长是 5，两条对角线交于 O 点，且 AO、BO 的长分别是关于 的 方程的根，则 m 的值为( ) A．一 3 B．5 C．5 或一 3 n 一 5 或 3 3 7．已知 0522  pp ， 0125 2  qq ，其中 p 、 q 为实数，求 2 2 1 q p  的值． 8．已知 x 和 y 是正整数，并且满足条件 71 yxxy ， 88022  xyyx ，求 22 yx  的值． 9．已知 0523 2  mm ， 0325 2  nn ，其中 m、n 为实数，则 nm 1 ＝ ． 10．如果 a 、b 、c 为互不相等的实数，且满足关系式 14162 222  aacb 与 542  aabc ， 那么 的取值范围是 ． 11．已知 0171014225 22  yxxyyx ，则 x = ， y = ．； 12．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝b，AB＝c，若 D、E 分别是 AB 和 AB 延 长 线 上 的 两 点 ， BD=BC ， CE ⊥ CD ， 则 以 AD 和 AE 的 长 为 根 的 一 元 二 次 方 程 是 ． 13．已知 、 、 均为实数，且 0 cba ， 2abc ，求 cba  的最小值． 14．设实数 、 、 满足      066 078 22 2 abccb abca ，求 a 的取值范围． 15．如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝AB， 8 13 ABC ABCD S S梯形 ，梯形的高 AE= 2 35 ，且 40 1311  BCAD ． (1)求∠B 的度数； (2)设点 M 为梯形对角线 AC 上一点，DM 的延长线与 BC 相交于点 F，当 32 3125ADMS ， 求作以 CF、DF 的长为根的一元二次方程． 4 16．如图，已知△ABC 和平行于 BC 的直线 DE，且△BDE 的面积等于定值 2k ，那么当 2k 与△BDE 之间满足什么关系时，存在直线 DE，有几条? 参考答案 5