数学冀教版九年级上册教案28-5弧长和扇形面积的计算

数学冀教版九年级上册教案28-5弧长和扇形面积的计算

- 1 - 28.5 弧长和扇形面积的计算 教学目标 【知识与能力】 1.了解扇形、圆锥等有关概念. 2.经历探索弧长、扇形面积公式的过程. 3.会计算弧长及扇形的面积. 4.知道圆锥的侧面积和扇形面积之间的关系,会计算圆锥的侧面积. 【过程与方法】 1.经历探索弧长、扇形面积、圆锥侧面积计算公式的过程,培养学生的探索能力和归纳总结 能力. 2.通过应用弧长、扇形面积、圆锥侧面积公式解决问题,培养学生的计算能力和解决问题的 能力,发展学生的应用意识. 3.通过教学互动,培养学生的观察能力和抽象概括能力,理解并掌握研究实际问题的方法. 【情感态度价值观】 1.经历探索弧长、扇形面积、圆锥侧面积计算公式,让学生体验教学活动充满着探索与创造, 感受数学的严谨性以及数学结论的确定性. 2.通过用弧长、扇形面积、圆锥侧面积公式计算,让学生获得解决问题的策略,激发学生学习 数学的兴趣,提高他们的学习积极性. 3.在探究知识的形成过程中,培养学生的合作意识和合作精神. 教学重难点 【教学重点】 1.弧长、扇形面积公式的推导及应用. 2.圆锥侧面积与扇形面积之间的关系. 【教学难点】 探索弧长、扇形面积、圆锥侧面积的计算公式的过程. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 【课件展示】 在田径四百米比赛中,每位运动员的起跑位置相同吗?每位运动员弯道的展直 长度相同吗? [导入语] 田径赛跑中每位运动员的跑道展直长度相等,如何计算起跑位置才能保证每位运 - 2 - 动员的路程都是 400 米?学习了今天弧长的计算,就能确定他们的具体位置. 导入二: 复习提问: 1.圆的周长如何计算? 2.圆的面积如何计算? 3.圆周长所对的圆心角是多少度? 【师生活动】 学生回答,教师点评. [设计意图] 通过学生感兴趣的运动会导入新课,激发学生学习兴趣,感受生活中处处有数 学.通过复习和本节课有关的旧知识,为本节课探究弧长和扇形面积公式做好铺垫. 二、新知构建： [过渡语] 已知圆的半径,可以求出圆的周长和圆的面积.在本节课中,我们将探究求弧 长及扇形面积的问题. 一、认识概念 【课件展示】 扇形:一条弧和经过这条弧端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. 如图所示,在☉O 中,由半径 OA,OB 和 晦 所组成的图形为一个扇形.由半径 OA,OB 和 ‴晦 所组成 的图形也是扇形. 【思考】 一个扇形对应几个圆心角?一个圆心角对应几个扇形? (在同一个圆中,一个扇形对应一个圆心角,反过来,一个圆心角对应一个扇形) 【师生活动】 学生思考回答,教师点评. 二、弧长和扇形面积公式 [过渡语] 弧是圆的一部分,弧长就是圆周长的一部分,我们已经知道圆的周长公式,那 么怎样求一段弧的长度呢? 思路一 活动一: 思考并回答下列问题: 1.圆的周长可以看成是多少度的圆心角所对的弧?(360°) 2.在圆中每一个 1°的圆心角所对的弧长之间有什么关系?(相等) 3.1°的圆心角所对的弧长是多少? 周长的 1 3604.2°的圆心角所对的弧长又是多少呢? 周长的 2 360 5.你能算出 n°的圆心角所对的弧长是多少吗? 周长的 360 - 3 - 6.已知一段弧所在圆的半径为 r,圆心角度数为 n°,如何计算这段弧的长度? 360 × 2π = π 180【师生活动】 学生思考,小组内合作交流,针对学生回答的问题,教师点评和归纳. 【课件展示】 结论:在半径为 r 的圆中,n°的圆心角所对的弧长为:l= π 180 .(板书) 活动二: 【思考】 你能用探究弧长公式的方法探究扇形的面积吗? 【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,教师对有困难的学生加以引导,学生展示探 究思路和方法,教师点评,师生共同归纳扇形的面积公式. 【课件展示】 结论: 在半径为 r 的圆中,n°的圆心角所对的扇形面积为:S= π2 360 .(板书) 活动三: 【思考】 比较扇形面积公式 S= π2 360 和弧长公式 l= π 180 ,你能用弧长公式表示扇形的面积吗? 教师引导:观察两个公式的分子和分母,分子中的 nπr2 可以写成 nπr·r,分母中的 360 可以 写成 180×2. 【学生活动】 学生思考后小组交流,得出扇形的第二个计算公式. 【课件展示】 扇形的面积公式: S= π2 360 = 1 2 lr(其中 n 为圆心角的度数,r 为圆的半径,l 为扇形的弧长). 思路二 【课件展示】 半径为 r 的☉O,它的周长为 2πr,面积为πr2,圆心角为 360°. 按下表给定的圆心角,计算所对的弧长以及扇形的面积,填写下表: 给定的圆心角 1° 90 ° n° 所对的弧长 扇形面积 【师生活动】 学生独立思考,小组合作交流,教师适当提示引导,学生展示后,教师点评 归纳,得出弧长公式和扇形面积公式. 教师引导: 1°的圆心角所对的弧长为 2π 360 = π 180 ,所对的扇形的面积为 π2 360 . 若设 n°圆心角所对的弧长为 l,所对的扇形面积为 S,则 l=n· π 180 = π 180 ,S=n· π2 360 = π2 360 . 【追加思考】 比较扇形面积公式 S= π2 360 和弧长公式 l= π 180 ,你能用弧长公式表示扇形的面积吗? 【师生活动】 学生思考后,小组合作交流,教师在巡视中帮助有困难的学生,引导学生观察 公式中分子和分母之间的关系,学生展示后教师点评,师生共同归纳扇形面积的第二个公式. 【课件展示】 结论:在半径为 r 的圆中,n°的圆心角所对的弧长为:l= π 180 ;(板书) 在半径为 r 的圆中,n°的圆心角所对的扇形面积为:S= π2 360 = 1 2 lr.(板书) - 4 - [设计意图] 引导学生由圆的周长和圆心角之间的关系,经历由特殊到一般、由整体到部分 的探究过程,体验弧长公式是如何推导的,类比弧长公式的探究方法,让学生由独立思考、合 作交流共同探究出扇形面积公式,同时观察讨论扇形面积和弧长公式之间的关系,得出用弧 长表示扇形的面积公式,让学生体会事物之间是相互联系的.教师的追问,让学生加深对公式 的理解和灵活运用. 三、例题讲解 [过渡语] 我们学习了弧长和扇形面积公式,根据公式我们可以进行有关的计算. 【课件展示】 (教材 168 页例)如图所示,☉O 的半径为 10 cm. (1)如果∠AOB=100°,求 晦 的长及扇形 AOB 的面积.(结果保留一位小数) (2)已知 晦‴ =25 cm,求∠BOC 的度数.(结果精确到 1°) 【师生活动】 学生独立完成的同时,小组代表板书解答过程,小组内交流答案,教师对学生 的板书点评. 解:(1)r=10 cm,∠AOB=100°,由弧长和扇形面积公式,得: 晦 = π 180 = 100 × π × 10 180 ≈ 100 × 3 . 14 × 10 180 ≈17.4(cm), S 扇形 AOB= π2 360 = 100 × π × 102 360 ≈ 100 × 3 . 14 × 100 360 ≈87.2(cm2). 所以 晦 的长约为 17.4 cm,扇形 AOB 的面积约为 87.2 cm2. (2)r=10 cm, 晦‴ =25 cm,由弧长公式,得: n= 180晦‴ π ≈ 180 × 25 3 . 14 × 10 ≈143. 所以∠BOC 约为 143°. 追加提问: 1.弧长的大小由哪些量决定?扇形的面积由哪些量决定? 2.已知半径和圆心角,能不能求弧长、扇形面积? 已知弧长和半径(或扇形面积和半径),能不能求弧所对的圆心角的度数? 已知弧长和所对的圆心角(或扇形面积和圆心角),能不能求所在圆的半径? 【学生活动】 学生思考回答. 教师归纳:在弧长公式中,已知 l,n,r 其中的两个量,就可以求出第三个量的值;在扇形面积 公式中,已知 S,n,r 其中的两个量,就可以求出第三个量的值. - 5 - [设计意图] 通过解决和弧长、扇形面积有关的计算,加深学生对弧长、扇形面积公式的理 解和认识,培养学生解决问题的能力. 四、圆锥的概念及其侧面积的计算 [过渡语] 在实际生活中,常见到圆锥形图形,让我们一起研究圆锥的有关知识吧! 自主学习教材第 168 页圆锥的有关概念. 【思考】 1.什么是圆锥的母线、圆锥的高? 2.圆锥的母线有几条?圆锥的母线、高、半径围成什么图形? 3.将圆锥的侧面展开,得到的平面图形是什么? 4.圆锥的侧面展开图的弧长、半径与圆锥的底面、母线长有什么关系? 5.若圆锥的底面半径为 r,母线长为 l,你能求出圆锥的侧面展开图的面积吗? 【师生活动】 学生自主学习后独立思考,小组合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学 生,建议学生多动手操作,体会立体图形向平面图形的转换.学生展示后,教师点评归纳. 【课件展示】 圆锥的母线:圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线叫做圆锥的母线. 圆锥的高:圆锥的顶点与底面圆心之间的线段叫做圆锥的高. 如图所示,PA 为圆锥的一条母线,PO 为圆锥的高. 将圆锥的侧面沿母线 PA 展开成平面图形,该图形为一个扇形,扇形的半径长等于圆锥的母线 长.反过来,扇形也可以围成一个圆锥. [设计意图] 学生在小学已经初步认识圆锥,通过自主学习和小组合作交流,对圆锥的有关 概念加深理解.在教师问题的引导下,学生观察、分析、比较展开扇形和圆锥之间的关系,让 学生经历探索圆锥侧面积公式的过程,提高分析问题能力. 做一做: 【课件展示】 已知扇形的圆心角为 120°,弧长为 20π cm.如果用这个扇形围成一个圆锥, 那么这个圆锥的侧面积是多少? 【师生活动】 学生独立完成后,小组内交流答案,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对 学生的展示进行点评,并规范解题格式. 【课件展示】 解:设圆锥的母线长为 l cm,由弧长公式可得: 20π= 120π 180 ,解得 l=30, ∴圆锥的侧面积 S= 1 2 ×20π×30=300π(cm2). [设计意图] 通过做一做,让学生加深对圆锥的侧面积的理解和掌握,在应用公式解决问题 时,培养学生灵活运用公式计算的能力. - 6 - [知识拓展] 1.圆心角为 1°的弧长等于圆周长的 1 360 ,所以圆心角是 n°的弧长 l=n· 2π 360 = π 180 ,其中 n 表示 1°的圆心角的倍数,不带单位. 2.在弧长公式 l= π 180 中有三个量 l,n,r,已知其中任意两个量,可以求出第三个量. 3.圆锥看成是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形,圆锥的母线长 a, 高 h,底面半径 r 恰好构成一个直角三角形,满足 r2+h2=a2,利用这一关系可以在已知任意两个 量的情况下求出第三个量. 三、课堂小结： 1.扇形定义:一条弧和经过这条弧端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. 2.弧长和扇形面积公式:l= π 180 ,S= π2 360 = 1 2 lr. 3.弧长和扇形面积的应用:已知公式中的两个量,可以求另外一个量. 4.圆锥母线、高的定义:圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线叫做圆锥的母线.圆锥的顶 点与底面圆心之间的线段叫做圆锥的高. 5.圆锥的侧面积:圆锥的侧面积等于圆锥侧面展开图的扇形的面积,扇形的弧长为圆锥底面 周长,扇形的半径为圆锥的母线.