2019九年级数学上册 专题突破讲练 解决圆锥问题的四字秘诀试题 (新版)青岛版

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2019九年级数学上册 专题突破讲练 解决圆锥问题的四字秘诀试题 (新版)青岛版

解决圆锥问题的四字秘诀 关于圆锥的侧面展开图计算问题在中考中时常出现,这类问题的解答,可以用四个字来概括:一、二、三、四。其中:‎ ‎“一个转化”,是指将圆锥侧面问题转化为平面图形——扇形问题;‎ ‎“二个对应”,是指圆锥的底面周长对应着扇形的弧长,圆锥的母线长对应着扇形的半径;‎ ‎“三个图形”,是指圆锥侧面问题常常需要用到圆形、扇形、直角三角形来解决;‎ ‎“四个公式”,是指圆锥侧面问题需要用 ‎①l2=r2+h2,其中,如图,圆锥的底面半径r,圆锥母线ι,圆锥的高h,构成直角三角形;‎ ‎②‎ ‎③S侧=·2πr·ι=πrι ‎ ‎④。‎ 圆锥侧面问题公式的灵活应用 圆锥侧面问题四个公式共有5个量:l、h、r、n、S侧,由于每个公式中只有三个量,从而只要知道其中的两个量,就可以将另外三个量利用方程或方程组求出来。‎ 一、计算圆心角的度数 例题1 (浙江中考)若圆锥的轴截面为等边三角形,则称此圆锥为正圆锥,则正圆锥侧面展开图的圆心角是( )‎ A. 90° B. 120° C. 150° D. 180°‎ 解析:因为此圆锥为正圆锥,所以圆锥底面圆的直径等于展开图扇形的半径,然后利用弧长公式求解。‎ 解:设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为n,半径为r,则圆锥的底面直径也为r,根据圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,可得,解得n=180°。‎ 答案:D 点拨:在解决圆锥与展开图有关问题时,可以利用“‎ 5‎ 圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长”这一规律解决问题。‎ 二、计算圆锥的底面积 例题2 如图,圆锥形冰淇淋盒的母线长是‎13cm,高是‎12cm,则该圆锥形底面圆的面积是( )‎ A. 10πcm2 B. 25πcm‎2 ‎C. 60πcm2 D. 65πcm2‎ 解析:作出圆锥的轴切面图,再根据等腰三角形“三线合一”的性质转化为直角三角形,利用勾股定理求出圆锥底面圆的半径,进而求出其面积。‎ 解:作出圆锥的轴切面图及高,如图,则AB=‎13cm,AD=‎12 cm,AD⊥BC,BC=2BD,所以BD=‎5 cm,因而底面圆的面积为πr2=25π(cm2),故选B。‎ 答案:B 点拨:圆锥的轴切面图为等腰三角形,等腰三角形底边上的高为圆锥的高,腰为圆锥的母线长,底边为圆锥底面圆的直径,圆锥轴切面的相关计算通常转化为直角三角形,再利用勾股定理进行计算。‎ 三、计算圆锥的侧面积 例题3 在学校组织的实践活动中,小新同学用纸板制作了一个圆锥模型,它的底面半径为1,高为2,则这个圆锥的侧面积( )‎ A. 4π B. 3π C. 2π D. 2π 解析:先根据勾股定理求得圆锥的母线长,再代入圆锥侧面积的公式计算即可。‎ 解:∵圆锥的底面半径为r=1,高为2,∴圆锥的母线长l=,∴圆锥的侧面积==π×1×3=3π,故选B。‎ 答案:B 点拨:这类题要熟记圆锥的侧面积公式S=πrl及圆锥的高h、母线l、底面半径为r的关系:。解决这类问题的方法有:①列式计算,②运用方程思想列方程来计算。‎ 5‎ 计算线路最短问题 满分训练 如图,圆锥的母线长是3,底面半径是1,A是底面圆周上一点,一只小虫从点A出发,绕侧面爬行一周,再回到点A的最短的路线长是多少? ‎ 解析:我们知道“两点之间,线段最短”,沿母线SA作侧面展开图如图,本题实际是求将圆锥的侧面沿着母线OA展开,求点A到A′的距离AA′。‎ 解:将圆锥沿母线SA作侧面展开图,得扇形O AA′,‎ 设扇形的圆心角为θ,因为圆锥的底面半径为r=1,母线长为3,根据2πr=,得 ‎2π×1=,所以θ=120°。即扇形的圆心角∠AOA′为120°,作OD⊥AA′,垂足为D,在Rt△AOD中,∠OAD=30°,OA=3。 所以OD=,据勾股定理,得可求得AD=,所以AA′=2AD=。‎ 答案:‎ 点拨:小虫从点A出发,绕圆锥侧面爬行,从圆锥上看是曲线,而在侧面展开图上看是直线,“化曲为直”是解决此类问题的关键。‎ ‎(答题时间:30分钟)‎ ‎1. 用半径为‎3cm,圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面半径为( )‎ A. 2πcm B. ‎1.5cm C. πcm D. ‎‎1cm ‎2. 已知圆锥的底面半径为‎6cm,高为‎8cm,则这个圆锥的母线长为( )。‎ A. ‎12cm B. ‎10cm C. ‎8cm D. ‎‎6cm 5‎ ‎3. 圆锥底面圆的半径为‎3cm,其侧面展开图是半圆,则圆锥母线长为( )‎ A. ‎3cm    B. ‎6cm     C. ‎9cm     D. ‎12cm ‎ ‎4. 若圆锥的侧面展开图为半圆,则该圆锥的母线l与底面半径r的关系是( )‎ A. l=2r B. l=3r C. l=r D. l=‎ ‎*5. 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是 °。‎ ‎6. 圆锥的侧面积为‎6‎cm2,底面圆的半径为‎2cm,则这个圆锥的母线长为 cm ‎*7. 已知一个扇形的半径为60厘米,圆心角为150°。用它围成一个圆锥的侧面,那么圆锥的底面半径为厘米。‎ ‎*8. 若圆锥的母线长为‎5cm,底面圆的半径为‎3cm,则它的侧面展开图的面积为 cm2(结果保留π)。‎ ‎*9. 用半径为‎10cm,圆心角为216°的扇形作一个圆锥的侧面,求这个圆锥的高。‎ ‎**10. 如图所示的一扇形纸片,圆心角∠AOB为120°,弦AB的长为,用它围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计),求该圆锥底面的半径。‎ ‎*11. 已知圆锥的底面周长是10π,其侧面展开后所得扇形的圆心角为90°,求该圆锥的母线长。‎ ‎**12. 如图,圆锥的侧面展开图是一个半圆,求母线AB与高AO的夹角。‎ 5‎ ‎ ‎ ‎1. D 解析:依题意,得这个圆锥的底面半径=÷2π=1,故选D。‎ ‎2. B 解析:先根据半径与高互相垂直,然后利用勾股定理求母线长。∵ r2+h2=l2,∴ 62+82=l2,∴ l=10㎝,故选B。‎ ‎3. B 解析:圆锥的母线长=圆锥的底面周长×=2×π×3×=‎6cm。故选B。‎ ‎4. A 解析:根据以上分析,则圆锥的底面周长为,展开图扇形弧长是,因此,则 l=2r,故选A。‎ ‎*5. 180° 解析:设圆锥的母线长为l,底面半径为r, 圆心角n,则,即,∴侧面展开图扇形的圆心角为n=360°×=180°。故答案为180°。‎ ‎6. 3 解析:设圆锥的母线长为R,因底面圆的半径为‎2cm,所以底面圆的周长=侧面扇形的弧长=2×2=4,又扇形的面积=×4×R=6,解得R=3,故填3。‎ ‎*7. 25 解析:设圆锥的底面半径为r,则圆锥的母线长R=‎60 cm,因为圆锥的底面周长等于其侧面展开图的弧长,所以2πr=,解得r=25。‎ ‎*8. 15π 解析:∵圆锥的侧面积S=πrl,,r=‎3 ‎cm,l=5∴S=15π cm2。‎ ‎*9. 解析:扇形的弧长是:=12π(cm),设圆锥的底面半径是r,则2πr=12π,解得:r=‎6cm,则圆锥的高是:=8(cm)。‎ ‎**10. 解析:过O点作OE⊥AB,垂足为点E,∵OA=OB,AB=cm,∴AE=cm,∠AOE=60º,∴OA=‎2cm,∴弧AB的长,设该圆锥底面的半径为r,∴,∴r=cm。‎ ‎*11. 解析:设圆锥的母线长为l。∵圆锥的底面周长是10π,∴圆锥侧面展开图(扇形)的弧长是10π。∵侧面展开后所得扇形的圆心角为90°,∴。∴l=20,即该圆锥的母线长是20。‎ ‎**12. 解析:因为2r=l。 所以l=2r,所以sin∠BAO=,所以∠BAO=30°,所以母线AB与高AO的夹角为30°。‎ 5‎
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