2020年山东省烟台市中考数学预测试卷（3月份） 解析版

2020年山东省烟台市中考数学预测试卷（3月份） 解析版

‎2020年山东省烟台市中考数学预测试卷（3月份）‎ 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的.‎ ‎1．（3分）﹣2的相反数是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．﹣‎ ‎2．（3分）下列各徽标中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．（3分）如图，由8个大小相同的小正方体组成的几何体中，在几号小正方体上方添加一个小正方体，其左视图可保持不变（　　）‎ A．① B．② C．③ D．④‎ ‎4．（3分）某中学校长计划周三早上去听课，已知该校七年级有4个班，八年级有5个班，九年级有4个班，校长从上午的课中随机选择一个班去听一节课，校长所选择听课的班级正好是九年级的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（3分）截至2020年2月14日，各级财政已安排疫情防控补助资金901.5亿元，其中中央财政安排252.9亿元，为疫情防控提供了有力保障．其中数据252.9亿用科学记数法可表示为（　　）‎ A．252.9×108 B．2.529×109 ‎ C．0.2529×1010 D．2.529×1010‎ ‎6．（3分）为筹备班级的初中毕业联欢会，班委会经过讨论决定在苹果、桔子、香蕉、梨四种水果中选出一种购买，班长对全班学生爱吃哪种水果做了调查，则最终在决定购买哪种水果时，下面的调查数据中最值得关注的是（　　）‎ A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差 ‎7．（3分）已知a、b是一元二次方程x2+x﹣c＝0的两根，且a+b﹣2ab＝5，那么c等于（　　）‎ A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2‎ ‎8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、点B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交点的连线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，若∠A＝40°，则∠DBC＝（　　）‎ A．40° B．30° C．20° D．10°‎ ‎9．（3分）如图，是由相同大小的圆点按照一定规律摆放而成，按此规律，则第n个图形中圆点的个数为（　　）‎ A．n+1 B．n2+n C．4n+1 D．2n﹣1‎ ‎10．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且CE＝CD，连接DE，若AB＝5，AC＝8，则＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c的图象的对称轴为直线x＝1，开口向下，且与x轴的其中一个交点是（3，0）．下列结论：‎ ‎①4a+2b﹣c＞0；‎ ‎②a﹣b﹣c＜0；‎ ‎③c＝3a；‎ ‎④5a+b﹣2c＞0．‎ 正确的个数有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎12．（3分）如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝2cm，动点Q从点C出发沿C→A→B路径以1cm/s的速度运动，设点Q运动时间为t（s），△BCQ的面积为S，则S关于t的函数图象大致为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分84分）‎ ‎13．（3分）计算：﹣（5﹣π）0﹣2•sin45°＝　 　．‎ ‎14．（3分）二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．‎ ‎15．（3分）如图，已知矩形ABCD和矩形BEFG是位似图形，点O是位似中心，若点D的坐标为（1，2），点F的坐标为（4，4），则点G的坐标是　 　．‎ ‎16．（3分）如图，反比例函数y＝的图象经过点A，点B与点A关于x轴对称，点C是y轴上一点，若△ABC的面积为2，则该反比例函数的解析式为　 　．‎ ‎17．（3分）如图，在一圆柱形铁桶内底面的点A处有一飞虫，在其上边沿的点B处有一面包残渣，已知C是点B正下方的桶内底面上一点，已知劣弧AC的长为cm，铁桶的底面直径为40cm，桶高60cm，则该飞虫从点A到达点B的最短路径为　 　cm．‎ ‎18．（3分）如图，边长为2的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，连接B1C，边B1C1与CD交于点O，则图中阴影部分的面积为　 　．‎ ‎19．（6分）先化简：（），再从﹣2，﹣‎ ‎1，1，2，3中选择一个你喜欢的值代入求值．‎ ‎20．（8分）为了遏制新型冠状病毒疫情的蔓延势头，各地教育部门在推迟各级学校开学时间的同时提出“停课不停学”的要求，各地学校也都开展了远程网络教学，某校集合为学生提供四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，为了了解学生的需求，该校通过网络对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．‎ ‎（1）本次调查的人数有多少人？‎ ‎（2）请补全条形图；‎ ‎（3）请求出“在线答疑”在扇形图中的圆心角度数；‎ ‎（4）小宁和小娟都参加了远程网络教学活动，请求出小宁和小娟选择同一种学习方式的概率．‎ ‎21．（9分）阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件300元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，售价每件每降低10元，月销售件数增加20件．‎ ‎（1）已知该农产品的成本是每件200元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元；‎ ‎（2）小红发现在附近线下超市也有该农产品销售，并且标价为每件300元，买五送一，在（1）的条件下，小红想要用最优惠的价格购买38件该农产品，应选择在线上购买还是线下超市购买？‎ ‎22．（9分）如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，⊙O交AC边于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线DE，且DE⊥BC于点E．‎ ‎（1）求证：BA＝BC；‎ ‎（2）若DE＝2，⊙O的直径为5，求tanC．‎ ‎23．（10分）良好的坐姿习惯有利于青少年骨骼生长，有利于身体健康，那么首先要有正确的写字坐姿，身体上半部坐直，头部端正、目视前方，两手放在桌面上，两腿平放，胸膛挺起，理想状态下，如图①．将图①中的眼睛记为点A，腹记为点B，笔尖记为点D，且BD与桌沿的交点记为点C．已知AD＝30cm，BC＝12cm，点A到BD的距离 为23cm，∠B＝70°．‎ ‎（1）求∠ADB的度数；‎ ‎（2）老师发现小亮同学写字姿势不正确眼睛倾斜到图2的点E，点E恰好在CD的垂直平分线上，且∠BDE＝60°，于是要求其纠正为正确的姿势，求眼睛所在的位置应上升的距离（结果精确到1cm）．‎ ‎24．（12分）如图1，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，D为OB边上一点，过D点作DC⊥AB交AB于C，连接AD，E为AD的中点，连接OE、CE．‎ 观察猜想 ‎（1）①OE与CE的数量关系是　 　；‎ ‎②∠OEC与∠OAB的数量关系是　 　；‎ 类比探究 ‎（2）将图1中△BCD绕点B逆时针旋转45°，如图2所示，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；‎ 拓展迁移 ‎（3）将△BCD绕点B旋转任意角度，若BD＝，OB＝3，请直接写出点O、C、B在同一条直线上时OE的长．‎ ‎25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+x+c的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），连接AC．点P是x轴上的动点．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）过点P作x轴的垂线，交线段AC于点D，E为y轴上一点，连接AE，BE，当AD＝BE时，求AD+AE的最小值；‎ ‎（3）点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎2020年山东省烟台市中考数学预测试卷（3月份）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的.‎ ‎1．（3分）﹣2的相反数是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．﹣‎ ‎【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数．‎ ‎【解答】解：根据相反数的定义，﹣2的相反数是2．‎ 故选：A．‎ ‎2．（3分）下列各徽标中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；‎ B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意；‎ C、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；‎ D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．‎ 故选：C．‎ ‎3．（3分）如图，由8个大小相同的小正方体组成的几何体中，在几号小正方体上方添加一个小正方体，其左视图可保持不变（　　）‎ A．① B．② C．③ D．④‎ ‎【分析】根据左视图的观察角度得出，左视图不变时小正方体的位置．‎ ‎【解答】解：如图所示：在③号小正方体上方添加一个小正方体，其左视图可保持不变．‎ 故选：C．‎ ‎4．（3分）某中学校长计划周三早上去听课，已知该校七年级有4个班，八年级有5个班，九年级有4个班，校长从上午的课中随机选择一个班去听一节课，校长所选择听课的班级正好是九年级的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】用九年级班级数除以所有班级数总和即可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵该校七年级有4个班，八年级有5个班，九年级有4个班，‎ ‎∴所选择听课的班级正好是九年级的概率为＝，‎ 故选：A．‎ ‎5．（3分）截至2020年2月14日，各级财政已安排疫情防控补助资金901.5亿元，其中中央财政安排252.9亿元，为疫情防控提供了有力保障．其中数据252.9亿用科学记数法可表示为（　　）‎ A．252.9×108 B．2.529×109 ‎ C．0.2529×1010 D．2.529×1010‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：252.9亿＝25290000000＝2.529×1010．‎ 故选：D．‎ ‎6．（3分）为筹备班级的初中毕业联欢会，班委会经过讨论决定在苹果、桔子、香蕉、梨四种水果中选出一种购买，班长对全班学生爱吃哪种水果做了调查，则最终在决定购买哪种水果时，下面的调查数据中最值得关注的是（　　）‎ A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差 ‎【分析】根据题意可知，调查数据中最值得关注的是众数，从而可以解答本题．‎ ‎【解答】解：∵班长对全班学生爱吃哪种水果做了调查，最终在决定购买哪种水果，‎ ‎∴调查数据中最值得关注的是众数，‎ 故选：A．‎ ‎7．（3分）已知a、b是一元二次方程x2+x﹣c＝0的两根，且a+b﹣2ab＝5，那么c等于（　　）‎ A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2‎ ‎【分析】由一元二次方程的根与系数之间的关系求得两根之积与两根之和，再根据a+b﹣2ab＝5，得到关于c的方程，解方程即可求解．‎ ‎【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2+x﹣c＝0的两根，‎ ‎∴a+b＝﹣1，ab＝﹣c，‎ ‎∵a+b﹣2ab＝5，‎ ‎∴﹣1+2c＝5，‎ 解得c＝3．‎ 故选：A．‎ ‎8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、点B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交点的连线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，若∠A＝40°，则∠DBC＝（　　）‎ A．40° B．30° C．20° D．10°‎ ‎【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，‎ ‎∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°，‎ ‎∵AD＝BD，‎ ‎∴∠ABD＝∠A＝40°，‎ ‎∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°，‎ 故选：B．‎ ‎9．（3分）如图，是由相同大小的圆点按照一定规律摆放而成，按此规律，则第n个图形中圆点的个数为（　　）‎ A．n+1 B．n2+n C．4n+1 D．2n﹣1‎ ‎【分析】观察图形的变化可知：第1个图形中圆点的个数为4+1＝5；第2个图形中圆点的个数为4×2+1＝9；第3个图形中圆点的个数为4×3+1＝13；进而发现规律，即可得第n个图形中圆点的个数．‎ ‎【解答】解：观察图形的变化可知：‎ 第1个图形中圆点的个数为4+1＝5；‎ 第2个图形中圆点的个数为4×2+1＝9；‎ 第3个图形中圆点的个数为4×3+1＝13；‎ ‎…‎ 发现规律，‎ 则第n个图形中圆点的个数为（4n+1）．‎ 故选：C．‎ ‎10．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且CE＝CD，连接DE，若AB＝5，AC＝8，则＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】连接BD交AC于点O，根据勾股定理以及菱形的性质即可求出答案．‎ ‎【解答】解：连接BD交AC于点O，‎ ‎∵AB＝CD＝AD＝5，‎ ‎∴CD＝CE＝5，‎ ‎∵AC＝8，‎ ‎∴AE＝3，OC＝4，OE＝1，‎ 在Rt△CDO中，‎ 由勾股定理可知：DO＝3，‎ 在Rt△DOE中，‎ 由勾股定理可知：DE＝，‎ ‎∴＝，‎ 故选：B．‎ ‎11．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c的图象的对称轴为直线x＝1，开口向下，且与x轴的其中一个交点是（3，0）．下列结论：‎ ‎①4a+2b﹣c＞0；‎ ‎②a﹣b﹣c＜0；‎ ‎③c＝3a；‎ ‎④5a+b﹣2c＞0．‎ 正确的个数有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．‎ ‎【解答】解：∵（3，0）关于直线x＝1的对称点坐标为（﹣1，0）‎ ‎∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），‎ ‎∵抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），‎ ‎∴a﹣b﹣c＝0，故②错误；‎ ‎∵﹣＝1，‎ ‎∴b＝﹣2a ‎∴a+2a﹣c＝0，‎ ‎∴c＝3a，故③正确；‎ ‎∵b＝﹣2a，c＝3a，a＜0，‎ ‎∴4a+2b﹣c＝4a﹣4a﹣3a＝﹣3a＞0，即4a+2b﹣c＞0，故①正确；‎ ‎∵4a+2b﹣c＞0，a﹣b﹣c＝0，‎ 两式相加：5a+b﹣2c＞0，故④正确，‎ 故选：C．‎ ‎12．（3分）如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝2cm，动点Q从点C出发沿C→A→B路径以1cm/s的速度运动，设点Q运动时间为t（s），△BCQ的面积为S，则S关于t的函数图象大致为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据题意，得CQ＝t，等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝2cm，得∠C＝45°，BC＝2，过点Q作QD⊥BC于点D，分两种情况讨论即可求出S关于t的函数，进而即可判断．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 根据题意，得 CQ＝t，‎ ‎∵等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝2cm，‎ ‎∴∠C＝45°，BC＝2，‎ 过点Q作QD⊥BC于点D，‎ 当0＜t≤2时，‎ 则QD＝t，‎ ‎∴S＝BC•QD＝2×t＝t，‎ 当2＜t＜4时，‎ QD＝（4﹣t），‎ ‎∴S＝2×（4﹣t）＝4﹣t．‎ 故选：A．‎ 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分84分）‎ ‎13．（3分）计算：﹣（5﹣π）0﹣2•sin45°＝　﹣1﹣　．‎ ‎【分析】直接利用特殊角的三角函数值和零次幂的性质即可求出答案．‎ ‎【解答】解：原式＝﹣1﹣2×，‎ ‎＝﹣1﹣，‎ 故答案为：﹣1﹣．‎ ‎14．（3分）二次根式有意义，则x的取值范围是　x≥﹣2　．‎ ‎【分析】根据二次根式有意义的条件得出2x+4≥0，求出即可．‎ ‎【解答】解：∵二次根式有意义，‎ ‎∴2x+4≥0，‎ ‎∴x≥﹣2，‎ 故答案为：x≥﹣2．‎ ‎15．（3分）如图，已知矩形ABCD和矩形BEFG是位似图形，点O是位似中心，若点D的坐标为（1，2），点F的坐标为（4，4），则点G的坐标是　（2，4）　．‎ ‎【分析】直接利用位似图形的性质结合矩形的性质得出OB，BG的长，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵矩形ABCD，点D的坐标为（1，2），‎ ‎∴AD＝BC＝2，‎ ‎∵矩形BEFG，点F的坐标为（4，4），‎ ‎∴EF＝BG＝4，‎ ‎∴＝＝＝，‎ ‎∴OB＝2，‎ 故点G的坐标是（2，4）．‎ 故答案为：（2，4）．‎ ‎16．（3分）如图，反比例函数y＝的图象经过点A，点B与点A关于x轴对称，点C是y轴上一点，若△ABC的面积为2，则该反比例函数的解析式为　y＝﹣　．‎ ‎【分析】设AB与x轴交于点D，由对称性得到△OAD的面积为1．根据反比例函数比例系数k的几何意义求得k的值．‎ ‎【解答】解：设AB与x轴交于点D，连接OA，‎ ‎∵点B与点A关于x轴对称，‎ ‎∴AB∥y轴，‎ ‎∵△OAB的面积为2，‎ ‎∴△OAD的面积为1，‎ ‎∴|k|＝1，‎ ‎∵在第二象限，‎ ‎∴k＝﹣2，‎ ‎∴反比例函数的解析式为y＝﹣，‎ 故答案为y＝﹣．‎ ‎17．（3分）如图，在一圆柱形铁桶内底面的点A处有一飞虫，在其上边沿的点B处有一面包残渣，已知C是点B正下方的桶内底面上一点，已知劣弧AC的长为cm，铁桶的底面直径为40cm，桶高60cm，则该飞虫从点A到达点B的最短路径为　40　cm．‎ ‎【分析】如图，连接AB，OC，OA，AC，作OH⊥AC于H．设∠AOC＝n°．利用弧长公式求出n，解直角三角形求出AC，利用勾股定理求出AB即可解决问题．‎ ‎【解答】解：如图，连接AB，OC，OA，AC，作OH⊥AC于H．设∠AOC＝n°．‎ ‎∵的长＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴n＝120°，‎ ‎∵OA＝OC，OH⊥AC，‎ ‎∴∠COH＝∠AOH＝60°，CH＝AH，‎ ‎∴AC＝2CH＝2•OC•sin60°＝2×20×＝20（cm），‎ 在Rt△ABC中，AB＝＝＝40（cm），‎ ‎∴该飞虫从点A到达点B的最短路径为40cm．‎ 故答案为40．‎ ‎18．（3分）如图，边长为2的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，连接B1C，边B1C1与CD交于点O，则图中阴影部分的面积为　　．‎ ‎【分析】先根据正方形的边长，求得CB1＝OB1＝AC﹣AB1＝2﹣2，进而求出S△OB1C，再求出S△AB1C1，以及扇形的面积公式即可得出图中阴影部分的面积．‎ ‎【解答】解：连结DC1，‎ ‎∵∠CAC1＝∠DCA＝∠COB1＝∠DOC1＝45°，‎ ‎∴∠AC1B1＝45°，‎ ‎∵∠ADC＝90°，‎ ‎∴A，D，C1在一条直线上，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AC＝＝2，∠OCB1＝45°，‎ ‎∴CB1＝OB1‎ ‎∵AB1＝2，‎ ‎∴CB1＝OB1＝AC﹣AB1＝2﹣2，‎ ‎∴S△OB1C＝•OB1•CB1＝×（2﹣2）×＝6﹣4，‎ ‎∵S△AB1C1＝AB1•B1C1＝×2×2＝2，‎ ‎∴图中阴影部分的面积＝S﹣S﹣S＝﹣（6﹣4）﹣2＝，‎ 故答案为：π﹣8+4．‎ ‎19．（6分）先化简：（），再从﹣2，﹣1，1，2，3中选择一个你喜欢的值代入求值．‎ ‎【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：原式＝[﹣]•‎ ‎＝•‎ ‎＝，‎ 当x＝﹣1，1，﹣2，3时，分式没有意义，‎ 当x＝2时，原式＝．‎ ‎20．（8分）为了遏制新型冠状病毒疫情的蔓延势头，各地教育部门在推迟各级学校开学时间的同时提出“停课不停学”的要求，各地学校也都开展了远程网络教学，某校集合为学生提供四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，为了了解学生的需求，该校通过网络对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．‎ ‎（1）本次调查的人数有多少人？‎ ‎（2）请补全条形图；‎ ‎（3）请求出“在线答疑”在扇形图中的圆心角度数；‎ ‎（4）小宁和小娟都参加了远程网络教学活动，请求出小宁和小娟选择同一种学习方式的概率．‎ ‎【分析】（1）根据在线阅读的人数和所占的百分比求出调查的总人数；‎ ‎（2）用总人数减去其它方式的人数求出在线答疑的人数，从而补全统计图；‎ ‎（3）用360°乘以“在线答疑”所占的百分比即可；‎ ‎（4）根据题意画出树状图得出所有等情况数和小宁和小娟选择同一种学习方式的情况数，再根据概率公式即可得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）本次调查的人数有25÷25%＝100（人）；‎ ‎（2）在线答题的人数有：100﹣25﹣40﹣15＝20（人），补图如下：‎ ‎（3）“在线答疑”在扇形图中的圆心角度数是360°×＝72°；‎ ‎（4）记四种学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，分别为A、B、C、D，则可画树状图如下：‎ 共有16种等情况数，其中小宁和小娟选择同一种学习方式的有4种，‎ 则小宁和小娟选择同一种学习方式的概率是＝．‎ ‎21．（9分）阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件300元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，售价每件每降低10元，月销售件数增加20件．‎ ‎（1）已知该农产品的成本是每件200元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元；‎ ‎（2）小红发现在附近线下超市也有该农产品销售，并且标价为每件300元，买五送一，在（1）的条件下，小红想要用最优惠的价格购买38件该农产品，应选择在线上购买还是线下超市购买？‎ ‎【分析】（1）根据月利润＝每件利润×月销售量，可求出售价为300元时的原利润，设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣200）元，月销售量为100+＝（700﹣2x）件，根据月利润＝每件利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；‎ ‎（2）利用总价＝单价×数量可求出线上购买所需费用，由“线下购买，买五送一”可得出线下超市购买只需付32件的费用，求出购买32件的总费用，将线上、线下购买所需费用比较后即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）当售价为300元时月利润为（300﹣200）×100＝10000（元）．‎ 设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣200）元，月销售量为100+＝（700﹣2x）件，‎ 依题意，得：（x﹣200）（700﹣2x）＝10000，‎ 整理，得：x2﹣550x+75000＝0，‎ 解得：x1＝250，x2＝300（舍去）．‎ 答：售价应定为250元．‎ ‎（2）线上购买所需费用为250×38＝9500（元）；‎ ‎∵线下购买，买五送一，‎ ‎∴线下超市购买只需付32件的费用，‎ ‎∴线下购买所需费用为300×32＝9600（元）．‎ ‎9500＜9600．‎ 答：选择在线上购买更优惠．‎ ‎22．（9分）如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，⊙O交AC边于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线DE，且DE⊥BC于点E．‎ ‎（1）求证：BA＝BC；‎ ‎（2）若DE＝2，⊙O的直径为5，求tanC．‎ ‎【分析】（1）利用切线的性质得OD⊥DE，则根据平行线的判定方法可得OD∥BC，所以∠ODA＝∠C，然后证明∠A＝∠C，从而得到结论；‎ ‎（2）连接BD，如图，设BE＝x，BC＝BA＝5，利用圆周角定理得到∠ADB＝∠BDC＝90°，再证明△BDE∽△BCD，利用相似比得到BD2＝BC•BE＝5x，则利用勾股定理得到5x＝22+x2，解方程得到x的值，然后利用正切的定义求出tan∠BDE，从而得到tanC的值．‎ ‎【解答】（1）证明：∵DE为⊙O的切线，‎ ‎∴OD⊥DE，‎ 而DE⊥BC，‎ ‎∴OD∥BC，‎ ‎∴∠ODA＝∠C，‎ ‎∵OA＝OD，‎ ‎∴∠A＝∠ODA，‎ ‎∴∠A＝∠C，‎ ‎∴BA＝BC；‎ ‎（2）解：连接BD，如图，设BE＝x，BC＝BA＝5，‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴∠ADB＝∠BDC＝90°，‎ ‎∵∠DBE＝∠CBD，‎ ‎∴△BDE∽△BCD，‎ ‎∴BD：BC＝BE：BD，∠BDE＝∠C，‎ ‎∴BD2＝BC•BE＝5x，‎ 在Rt△BDE中，BD2＝DE2+BE2，即5x＝22+x2，解得x1＝1，x2＝4，‎ 当BE＝1，‎ ‎∴tan∠BDE＝＝，‎ 当BE＝4，tan∠BDE＝＝＝2‎ 综上所述，tanC＝或2．‎ ‎23．（10分）良好的坐姿习惯有利于青少年骨骼生长，有利于身体健康，那么首先要有正确的写字坐姿，身体上半部坐直，头部端正、目视前方，两手放在桌面上，两腿平放，胸膛挺起，理想状态下，如图①．将图①中的眼睛记为点A，腹记为点B，笔尖记为点D，且BD与桌沿的交点记为点C．已知AD＝30cm，BC＝12cm，点A到BD的距离 为23cm，∠B＝70°．‎ ‎（1）求∠ADB的度数；‎ ‎（2）老师发现小亮同学写字姿势不正确眼睛倾斜到图2的点E，点E恰好在CD的垂直平分线上，且∠BDE＝60°，于是要求其纠正为正确的姿势，求眼睛所在的位置应上升的距离（结果精确到1cm）．‎ ‎【分析】（1）过点A作AH⊥BD于点H，根据AD＝30cm，AH＝23cm，即可用∠ADB的正切值求得∠ADB的度数；‎ ‎（2）过点E作EG⊥CD于点G，过点A作AF⊥EG交GE的延长线于点F，则四边形AFGH是矩形，再根据三角函数即可求得CD的长，由点E恰好在CD的垂直平分线上，可得DG的长，进而求得EG的长，再用FG﹣EG即可得眼睛所在的位置应上升的距离．‎ ‎【解答】解：（1）如图，‎ 过点A作AH⊥BD于点H，‎ 则∠AHD＝∠AHB＝90°，‎ ‎∵AD＝30cm，AH＝23cm，‎ ‎∴在Rt△ADH中，‎ sin∠ADB＝≈0.767，‎ ‎∴∠ADB≈50°．‎ 答：∠ADB的度数约为50°；‎ ‎（2）如图，过点E作EG⊥CD于点G，‎ 过点A作AF⊥EG交GE的延长线于点F，‎ 则四边形AFGH是矩形，‎ ‎∴FG＝AH＝23cm，‎ 由（1）得DH＝AD•cos50°≈30×0.643≈19.29（cm），‎ ‎∵∠B＝70°，‎ ‎∴BH＝＝≈8.37（cm），‎ ‎∴BD＝BH+DH＝8.37+19.29≈27.66（cm），‎ ‎∵BC＝12cm，‎ ‎∴CD＝BD﹣BC＝27.66﹣12≈15.66（cm），‎ ‎∵点E恰好在CD的垂直平分线上，‎ ‎∴DG＝CD≈7.83（cm），‎ ‎∵∠GDE＝60°，‎ ‎∴EG＝DG•tan60°≈13.55（cm），‎ ‎∴EF＝FG﹣EG≈23﹣13.55≈9（cm）．‎ 答：眼睛所在的位置应上升的距离约为9cm．（参考数据：sin40°≈0.643，sin50°≈0.767，sin60°≈0.866．）‎ ‎24．（12分）如图1，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，D为OB边上一点，过D点作DC⊥AB交AB于C，连接AD，E为AD的中点，连接OE、CE．‎ 观察猜想 ‎（1）①OE与CE的数量关系是　OE＝EC　；‎ ‎②∠OEC与∠OAB的数量关系是　∠OEC＝2∠OAB　；‎ 类比探究 ‎（2）将图1中△BCD绕点B逆时针旋转45°，如图2所示，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；‎ 拓展迁移 ‎（3）将△BCD绕点B旋转任意角度，若BD＝，OB＝3，请直接写出点O、C、B在同一条直线上时OE的长．‎ ‎【分析】（1）①利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．‎ ‎②利用等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质证明∠OED＝2∠OAE，∠DEC＝2∠EAC，即可推出结论．‎ ‎（2）结论成立．如图2中，延长OE到H，使得EH＝OE，连接DH，CH，OC．想办法证明△HDC≌△OBC（SAS）可得结论．‎ ‎（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点C落在OB上时，连接EC．②如图3﹣2中，当点C落在OB的延长线上时，连接EC，根据△OEC是等腰直角三角形求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）①如图1中，‎ ‎∵CD⊥AB，‎ ‎∴∠ACD＝90°，‎ ‎∵∠AOD＝90°，AE＝DE，‎ ‎∴OE＝AD，EC＝AD，‎ ‎∴OE＝EC．‎ ‎②∵EO＝EA，EC＝EA，‎ ‎∴∠EAO＝∠EOA，∠EAC＝∠ECA，‎ ‎∵∠OED＝∠EAO+∠EOA＝2∠EAO，∠DEC＝∠EAC+∠ECA＝2∠EAC，‎ ‎∵OA＝OB，∠AOB＝90°，‎ ‎∴∠OAB＝45°，‎ ‎∴∠OEC＝2（∠OAE+∠EAC）＝90°，‎ ‎∴∠OEC＝2∠OAB，‎ 故答案为OE＝EC，∠OEC＝2∠OAB．‎ ‎（2）结论成立．‎ 理由：如图2中，延长OE到H，使得EH＝OE，连接DH，CH，OC．‎ 由题意△AOB，△BCD都是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠A＝∠ABO＝∠DBC＝∠CDB＝45°，‎ ‎∵AE＝ED，∠AEO＝∠DEH，OE＝EH，‎ ‎∴△AEO≌△DEH（SAS），‎ ‎∴AO＝DH，∠A＝∠EDH＝45°，‎ ‎∴∠CDH＝∠OBC＝90°，‎ ‎∵OA＝OB，BC＝CD，‎ ‎∴DH＝OB，‎ ‎∴△HDC≌△OBC（SAS），‎ ‎∴CH＝OC，∠HCD＝∠OCB，‎ ‎∴∠HCO＝∠DCB＝90°，‎ ‎∴∠COE＝∠CHE＝45°，‎ ‎∵OE＝EH，‎ ‎∴CE⊥OE，‎ ‎∴∠OEC＝90°，‎ ‎∴∠OEC＝2∠OAB，OE＝EC．‎ ‎（3）①如图3﹣1中，当点C落在OB上时，连接EC．‎ 由（1）（2）可知△OEC是等腰直角三角形，‎ ‎∵BC＝BD＝1，OB＝3，‎ ‎∴OC＝OB﹣BC＝3﹣1＝2，‎ ‎∴OE＝OC＝．‎ ‎②如图3﹣2中，当点C落在OB的延长线上时，连接EC．同法可得OE＝OC＝（3+1）＝2，‎ 综上所述，OE的长为或2．‎ ‎25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+x+c的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），连接AC．点P是x轴上的动点．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）过点P作x轴的垂线，交线段AC于点D，E为y轴上一点，连接AE，BE，当AD＝BE时，求AD+AE的最小值；‎ ‎（3）点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（1）将A、C两点代入，利用待定系数法求得抛物线的表达式；‎ ‎（2）由AD＝BE，将AD+AE转化为BE+AE，通过两点之间线段最短即可得解；‎ ‎（3）分情况讨论，AC为平行四边形的边或对角线，当AC为平行四边形的边时，还需分AQ为对角线、AP为对角线两种情况讨论．‎ ‎【解答】解：（1）将A（﹣3，0），C（0，﹣2），代入y＝ax2+x+c得，‎ ‎，解得，‎ ‎∴抛物线的表达式为；‎ ‎（2）令，解得x＝﹣3或1，‎ ‎∴点B的坐标为（1，0），‎ 当AD＝BE时，AD+AE＝BE+AE，‎ ‎∴当A、E、B三点共线时，BE+AE最小，最小值为AB的长，‎ ‎∴当AD＝BE时，AD+AE的最小值为AB＝1﹣（﹣3）＝4；‎ ‎（3）存在．设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，），‎ ‎①当AC的平行四边形的边时，‎ 若AQ为平行四边形的对角线，则PA＝QC，如图①，‎ ‎∴﹣3﹣m＝0﹣n，，‎ 解得n＝﹣2或0（舍去），‎ ‎∴m＝﹣5，‎ ‎∴点P的坐标为（﹣5，0）；‎ 若AP为对角线，则AC＝PQ，如图②所示，‎ 即m﹣n＝3，，‎ 解得n＝﹣1+或，‎ ‎∴m＝2+或，‎ ‎∴点P的坐标为（，0）或（，0）；‎ ‎②当AC是平行四边形的对角线时，则AQ＝PC，如图③，‎ 即m﹣（﹣3）＝0﹣n，，‎ 解得n＝﹣2或0（舍去），‎ ‎∴m＝﹣1，‎ ‎∴点P的坐标为（﹣1，0）．‎ 综上所述，点P的坐标为（﹣5，0）或（，0）或（，0）或（﹣1，0）．‎