【期末冲刺得分】2020-2021学年八年级数学上册期末复习讲义 第十二章 全等三角形（人教版）

【期末冲刺得分】2020-2021学年八年级数学上册期末复习讲义 第十二章 全等三角形（人教版）

【期末冲刺得分】：2020-2021 学年八年级数学上册期末复习资料 第十二章 全等三角形 知识构建导图 专题归纳复习 探究点一：全等形和全等三角形的概念及对应元素 【类型一】 全等形的认识 2013 年第十二届全运会在辽宁举行，下图中的图形是全运会的会徽， 其中是全等形的是( ) A．(1)(2) B．(2)(3) C．(1)(3) D．(1)(4) 解析：根据能够完全重合的两个图形是全等形进行判断．由此可以判断选项 D 是正确的． 方法总结：判断两个图形是不是全等形，可以通过平移、翻折、旋转等方法， 将两个图形叠合起来观察，看其是否能完全重合，有时还可以借助网格背景来观 察比较． 【类型二】 全等三角形的对应元素 如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角形的对应 边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角． 解析：结合图形进行分析，分别写出对应边与对应角即可． 解：△BOD 与△COE 的对应边为：BO 与 CO，OD 与 OE，BD 与 CE；△ADO 与△AEO 的对应角为：∠DAO 与∠EAO，∠ADO 与∠AEO，∠AOD 与∠AOE. 方法总结：找全等三角形的对应元素的关键是准确分析图形，另外记全等三 角形时，对应顶点要写在对应的位置上，这样就可以比较容易地写出对应角和对 应边了． 探究点二：全等三角形的性质 【类型一】 应用全等三角形的性质求三角形的角或边 如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF 的度数和 CF 的长． 解析：根据全等三角形对应边、对应角相等求∠DEF 的度数和 CF 的长． 解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，∴∠DEF ＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，∴CF＝BC－BF＝7－4＝3. 方法总结：本题主要是考查运用全等三角形的性质求角的度数和线段的长， 解决问题的关键是准确识别图形． 【类型二】 全等三角形的性质与三角形内角和的综合运用 如图，△ABC≌△ADE，∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°， 求∠ACB 的度数． 解析：根据全等三角形的对应角相等可知∠EAB＝∠EAD＋∠CAD＋∠CAB ＝2∠CAB＋10°＝120°，即∠CAB＝55°.然后在△ACB 中利用三角形内角和定理 来求∠ACB 的度数． 解：∵△ABC≌△ADE，∴∠CAB＝∠EAD.∵∠EAB＝120°，∠CAD＝10°， ∴∠EAB ＝ ∠EAD ＋ ∠CAD ＋ ∠CAB ＝ 2∠CAB ＋ 10° ＝ 120° ， ∴∠CAB ＝ 55°.∵∠B＝∠D＝25°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠B＝180°－55°－25°＝100°， 即∠ACB 的度数是 100°. 方法总结：本题将三角形内角和与全等三角形的性质综合考查，解答问题时 要将所求的角与已知角通过全等及三角形内角之间的关系联系起来． 探究点二：三角形全等的判定方法——“边边边” 【类型一】 利用“SSS”判定两个三角形全等 如图，AB＝DE，AC＝DF，点 E、C 在直线 BF 上，且 BE＝CF.求证： △ABC≌△DEF. 解析：已知△ABC 与△DEF 有两边对应相等，通过 BE＝CF 可得 BC＝EF， 即可判定△ABC≌△DEF. 证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝EC＋CF，即 BC＝EF.在△ABC 和△DEF 中， ∵ BC＝EF， AB＝DE， AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF(SSS)． 方法总结：判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形， 然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 【类型二】 “SSS”与全等三角形的性质结合进行证明或计算 如图所示，△ABC 是一个风筝架，AB＝AC，AD 是连接点 A 与 BC 中 点 D 的支架，求证：AD⊥BC. 解析：要证 AD⊥BC，根据垂直定义，需证∠1＝∠2，∠1＝∠2 可由 △ABD≌△ACD 证得． 证 明 ： ∵D 是 BC 的 中 点 ， ∴BD ＝ CD. 在 △ABD 和 △ACD 中 ， ∵ AB＝AC， BD＝CD， AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD(SSS)，∴∠1＝∠2(全等三角形的对应角相 等)．∵∠1＋∠2＝180°，∴∠1＝∠2＝90°，∴AD⊥BC(垂直定义)． 方法总结：将垂直关系转化为证两角相等，利用全等三角形证明两角相等是 全等三角形的间接应用． 【类型三】 利用“边边边”进行尺规作图 已知：如图，线段 a、b、c.求作：△ABC，使得 BC＝a，AC＝b，AB ＝c.(保留作图痕迹，不写作法) 解析：首先画 AB＝c，再以 B 为圆心，a 为半径画弧，以 A 为圆心，b 为半 径画弧，两弧交于一点 C，连接 BC，AC，即可得到△ABC. 解：如图所示，△ABC 就是所求的三角形． 方法总结：关键是掌握基本作图的方法，结合几何图形的基本性质把复杂作 图拆解成基本作图，逐步操作． 【类型四】 利用“SSS”解决探究性问题 如图，AD＝CB，E、F 是 AC 上两动点，且有 DE＝BF. (1)若 E、F 运动至图①所示的位置，且有 AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF. (2)若 E、F 运动至图②所示的位置，仍有 AF＝CE，那么△ADE≌△CBF 还 成立吗？为什么？ (3)若 E、F 不重合，AD 和 CB 平行吗？说明理由． 解析：(1)因为 AF＝CE，可推出 AE＝CF，所以可利用 SSS 来证明三角形全 等；(2)同样利用三边来证明三角形全等；(3)因为全等，所以对应角相等，可推 出 AD∥CB. 解：(1)∵AF＝CE，∴AF＋EF＝CE＋EF，∴AE＝CF.在△ADE 和△CBF 中， ∵ AD＝CB， DE＝BF， AE＝CF， ∴△ADE≌△CBF. (2)成立．∵AF＝CE，∴AF－EF＝CE－EF，∴AE＝CF.在△ADE 和△CBF 中，∵ AD＝CB， DE＝BF， AE＝CF， ∴△ADE≌△CBF. (3)平行．∵△ADE≌△CBF，∴∠A＝∠C，∴AD∥BC. 方法总结：解决本题要明确无论 E、F 如何运动，总有两个三角形全等，这 个在图形中要分清． 探究点三：应用“边角边”判定两三角形全等 【类型一】 利用“SAS”判定三角形全等 如图，A、D、F、B 在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且 AE∥BC. 求证：△AEF≌△BCD. 解析：由 AE∥BC，根据平行线的性质，可得∠A＝∠B，由 AD＝BF 可得 AF＝BD，又 AE＝BC，根据 SAS，即可证得△AEF≌△BCD. 证明：∵AE∥BC，∴∠A＝∠B.∵AD＝BF，∴AF＝BD.在△AEF 和△BCD 中，∵ AE＝BC， ∠A＝∠B， AF＝BD， ∴△AEF≌△BCD(SAS)． 方法总结：判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两 边的夹角． 【类型二】 “边边角”不能证明三角形全等 下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF 的是( ) A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF 解析：要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不是两边和这 两边的夹角，只有选项 C 的条件不符合，故选 C. 方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角 形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备 SSA 时是不能判 定三角形全等的． 探究点四：全等三角形判定与性质的综合运用 【类型一】 利用全等三角形进行证明或计算 已知：如图，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2，若∠1＝45°， 求∠C 的度数． 解析：利用已知条件易证∠ABC＝∠FBE，再根据全等三角形的判定方法可 证明△ABC≌△FBE，由全等三角形的性质即可得到∠C＝∠BEF.再根据平行， 可得出∠BEF 的度数，从而可知∠C 的度数． 解 ： ∵∠1 ＝ ∠2 ， ∴∠ABC ＝ ∠FBE. 在 △ABC 和 △FBE 中 ， ∵ BC＝BE， ∠ABC＝∠FBE， AB＝FB， ∴△ABC≌△FBE(SAS)，∴∠C＝∠BEF.又∵BC∥EF， ∴∠C＝∠BEF＝∠1＝45°. 方法总结：全等三角形是证明线段和角相等的重要工具． 【类型二】 全等三角形与其他图形的综合 如图，四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE、CG.求证：(1)AE ＝CG；(2)AE⊥CG. 解析：(1)因为已知条件中有两个正方形，所以 AD＝CD，DE＝DG，它们的 夹角都是∠ADG 加上直角，可得夹角相等，所以△ADE 和△CDG 全等；(2)再利 用互余关系可以证明 AE⊥CG. 证明：(1)∵四边形 ABCD、DEFG都是正方形，∴AD＝CD，GD＝ED.∵∠CDG ＝90°＋∠ADG，∠ADE＝90°＋∠ADG，∴∠CDG＝∠ADE.在△ADE 和△CDG 中，∵ AD＝CD， ∠ADE＝∠CDG， DE＝GD， ∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG； (2)设 AE 与 DG 相交于 M，AE 与 CG 相交于 N，在△GMN 和△DME 中，由 (1)得∠CGD＝∠AED，又∵∠GMN＝∠DME，∠DEM＋∠DME＝90°，∴∠CGD ＋∠GMN＝90°，∴∠GNM＝90°，∴AE⊥CG. 探究点五：应用“角边角”、“角角边”判定三角形全等 【类型一】 应用“ASA”判定两个三角形全等 如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，求证：△ADF≌△CBE. 解析：根据平行线的性质可得∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC，再根据等式的性 质可得 AF＝CE，然后利用 ASA 可证明△ADF≌△CBE. 证明：∵AD∥BC，BE∥DF，∴∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC.∵AE＝CF， ∴AE ＋ EF ＝ CF ＋ EF ， 即 AF ＝ CE. 在 △ADF 和 △CBE 中 ， ∵ ∠A＝∠C， AF＝CE， ∠DFA＝∠BEC， ∴△ADF≌△CBE(ASA)． 方法总结：在“ASA”中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边而不是两 角及一角的对边对应相等，应用时要注意区分；在“ASA”中，“边”必须是“两角 的夹边”． 【类型二】 应用“AAS”判定两个三角形全等 如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，BE⊥AC 于 E.AD 与 BE 交于 F， 若 BF＝AC，求证：△ADC≌△BDF. 解析：先证明∠ADC＝∠BDF，∠DAC＝∠DBF，再由 BF＝AC，根据 AAS 即可得出两三角形全等． 证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝90°.∵∠AFE＝ ∠BFD，∠DAC＋∠AEF＋∠AFE＝180°，∠BDF＋∠BFD＋∠DBF＝180°， ∴∠DAC ＝ ∠DBF. 在 △ADC 和 △BDF 中 ， ∵ ∠DAC＝∠DBF， ∠ADC＝∠BDF， AC＝BF， ∴△ADC≌△BDF(AAS)． 方法总结：在“AAS”中，“边”是“其中一个角的对边”． 【类型三】 灵活选用不同的方法证明三角形全等 如图，已知 AB＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使△ABC≌△AED，还需添 加一个条件，这个条件可以是______________． 解析：由∠BAD＝∠CAE 得到∠BAC＝∠EAD，加上 AB＝AE，所以当添加 ∠C＝∠D 时，根据“AAS”可判断△ABC≌△AED；当添加∠B＝∠E 时，根据“ASA” 可判断△ABC≌△AED；当添加 AC＝AD 时，根据“SAS”可判断△ABC≌△AED. 方法总结：判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS. 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有 边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 探究点六：运用全等三角形解决有关问题 已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线 m 经过点 A，BD⊥ 直线 m，CE⊥直线 m，垂足分别为点 D、E.求证：(1)△BDA≌△AEC；(2)DE＝ BD＋CE. 解析：(1)由垂直的关系可以得到一对直角相等，利用同角的余角相等得到 一对角相等，再由 AB＝AC，利用 AAS 即可得证；(2)由△BDA≌△AEC，可得 BD＝AE，AD＝EC，根据 DE＝DA＋AE 等量代换即可得证． 证明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD ＝90°.∵AB⊥AC，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE.在△BDA 和△AEC 中，∵ ∠ADB＝∠CEA＝90°， ∠ABD＝∠CAE， AB＝AC， ∴△BDA≌△AEC(AAS)； (2)∵△BDA≌△AEC，∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE. 方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、 和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转 化． 探究点七：应用“斜边、直角边”判定三角形全等 如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F 在线段 BC 上，DE 与 AF 交于点 O， 且 AB＝CD，BE＝CF.求证：Rt△ABF≌Rt△DCE. 解析：由题意可得△ABF 与△DCE 都为直角三角形，由 BE＝CF 可得 BF＝ CE，然后运用“HL”即可判定 Rt△ABF 与 Rt△DCE 全等． 证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即 BF＝CE.∵∠A＝∠D＝90°， ∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形．在 Rt△ABF 和 Rt△DCE 中，∵ BF＝CE， AB＝CD， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)． 方法总结：利用“HL”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三 角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可． 探究点八：“斜边、直角边”判定三角形全等的运用 【类型一】 利用“HL”判定线段相等 如图，已知 AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果 AD ＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE. 解析：根据“HL”证 Rt△ADC≌Rt△AFE，得 CD＝EF，再根据“HL”证 Rt△ABD≌Rt△ABF，得 BD＝BF，最后证明 BC＝BE. 证明：∵AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且 AD＝AF，AC ＝ AE ， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL) ． ∴CD ＝ EF.∵AD ＝ AF ， AB ＝ AB ， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即 BC＝BE. 方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是 直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住 “直角”这个隐含的已知条件． 【类型二】 利用“HL”判定角相等或线段平行 如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2. 解析：要证角相等，可先证明全等．即证 Rt△ABC≌Rt△ADC，进而得出角 相等． 证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90°，∴△ABC 与△ACD 为直 角三角形．在 Rt△ABC 和 Rt△ADC 中，∵ AB＝AD， AC＝AC， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)， ∴∠1＝∠2. 方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决． 【类型三】 利用“HL”解决动点问题 如图，有一直角三角形 ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条 线段 PQ＝AB，P、Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 AC 的射线 AQ 上运动， 问 P 点运动到 AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？ 解析：本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时 AP＝BC＝5cm， 可据此求出 P 点的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时 AP＝AC，P、C 重合． 解：根据三角形全等的判定方法 HL 可知：(1)当 P 运动到 AP＝BC 时，∵∠C ＝ ∠QAP ＝ 90°. 在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中 ， ∵ AP＝BC， PQ＝AB， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；(2)当 P 运动到与 C 点 重 合 时 ， AP ＝ AC. 在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中 ， ∵ AP＝AC， PQ＝AB， ∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，∴当 AP＝5cm 或 10cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等． 方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明 全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解． 【类型四】 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等 如图，CD⊥AB 于 D 点，BE⊥AC 于 E 点，BE，CD 交于 O 点，且 AO 平分∠BAC.求证：OB＝OC. 解析：已知 BE⊥AC，CD⊥AB 可推出∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝ 90°，由 AO 平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据 AAS 证得△AOD≌△AOE，根 据 ASA 证得△BOD≌△COE，即可证得 OB＝OC. 证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°.∵AO 平分∠BAC，∴∠1＝∠2.在△AOD 和△AOE 中，∵ ∠ADC＝∠AEB， ∠1＝∠2， OA＝OA， ∴△AOD≌△AOE(AAS) ． ∴OD ＝ OE. 在 △BOD 和 △COE 中 ， ∵ ∠BDC＝∠CEB， OD＝OE， ∠BOD＝∠COE， ∴△BOD≌△COE(ASA)．∴OB＝OC. 方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL”外，还有：SSS、SAS、ASA、 AAS. 探究点九：角平分线的作法 如图，AB∥CD，以点 A 为圆心，小于 AC 长为半径作圆弧，分别交 AB，AC 于 E，F 两点，再分别以 E、F 为圆心，大于 1 2EF 的长为半径画弧，两 弧交于点 P，作射线 AP，交 CD 于点 M.若∠ACD＝120°，求∠MAB 的度数． 解析：根据 AB∥CD，∠ACD＝120°，得出∠CAB＝60°，再根据 AM 是∠CAB 的平分线，即可得出∠MAB 的度数． 解：∵AB∥CD，∴∠ACD＋∠CAB＝180°，又∵∠ACD＝120°，∴∠CAB ＝60°，由作法知，AM 是∠CAB 的平分线，∴∠MAB＝1 2 ∠CAB＝30°. 方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM是∠BAC 的角平分线是解题的关键． 探究点十：角平分线的性质 【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等 如图：在△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于 E， F 在 AC 上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB. 解析：(1)根据角平分线的性质，可得点 D 到 AB 的距离等于点 D 到 AC 的距 离，即 CD＝DE.再根据 Rt△CDF≌Rt△EDB，得 CF＝EB；(2)利用角平分线的 性质证明△ADC 和△ADE 全等得到 AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进 行证明． 证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.∵在 Rt△DCF 和 Rt△DEB 中，∵ DF＝BD， DC＝DE， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)．∴CF＝EB； (2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在△ADC 与 △ADE 中，∵ CD＝DE， AD＝AD， ∴△ADC≌△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF ＋EB＝AF＋2EB. 方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定 要注意是两条“垂线段”相等． 【类型二】 角平分线的性质与三角形面积的综合运用 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，S△ABC＝7，DE ＝2，AB＝4，则 AC 的长是( ) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：过点 D 作 DF⊥AC 于 F，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，∴DF ＝DE＝2，∴S△ABC＝1 2×4×2＋1 2AC×2＝7，解得 AC＝3.故选 D. 方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面 积公式求出线段的长度是常用的方法． 【类型三】 角平分线的性质与全等三角形综合 如图所示，D 是△ABC 外角∠ACG 的平分线上的一点．DE⊥AC， DF⊥CG，垂足分别为 E，F.求证：CE＝CF. 解析：由角平分线的性质可得 DE＝DF，再利用“HL”证明 Rt△CDE 和 Rt△CDF 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可． 证明：∵CD 是∠ACG 的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在 Rt△CDE 和 Rt△CDF 中，∵ CD＝CD， DE＝DF， ∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF. 方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等 的主要依据，可作为判定三角形全等的条件． 探究点十一：角平分线的判定定理 【类型一】 角平分线的判定 如图，BE＝CF，DE⊥AB 的延长线于点 E，DF⊥AC 于点 F，且 DB＝ DC，求证：AD 是∠BAC 的平分线． 解析：先判定 Rt△BDE 和 Rt△CDF 全等，得出 DE＝DF，再由角平分线的 判定可知 AD 是∠BAC 的平分线． 证明：∵DE⊥AB 的延长线于点 E，DF⊥AC 于点 F，∴∠BED＝∠CFD， ∴△BDE 与△CDF 是直角三角形．在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，∵ BE＝CF， BD＝CD， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE＝DF，∴AD 是∠BAC 的平分线． 方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证 明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上． 【类型二】 角平分线性质和判定的综合 如图所示，△ABC 中，AB＝AC，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是 E、F，下面给出四个结论，①AD 平分∠EDF；②AE＝AF； ③AD 上的点到 B、C 两点的距离相等；④到 AE、AF 距离相等的点，到 DE、 DF 的距离也相等．其中正确的结论有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 解析：由 AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC 可得 DE＝DF，由此易得 △ADE≌△ADF，故∠ADE＝∠ADF，即①AD 平分∠EDF 正确；②AE＝AF 正 确；角平分线上的点到角的两边的距离相等，故③正确；∴④到 AE、AF 距离相 等的点，到 DE、DF 的距离也相等正确；①②③④都正确．故选 D. 方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程， 可以直接得到线段或角相等． 【类型三】 添加辅助线解决角平分线的问题 如图，已知：△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点 D.求证： AD 是∠BAC 的平分线． 解析：分别过点 D 作 DE、DF、DG 垂直于 AB、BC、AC，垂足分别为 E、 F、G，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知 DE＝DG，再利用到 角两边距离相等的点在角平分线上证明． 证明：分别过 D 作 DE、DF、DG 垂直于 AB、BC、AC，垂足分别为 E、F、 G，∵BD 平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理 DG＝DF，∴DE＝ DG，∴点 D 在∠EAG 的平分线上，∴AD 是∠BAC 的平分线． 方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的 垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题． 探究点十二：三角形的内角平分线 【类型一】 利用角平分线的判定求角的度数 在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相 等．若∠A＝40°，则∠BOC 的度数为( ) A．110° B．120° C．130° D．140° 解析：由已知，O 到三角形三边的距离相等，所以 O 是内心，即三条角平 分线的交点，AO，BO，CO 都是角平分线，所以有∠CBO＝∠ABO＝1 2 ∠ABC， ∠BCO＝∠ACO＝1 2 ∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB ＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°，故选 A. 方法总结：由已知，O 到三角形三边的距离相等，得 O 是内心，再利用三 角形内角和定理即可求出∠BOC 的度数． 【类型二】 三角形内角平分线的应用 已知：如图，直线 l1，l2，l3 表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔 台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问： (1)可选择的地点有几处？ (2)你能画出塔台的位置吗？ 解析：(1)根据角平分线的性质得出符合条件的点有 4 处．(2)作出相交组成 的角的平分线，平分线的交点就是所求的点． 解：(1)可选择的地点有 4 处，如图： P1、P2、P3、P4，共 4 处． (2)能，如图，根据角平分线的性质的作三条直线相交的角的平分线，平分 线的交点就是所求的点． 方法总结：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到 三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线的交点，这一结论在以后的学 习中经常遇到． 中考聚焦训练 1.(2018·广西梧州中考)如图,已知 BG 是∠ABC 的平分线,DE ⊥AB 于点 E,DF⊥BC 于点 F,DE=6,则 DF 的长度是( ) A.2 B.3 C.4 D.6 ∵BG 是∠ABC 的平分线,DE⊥AB,DF⊥BC, ∴DE=DF=6. 故选 D. 2. (2018·四川成都中考)如图,已知∠ABC=∠DCB,添加以下 条件,不能判定△ABC≌△DCB 的是( ) A.∠A=∠D B.∠ACB=∠DBC 已知∠ABC=∠DCB,BC=CB,根据全等三角形的判定,可知添加 夹这组对应角的另一边对应相等或添加另一组角对应相等 均可判定△ABC≌△DCB.添加A,B,D中条件,均能判定△ABC≌ △DCB.添加 C 中条件,不能判定△ABC≌△DCB.故选 C. 3.(2017·山东枣庄中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点 A 为圆心,适当长为半径画弧,分别交 AC,AB 于点 M,N,再分别 以点 M,N 为圆心,大于 MN 的长为半径画弧,两弧交于点 P, 作射线 AP 交边 BC 于点 D,若 CD=4,AB=15,则△ABD 的面积 是( ). A.15 B.30 C.45 D.60 由题意得 AP 是∠BAC 的平分线,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E. ∵∠C=90°, ∴DE=CD, ∴△ABD 的面积= 1 2 AB·DE= 1 2 ×15×4=30. 故选 B. 4.(2018·江苏南京中考)如图,AB⊥CD,且 AB=CD,E,F 是 AD 上 的两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若 CE=a,BF=b,EF=c,则 AD 的长为 ( ) A.a+c B.b+c C.a-b+c D.a+b-c 设 BF 交 CD 于点 M, 则∠BMC=∠DMF, ∴∠B=∠D. 在△ABF 和△CDE 中, ∠ = ∠ , ∠t = ∠t , = , ∴△ABF≌△CDE, ∴AF=CE=a,DE=BF=b, ∴DF=DE-EF=b-c, ∴AD=AF+DF=a+b-c. 5.(2018·黑龙江中考)如图,在四边形 ABCD 中,AB=AD,AC=5, ∠DAB=∠DCB=90°,则四边形 ABCD 的面积为 ( ) A.15 B.12.5 C.14.5 D.17 如图,过点 A 作 AE⊥AC,交 CB 的延长线于点 E. ∵ ∠ DAB= ∠ DCB=90°, ∴ ∠ D+ ∠ ABC=180°= ∠ ABE+ ∠ ABC, ∴∠D=∠ABE. 又∠DAB=∠CAE=90°, ∴∠CAD=∠EAB. 又 AD=AB, ∴△ACD≌△AEB. ∴AC=AE. ∴四边形 ABCD 的面积与△ACE 的面积相等. ∵S△ACE= 1 2 5×5=12.5, ∴四边形 ABCD 的面积为 12.5,故选 B. 6.(2018·四川乐山中考)如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4. 求证:BC=BD. 证明 在△ABC 和△ABD 中, ∵∠3=∠4,∠3+∠ABC=∠4+∠ABD, ∴∠ABC=∠ABD. 又∠1=∠2,AB=AB, ∴△ABC≌△ABD. ∴BC=BD. 7.(2017·湖北中考)如图,∠BAC=∠DAM,AB=AN,AD=AM.求 证:∠B=∠ANM. 证明 ∵∠BAC=∠DAM, ∴∠BAC-∠DAC=∠DAM-∠DAC, 即∠BAD=∠NAM. 在△ABD 和△ANM 中, = , ∠ = ∠h , = h , ∴△ABD≌△ANM(SAS). ∴∠B=∠ANM. 8.(2018·四川泸州中考)如图,EF=BC,DF=AC,DA=EB.求证:∠ F=∠C. 证明 ∵DA=EB, ∴DA+AE=EB+AE, 即 DE=AB. 在△DEF 和△ABC 中, t = , tt = , t = , ∴△DEF≌△ABC(SSS), ∴∠F=∠C. 9.(2018·四川南充中考)如图,已知 AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠ DAC. 求证:∠C=∠E. 证明 ∵∠BAE=∠DAC, ∴∠BAE-∠CAE=∠DAC-∠CAE. ∴∠BAC=∠DAE. 在△ABC 与△ADE 中, = , ∠ = ∠t , = t , ∴△ABC≌△ADE(SAS). ∴∠C=∠E. 10.(2017·湖北武汉中考)如图,点 C,F,E,B 在一条直线上,∠ CFD=∠BEA,CE=BF,DF=AE.写出 CD 与 AB 之间的关系,并 证明你的结论. 解 CD 与 AB 之间的关系为 CD=AB,且 CD∥AB.证明如下: ∵CE=BF,∴CF=BE. 在△CDF 和△BAE 中, t = t , ∠t = ∠t , t = t , ∴△CDF≌△BAE. ∴CD=BA,∠C=∠B, ∴CD∥BA.