2019-2020学年湖南长沙雨花区中九年级（下）第一次段考数学试卷（解析版）

2019-2020学年湖南长沙雨花区中九年级（下）第一次段考数学试卷（解析版）

‎2019-2020学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级（下）第一次段考数学试卷 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．﹣的绝对值是（　　）‎ A．﹣ B． C．2 D．﹣2‎ ‎2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线 ‎ C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线 ‎3．成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（　　）‎ A．46×10﹣7 B．4.6×10﹣7 C．4.6×10﹣6 D．0.46×10﹣5‎ ‎4．下列计算正确的是（　　）‎ A．2a+3a＝6a B．（﹣3a）2＝6a2 ‎ C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．3﹣＝2‎ ‎5．如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为（　　）‎ A．45° B．48° C．50° D．58°‎ ‎6．在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是（　　）‎ A．9.7m，9.9m B．9.7m，9.8m C．9.8m，9.7m D．9.8m，9.9m ‎7．如图是一个几何体的三视图，该几何体是（　　）‎ A．球 B．圆锥 C．圆柱 D．棱柱 ‎8．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4‎ ‎9．为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买2个排球和3个实心球共需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230元，若设每个排球x元，每个实心球y元，则根据题意列二元一次方程组得（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若BD＝6，则CD的长为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．3‎ ‎11．如图，一艘快艇从O港出发，向东北方向行驶到A处，然后向西行驶到B处，再向东南方向行驶，共经过1小时到O港，已知快艇的速度是60km/h，则A，B之间的距离是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．在平面直角坐标系中，已知m≠n，函数y＝x2+（m+n）x+mn的图象与x轴有a个交点，函数y＝mnx2+（m+n）x+1的图象与x轴有b个交点，则a与b的数量关系是（　　）‎ A．a＝b B．a＝b﹣1 C．a＝b或a＝b+1 D．a＝b或a＝b﹣1‎ 二．填空题（共6小题）‎ ‎13．已知二次根式有意义，则满足条件的x的最大值是　 　．‎ ‎14．分解因式：m2﹣4m+4＝　 　．‎ ‎15．不等式组的解集是　 　．‎ ‎16．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于　 　．‎ ‎17．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为18cm，BD的长为9cm，则纸面部分BDEC的面积为　 　cm2．‎ ‎18．如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为　 　．‎ 三．解答题（共8小题）‎ ‎19．计算：‎ ‎20．化简求值：，其中x＝．‎ ‎21．某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部分学生，并制作了如下表格与条形统计图：‎ 频数 频率 体育 ‎40‎ ‎0.4‎ 科技 ‎25‎ a 艺术 b ‎0.15‎ 其它 ‎20‎ ‎0.2‎ 请根据上图完成下面题目：‎ ‎（1）总人数为　 　人，a＝　 　，b＝　 　．‎ ‎（2）请你补全条形统计图．‎ ‎（3）若全校有600人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？‎ ‎22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣4，1），B（﹣2，3），C（﹣1，2）．‎ ‎（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A′B′C′，点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点．‎ ‎（2）求过点B′的反比例函数解析式．‎ ‎（3）判断A′B′的中点P是否在（2）的函数图象上．‎ ‎23．东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．‎ ‎（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；‎ ‎（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？‎ ‎24．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，CD＝4，点E是BC边上的点，BE＝3，连接AE，DF⊥AE交于点F．‎ ‎（1）求证：△ABE≌△DFA；‎ ‎（2）连接CF，求sin∠DCF的值；‎ ‎（3）连接AC交DF于点G，求的值．‎ ‎25．若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线”．‎ ‎（1）判断抛物线C1：y＝x2﹣2x是否为“等边抛物线”？如果是，求出它的对称轴和顶点坐标；如果不是，说明理由．‎ ‎（2）若抛物线C2：y＝ax2+2x+c为“等边抛物线”，求ac的值；‎ ‎（3）对于“等边抛物线”C3：y＝x2+bx+c，当1＜x＜m时，二次函数C3的图象落在一次函数y＝x图象的下方，求m的最大值．‎ ‎26．如图，二次函数y＝2mx2+5mx﹣12m（m为参数，且m＜0）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0）．‎ ‎（1）求直线AC的解析式（用含m的式子表示）．‎ ‎（2）若m＝﹣，连接BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．‎ ‎（3）在（2）的条件下，设点M为AC上方的抛物线上一动点（与点A，C不重合），以M为圆心的圆与直线AC相切，求⊙M面积的取值范围．‎ ‎ ‎ 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．﹣的绝对值是（　　）‎ A．﹣ B． C．2 D．﹣2‎ ‎【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可．‎ ‎【解答】解：|﹣|＝，‎ 故选：B．‎ ‎2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线 ‎ C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线 ‎【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．‎ ‎【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；‎ B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；‎ C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；‎ D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；‎ 故选：C．‎ ‎3．成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（　　）‎ A．46×10﹣7 B．4.6×10﹣7 C．4.6×10﹣6 D．0.46×10﹣5‎ ‎【分析】本题用科学记数法的知识即可解答．‎ ‎【解答】解：0.0000046＝4.6×10﹣6．‎ 故选：C．‎ ‎4．下列计算正确的是（　　）‎ A．2a+3a＝6a B．（﹣3a）2＝6a2 ‎ C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．3﹣＝2‎ ‎【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行运算即可；‎ ‎【解答】解：2a+3a＝5a，A错误；‎ ‎（﹣3a）2＝9a2，B错误；‎ ‎（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，C错误；‎ ‎＝2，D正确；‎ 故选：D．‎ ‎5．如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为（　　）‎ A．45° B．48° C．50° D．58°‎ ‎【分析】根据平行线的性质解答即可．‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠B＝∠1，‎ ‎∵∠1＝∠D+∠E，‎ ‎∴∠D＝∠B﹣∠E＝75°﹣27°＝48°，‎ 故选：B．‎ ‎6．在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是（　　）‎ A．9.7m，9.9m B．9.7m，9.8m C．9.8m，9.7m D．9.8m，9.9m ‎【分析】将这7个数据从小到大排序后处在第4位的数是中位数，利用算术平均数的计算公式进行计算即可．‎ ‎【解答】解：把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m，因此中位数是9.7m，‎ 平均数为：（9.5+9.6+9.7+9.7+9.8+10.1+10.2）÷7＝9.8m，‎ 故选：B．‎ ‎7．如图是一个几何体的三视图，该几何体是（　　）‎ A．球 B．圆锥 C．圆柱 D．棱柱 ‎【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．‎ ‎【解答】解：由于主视图和左视图为正方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆形可得为圆柱．‎ 故选：C．‎ ‎8．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4‎ ‎【分析】根据（﹣2，n）和（4，n）可以确定函数的对称轴x＝1，再由对称轴的x＝即可求解；‎ ‎【解答】解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，‎ 可知函数的对称轴x＝1，‎ ‎∴＝1，‎ ‎∴b＝2；‎ ‎∴y＝﹣x2+2x+4，‎ 将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得n＝﹣4；‎ 故选：B．‎ ‎9．为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买2个排球和3个实心球共需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230元，若设每个排球x元，每个实心球y元，则根据题意列二元一次方程组得（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据“购买2个排球和3个实心球共需95元，购买5个排球和7个实心球共需230元”可得．‎ ‎【解答】解：设每个排球x元，每个实心球y元，‎ 则根据题意列二元一次方程组得：，‎ 故选：B．‎ ‎10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若BD＝6，则CD的长为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．3‎ ‎【分析】由作图过程可得DN是AB的垂直平分线，AD＝BD＝6，再根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边一半即可求解．‎ ‎【解答】解：由作图过程可知：‎ DN是AB的垂直平分线，‎ ‎∴AD＝BD＝6‎ ‎∵∠B＝30°‎ ‎∴∠DAB＝30°‎ ‎∴∠C＝90°，‎ ‎∴∠CAB＝60°‎ ‎∴∠CAD＝30°‎ ‎∴CD＝AD＝3．‎ 故选：D．‎ ‎11．如图，一艘快艇从O港出发，向东北方向行驶到A处，然后向西行驶到B处，再向东南方向行驶，共经过1小时到O港，已知快艇的速度是60km/h，则A，B之间的距离是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据∠AOD＝45°，∠BOD＝45°，AB∥x轴，△AOB为等腰直角三角形，OA＝OB，利用三角函数解答即可．‎ ‎【解答】解：∵∠AOD＝45°，∠BOD＝45°，‎ ‎∴∠AOD＝90°，‎ ‎∵AB∥x轴，‎ ‎∴∠BAO＝∠AOC＝45°，∠ABO＝∠BOD＝45°，‎ ‎∴△AOB为等腰直角三角形，OA＝OB，‎ ‎∵OB+OA+AB＝60km，‎ ‎∵OB＝OA＝AB，‎ ‎∴AB＝，‎ 故选：B．‎ ‎12．在平面直角坐标系中，已知m≠n，函数y＝x2+（m+n）x+mn的图象与x轴有a个交点，函数y＝mnx2+（m+n）x+1的图象与x轴有b个交点，则a与b的数量关系是（　　）‎ A．a＝b B．a＝b﹣1 C．a＝b或a＝b+1 D．a＝b或a＝b﹣1‎ ‎【分析】根据题意，利用分类讨论的方法可以求得a、b的值，从而可以得到a和b的关系，本题得以解决．‎ ‎【解答】解：∵函数y＝x2+（m+n）x+mn的图象与x轴有a个交点，m≠n，‎ ‎∴（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2＞0，‎ ‎∴a＝2；‎ ‎∵函数y＝mnx2+（m+n）x+1的图象与x轴有b个交点，m≠n，‎ ‎∴当mn＝0时，该函数为y＝（m+n）x+1与x轴有一个交点，‎ ‎∴b＝1；‎ 当mn≠0时，（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2＞0，‎ ‎∴b＝2；‎ 由上可得，a＝b+1或a＝b，‎ 故选：C．‎ 二．填空题（共6小题）‎ ‎13．已知二次根式有意义，则满足条件的x的最大值是　　．‎ ‎【分析】二次根式有意义，则被开方数大于等于0，从而得关于x的不等式，解得x范围，则可得答案．‎ ‎【解答】解：∵二次根式有意义 ‎∴3﹣4x≥0‎ ‎∴x≤‎ ‎∴满足条件的x的最大值是．‎ 故答案为：．‎ ‎14．分解因式：m2﹣4m+4＝　（m﹣2）2　．‎ ‎【分析】原式利用完全平方公式分解即可．‎ ‎【解答】解：原式＝（m﹣2）2，‎ 故答案为：（m﹣2）2‎ ‎15．不等式组的解集是　x≤﹣2　．‎ ‎【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：解不等式≤﹣1，得：x≤﹣2，‎ 解不等式﹣x+7＞4，得：x＜3，‎ 则不等式组的解集为x≤﹣2，‎ 故答案为：x≤﹣2．‎ ‎16．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于　　．‎ ‎【分析】首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针落在红色区域的概率．‎ ‎【解答】解：由于一个圆平均分成6个相等的扇形，而转动的转盘又是自由停止的，‎ 所以指针指向每个扇形的可能性相等，‎ 即有6种等可能的结果，在这6种等可能结果中，指针指向红色部分区域的有2种可能结果，‎ 所以指针落在红色区域的概率是＝；‎ 故答案为．‎ ‎17．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为18cm，BD的长为9cm，则纸面部分BDEC的面积为　π　cm2．‎ ‎【分析】贴纸部分的面积可看作是扇形BAC的面积减去扇形DAE的面积．‎ ‎【解答】解：S＝S扇形BAC﹣S扇形DAE＝﹣＝π（cm2）．‎ 故答案是：π ‎18．如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为　5﹣2　．‎ ‎【分析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM＝OE＝2，由条件可得OM＝5，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．‎ ‎【解答】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，‎ ‎∵∠EDF＝∠ODM＝90°，‎ ‎∴∠EDO＝∠FDM，‎ ‎∵DE＝DF，DO＝DM，‎ ‎∴△EDO≌△FDM（SAS），‎ ‎∴FM＝OE＝2，‎ ‎∵正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，‎ ‎∴OC＝，‎ ‎∴OD＝＝5，‎ ‎∴OM＝＝5，‎ ‎∵OF+MF≥OM，‎ ‎∴OF≥5﹣2，‎ ‎∴线段OF长的最小值为5﹣2．‎ 故答案为：5﹣2．‎ 三．解答题（共8小题）‎ ‎19．计算：‎ ‎【分析】利用负整数指数幂、特殊角的三角函数值和二次根式的乘法法则运算．‎ ‎【解答】解：原式＝﹣2+﹣2×﹣（2﹣）‎ ‎＝﹣2+2﹣﹣2+‎ ‎＝﹣2．‎ ‎20．化简求值：，其中x＝．‎ ‎【分析】根据分式的混合运算先将分式化简，再代入求值即可．‎ ‎【解答】解：原式＝•‎ ‎＝‎ ‎＝﹣x（x+1）‎ ‎＝﹣x2﹣x 当x＝时，原式＝﹣2﹣．‎ ‎21．某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部分学生，并制作了如下表格与条形统计图：‎ 频数 频率 体育 ‎40‎ ‎0.4‎ 科技 ‎25‎ a 艺术 b ‎0.15‎ 其它 ‎20‎ ‎0.2‎ 请根据上图完成下面题目：‎ ‎（1）总人数为　100　人，a＝　0.25　，b＝　15　．‎ ‎（2）请你补全条形统计图．‎ ‎（3）若全校有600人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？‎ ‎【分析】（1）根据“频率＝频数÷总数”求解可得；‎ ‎（2）根据频数分布表即可补全条形图；‎ ‎（3）用总人数乘以样本中“艺术”类频率即可得．‎ ‎【解答】解：（1）总人数为40÷0.4＝100人，‎ a＝25÷100＝0.25、b＝100×0.15＝15，‎ 故答案为：100、0.25、15；‎ ‎（2）补全条形图如下：‎ ‎（3）估算全校喜欢艺术类学生的人数有600×0.15＝90人．‎ ‎22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣4，1），B（﹣2，3），C（﹣1，2）．‎ ‎（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A′B′C′，点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点．‎ ‎（2）求过点B′的反比例函数解析式．‎ ‎（3）判断A′B′的中点P是否在（2）的函数图象上．‎ ‎【分析】（1）首先确定A、B、C点关于原点对称的点的位置，再连接即可；‎ ‎（2）设过点B′的反比例函数解析式为y＝，再代入B′点坐标即可得到k的值，进而可得函数解析式；‎ ‎（3）首先确定点P坐标，根据凡是函数图象经过的点必能满足解析式可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）如图：‎ ‎（2）设过点B′的反比例函数解析式为y＝，‎ ‎∵B′（2，﹣3），‎ ‎∴﹣3＝，‎ ‎∴k＝﹣6，‎ ‎∴反比例函数解析式为y＝﹣；‎ ‎（3）∵A′（4，﹣1），B′（2，﹣3）‎ ‎∴A′B′的中点P坐标为（3，﹣2），‎ ‎∵3×（﹣2）＝﹣6，‎ ‎∴点P在（2）的函数图象上．‎ ‎23．东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．‎ ‎（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；‎ ‎（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？‎ ‎【分析】（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，根据数量＝总价÷单价结合第二批购进数量是第一批数量的1.5倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；‎ ‎（2）设每套悠悠球的售价为y元，根据销售收入﹣成本＝利润结合全部售完后总利润不低于25%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，‎ 根据题意得：＝1.5×，‎ 解得：x＝25，‎ 经检验，x＝25是原分式方程的解．‎ 答：第一批悠悠球每套的进价是25元．‎ ‎（2）设每套悠悠球的售价为y元，‎ 根据题意得：500÷25×（1+1.5）y﹣500﹣900≥（500+900）×25%，‎ 解得：y≥35．‎ 答：每套悠悠球的售价至少是35元．‎ ‎24．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，CD＝4，点E是BC边上的点，BE＝3，连接AE，DF⊥AE交于点F．‎ ‎（1）求证：△ABE≌△DFA；‎ ‎（2）连接CF，求sin∠DCF的值；‎ ‎（3）连接AC交DF于点G，求的值．‎ ‎【分析】（1）根据勾股定理求出AE，矩形的性质、全等三角形的判定定理证明；‎ ‎（2）连接DE交CF于点H，根据全等三角形的性质得到DF＝AB＝CD＝4，AF＝BE＝3，证明∠DCH＝∠DEC，求出sin∠DEC，得到答案；‎ ‎（3）过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K，根据平行线分线段成比例定理得到＝，根据余弦的概念求出EK，计算即可．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠B＝90°，AD∥BC，‎ ‎∴＝5，∠AEB＝∠DAF，‎ 在△ABE和△AFD中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△AFD；‎ ‎（2）连接DE交CF于点H．‎ ‎∵△ABE≌△DFA，‎ ‎∴DF＝AB＝CD＝4，AF＝BE＝3，‎ ‎∴EF＝CE＝2．‎ ‎∴DE⊥CF．‎ ‎∴∠DCH+∠HDC＝∠DEC+∠HDC＝90°．‎ ‎∴∠DCH＝∠DEC．‎ 在Rt△DCE中，CD＝4，CE＝2，‎ ‎∴DE＝2，‎ ‎∴sin∠DCF＝sin∠DEC＝＝．‎ ‎（3）过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K．‎ ‎∴＝．‎ 在Rt△CEK中，‎ EK＝CE•cos∠CEK＝CE•cos∠AEB＝2×＝．‎ ‎∴FK＝FE+EK＝．‎ ‎∴＝＝．‎ ‎25．若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线”．‎ ‎（1）判断抛物线C1：y＝x2﹣2x是否为“等边抛物线”？如果是，求出它的对称轴和顶点坐标；如果不是，说明理由．‎ ‎（2）若抛物线C2：y＝ax2+2x+c为“等边抛物线”，求ac的值；‎ ‎（3）对于“等边抛物线”C3：y＝x2+bx+c，当1＜x＜m时，二次函数C3的图象落在一次函数y＝x图象的下方，求m的最大值．‎ ‎【分析】（1）根据“等边抛物线”的定义得到抛物线C1：y＝x2﹣2x是“等边抛物线”；然后根据抛物线的性质求得它的对称轴和顶点坐标；‎ ‎（2）设等边抛物线与x轴的两个交点分别为A（x1，0），B（x2，0），知AB＝|x1﹣x2|＝|‎ ‎﹣|＝||，结合顶点坐标（﹣，）知＝，据此求解可得；‎ ‎（3）由（2）中b2﹣4ac＝12知c＝，结合等边抛物线过（1，1）求得b＝﹣6或b＝2，依据对称轴位置得b＝﹣6，联立，求得x＝1或x＝6，从而得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣2x是“等边抛物线”．对称轴x＝2，顶点坐标为（2，﹣2）．理由如下：‎ 由y＝x2﹣2x＝x•（x﹣2）知，该抛物线与x轴的交点是（0，0），（4，0）．‎ 又因为y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2，‎ 所以其顶点坐标是（2，﹣2）．‎ ‎∴抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形的边长为4，‎ ‎∴抛物线y＝x2﹣2x是“等边抛物线”．‎ 对称轴x＝2，顶点坐标为（2，﹣2）；‎ ‎（2）设等边抛物线与x轴的两个交点分别为A（x1，0），B（x2，0），‎ 令y＝ax2+bx+c＝0，‎ ‎∴x＝，‎ ‎∴AB＝|x1﹣x2|＝|﹣|＝||＝||＝||．‎ 又∵抛物线的顶点坐标为（﹣，），‎ ‎∴＝．‎ ‎∵4﹣4ac≠0，‎ ‎∴||＝，‎ ‎∴ac＝﹣2；‎ ‎（3）由（2）得b2﹣4ac＝12，‎ ‎∴c＝，‎ ‎∴C3：y＝x2+bx+，‎ ‎∵1＜x＜m时，总存在实数b，使二次函数C3的图象在一次函数y＝x图象的下方，即抛物线与直线有一个交点为（1，1），‎ ‎∴该等边抛物线过（1，1），‎ ‎∴1+b+＝1，‎ 解得b＝﹣6或b＝2，‎ 又对称轴x＝﹣＝﹣＞1，‎ ‎∴b＜﹣2，‎ ‎∴b＝﹣6，‎ ‎∴y＝x2﹣6x+6，‎ 联立，‎ 解得x＝1或x＝6，‎ ‎∴m的最大值为6．‎ ‎26．如图，二次函数y＝2mx2+5mx﹣12m（m为参数，且m＜0）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0）．‎ ‎（1）求直线AC的解析式（用含m的式子表示）．‎ ‎（2）若m＝﹣，连接BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．‎ ‎（3）在（2）的条件下，设点M为AC上方的抛物线上一动点（与点A，C不重合），以M为圆心的圆与直线AC相切，求⊙M面积的取值范围．‎ ‎【分析】（1）由抛物线的解析式求出C点坐标，再用待定系数法求直线AC的解析式；‎ ‎（2）作点B关于y轴的对称点B'，连接CB'．证明AB'＝CB'便可得结论；‎ ‎（3）过M点ME∥y轴，交AC于点E，设M点的横坐标为m，用m表示MD，再根据二次函数的性质求得MD的最大值，最后根据圆的面积公式便可求得结果．‎ ‎【解答】解：（1）令x＝0，得y＝2mx2+5mx﹣12m＝﹣12m，‎ 设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），则 ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线AC的解析式为：y＝﹣3mx﹣12m；‎ ‎（2）∠CBA＝2∠CAB．‎ 理由如下：‎ 如图1，作点B关于y轴的对称点B'，连接CB'．‎ ‎∴CB＝CB'，‎ ‎∴∠CBA＝∠CB'O，‎ ‎∵m＝﹣时，抛物线的解析式为：，‎ ‎∴C（0，2），‎ ‎∴OC＝2，‎ 当y＝0，得＝0，‎ 解得x＝﹣4或，‎ ‎∴A（﹣4，0），B（，0），‎ ‎∴B'（﹣（，0），‎ ‎∴AB'＝，CB'＝‎ ‎∴AB'＝CB'，‎ ‎∴∠CAB＝∠ACB'，‎ ‎∵∠CB'O＝∠CAB+∠ACB'＝2∠CAB，‎ ‎∴∠CBA＝2∠CAB；‎ ‎（3）如图2，以MD为半径做圆，‎ 过M点ME∥y轴，交AC于点E，‎ 则∠MEC＝∠ACO，‎ ‎∵A（﹣4，0），以（0，2）‎ ‎∴直线AC的解析式为y＝，‎ 设M（m，）（﹣4＜m＜0），则E（m，），‎ ‎∴，‎ 在Rt△AOC中，OC＝2，OA＝4，由勾股定理可得AC＝2，‎ ‎∴sin∠MED＝，‎ ‎∴，‎ 由二次函数的性质知，当m＝﹣2时，DE有最大值为：，‎ ‎∴，‎ ‎∴∴⊙M面积的最大值为：π×（）2＝，‎ ‎∴⊙M面积的取值范围为：0＜S⊙M≤，‎