- 2021-11-06 发布 |
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文档介绍
九年级数学上册第二十四章圆24-1圆的有关性质24-1-2垂直于弦的直径教案新版 人教版
24.1.2 垂直于弦的直径 理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题. 通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理,并辅以逻辑证明加予理解. 重点 垂径定理及其运用. 难点 探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题. 一、复习引入 ①在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O”. ②连接圆上任意两点的线段叫做弦,如图线段AC,AB; ③经过圆心的弦叫做直径,如图线段AB; ④圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,以A,C为端点的弧记作“”,读作“圆弧AC”或“弧AC”.大于半圆的弧(如图所示)叫做优弧,小于半圆的弧(如图所示或)叫做劣弧. ⑤圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆. ⑥圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线. 二、探索新知 (学生活动)请同学按要求完成下题: 如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. (1)如图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? (2)你能发现图中有哪些等量关系?说一说你理由. (老师点评)(1)是轴对称图形,其对称轴是CD. (2)AM=BM,=,=,即直径CD平分弦AB,并且平分及. 这样,我们就得到下面的定理: 3 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 下面我们用逻辑思维给它证明一下: 已知:直径CD、弦AB,且CD⊥AB垂足为M. 求证:AM=BM,=,=. 分析:要证AM=BM,只要证AM,BM构成的两个三角形全等.因此,只要连接OA,OB或AC,BC即可. 证明:如图,连接OA,OB,则OA=OB, 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∴Rt△OAM≌Rt△OBM, ∴AM=BM, ∴点A和点B关于CD对称, ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直线CD对折时,点A与点B重合,与重合,与重合. ∴=,=. 进一步,我们还可以得到结论: 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. (本题的证明作为课后练习) 例1 有一石拱桥的桥拱是圆弧形,如图所示,正常水位下水面宽AB=60 m,水面到拱顶距离CD=18 m,当洪水泛滥时,水面宽MN=32 m时是否需要采取紧急措施?请说明理由. 分析:要求当洪水到来时,水面宽MN=32 m是否需要采取紧急措施,只要求出DE的长,因此只要求半径R,然后运用几何代数解求R. 解:不需要采取紧急措施, 设OA=R,在Rt△AOC中,AC=30,CD=18, R2=302+(R-18)2, R2=900+R2-36R+324, 解得R=34(m), 连接OM,设DE=x,在Rt△MOE中,ME=16, 342=162+(34-x)2, 162+342-68x+x2=342,x2-68x+256=0, 解得x1=4,x2=64(不合题意,舍去), ∴DE=4, 3 ∴不需采取紧急措施. 三、课堂小结(学生归纳,老师点评) 垂径定理及其推论以及它们的应用. 四、作业布置 1.垂径定理推论的证明. 2.教材第89,90页 习题第8,9,10题. 3查看更多