2013年辽宁锦州中考数学试卷及答案(解析版)

2013年辽宁锦州中考数学试卷及答案(解析版)

锦州市2013年考试 数　学　试　卷 考试时间120分钟　试卷满分150分）‎ 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确的选项选出．每小题3分，共24分）‎ ‎1． （2013辽宁锦州，1，3分）－3的倒数是 A． B．3 C．－3 D．‎ ‎【答案】A．‎ ‎2． （2013辽宁锦州，2，3分）下列运算正确的是 A．＝a2＋b2 B．＋＝‎ C．＝ D．＝‎ ‎【答案】D．‎ ‎3． （2013辽宁锦州，3，3分）下列几何体中，主视图与左视图不同的是 圆柱 球 ‎【答案】C．‎ ‎4． （2013辽宁锦州，4，3分）为响应“节约用水”的号召，小刚随机调查了班级35名同学中5名同学家庭一年的平均用水量（单位：吨），记录如下：8，9，8，7，10．这组数据的平均数和中位数分别是 A．8，8 B．8.4，8 C．8.4，8.4 D．8，8.4‎ ‎【答案】B．‎ ‎5． （2013辽宁锦州，5，3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是 ‎【答案】C．‎ ‎6． （2013辽宁锦州，6，3分）如图，直线y＝mx与双曲线y=交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连结BM，若S△ABM＝2，则k的值为 A．－2 B．2 C．4 D．－4‎ 第6题 ‎【答案】A．‎ ‎7． （2013辽宁锦州，7，3分）有如下四个命题：‎ ‎（1）三角形有且只有一个内切圆；‎ ‎（2）四边形的内角和与外角和相等；‎ ‎（3）顺次连结四边形各边中点所得的四边形一定是菱形；‎ ‎（4）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形．‎ 其中真命题的个数有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】C．‎ ‎8． （2013辽宁锦州，8，3分）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足的方程是 A．＝ B．＝‎ C．＝ D．＝‎ ‎【答案】B．‎ 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）‎ ‎9． （2013辽宁锦州，9，3分）分解因式的结果是＿＿＿＿＿．‎ ‎【答案】．‎ ‎10．（2013辽宁锦州，10，3分）在函数y＝中，自变量的取值范围是＿＿＿＿．‎ ‎【答案】≥2．‎ ‎11．（2013辽宁锦州，11，3分）据统计，2013锦州世界园林博览会‎6月1日共接待游客约154000人次．154000可用科学记数法表示为＿＿＿＿．‎ ‎【答案】1.54×．‎ ‎12．（2013辽宁锦州，12，3分）为从甲、乙、丙三名射击运动员中选一人参加全运会，教练把他们的10次比赛成绩作了统计：平均成绩均为9.3环；方差分别为＝1.22，＝1.68，＝0.44，则应该选＿＿＿＿参加全运会．‎ ‎【答案】丙．‎ ‎13．（2013辽宁锦州，13，3分）计算：＝＿＿＿＿＿．‎ ‎【答案】．‎ ‎14．（2013辽宁锦州，14，3分）在四张背面完全相同的卡片正面分别画有正三角形、正六边形、平行四边形和圆，将这四张卡片背面朝上放在桌面上，现从中随机抽出一张，抽出的图形是中心对称图形的概率是＿＿＿＿．‎ ‎【答案】．‎ ‎15．（2013辽宁锦州，15，3分）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连结BE．已知AE＝5，tan∠AED＝，则BE＋CE＝＿＿＿＿．‎ ‎【答案】6或16．‎ ‎16．（2013辽宁锦州，16，3分）二次函数y＝的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1、A2，A3，…，An在y轴的正半轴上，点B1、B2、B3，…，Bn在二次函数位于第一象限的图象上．四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3，…，四边形An-1BnAnCn都是菱形，∠A0B1A1＝∠A1B2A2＝∠A2B3A3＝…＝An-1BnAn＝60°，菱形An-1BnAnCn的周长为＿＿＿＿＿．‎ 第16题 ‎【答案】．‎ 三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）‎ ‎17．（2013辽宁锦州，17，8分）先将化简，然后请自选一个你喜欢的x值代入求值．‎ ‎【答案】原式＝＝＝．取＝10，则原式＝12．‎ ‎18．（2013辽宁锦州，18，8分）如图，方格纸中的每个小正方形边长都是1个单位长度，Rt△ABC的顶点均在格点上．建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（4，1）．‎ ‎（1）先将Rt△ABC向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到Rt△A1B1C1，试在图中画出Rt△A1B1C1，并写出点A1的坐标；‎ ‎（2）再将Rt△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到Rt△A1B2C2，试在图中画出Rt△‎ A1B2C2，并计算Rt△A1B1C1在上述旋转过程点C1所经过的路径长．‎ ‎【答案】（1）Rt△A1B1C1如图所示，A1（－4，0）．‎ ‎（2）Rt△A1B2C2如图所示．‎ 在Rt△A1B1C1中，A1C1＝＝＝．‎ ‎∴点C1所经过的路径长为＝．‎ 四、解答题（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）‎ ‎19．（2013辽宁锦州，19，10分）以下是根据全国人力资源和社会保障部公布的相关数据绘制的统计图的一部分，请你根据图中信息解答下列问题：‎ ‎（1）求2013年全国普通高校毕业生数年增长率约是多少？（精确到0.1%）‎ ‎（2）求2011年全国普通高校毕业生数约是多少万人？（精确到万位）‎ ‎（3）补全折线统计图和条形统计图．‎ 年份 年增长率（%）‎ ‎2009年～2013年全国普通高校 毕业生数的年增长率长率统计图 ‎2009年～2013年全国普通高校毕业生数统计图 年份 毕业生数（万人）‎ ‎【答案】（1）≈2.8%．‎ 答：2013年全国普通高校毕业生数年增长率约是2.8%．‎ ‎（2）631×(1+4.6%)≈660（万）．‎ 答：2011年全国普通高校毕业生数约是660万人．‎ ‎（3）如图所示．‎ 年份 年增长率（%）‎ ‎2009年～2013年全国普通高校 毕业生数的年增长率长率统计图 ‎2009年～2013年全国普通高校毕业生数统计图 年份 毕业生数（万人）‎ ‎20．（2013辽宁锦州，20，10分）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连结OE．‎ 求证：OE＝BC．‎ ‎【答案】∵DE∥AC，CE∥BD，‎ ‎∴四边形OCED是平行四边形．‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AC⊥BD．‎ ‎∴∠DOC＝90°．‎ ‎∴四边形OCED是矩形．‎ ‎∴OE＝CD．‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴CD＝BC．‎ ‎∴OE＝BC．‎ 五、解答题（本大题共2个小题，每小题10分，分20分）‎ ‎21．（2013辽宁锦州，21，10分）一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，另有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3（如图所示）．小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去；否则小亮去．‎ ‎（1）用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率；‎ ‎（2）你认为游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平．‎ ‎【答案】（1）用表格列出所有可能结果．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎∴一共有12种等可能结果，其中所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4的情形有3种．‎ ‎∴P（小颖去）＝＝．‎ ‎（2）∵P（小颖去）＜，‎ ‎∴游戏不公平．游戏规则修改为：一人从口袋中摸出一个小球，另一人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于5，那么小颖去；否则小亮去．‎ ‎22．（2013辽宁锦州，22，10分）如图，某公园入口处有一斜坡AB，坡角为12°，AB长为3m．施工队准备将斜坡建成三级台阶，台阶高度均为hcm，深度均为30cm，设台阶的起点为C．‎ ‎（1）求AC的长度；（2）每级台阶的高度h．‎ ‎（参考数据：sin12°≈0.2079，cos12°≈0.9781，tan12°≈0.2126，结果都精确到0.1cm）．‎ ‎【答案】（1）如图所示构造Rt△ABD．‎ ‎∴AD＝AB·cos∠A＝300×cos12°≈300×0.9781＝293.43．‎ ‎∴AC＝ABCD＝293.432×30≈233.4（cm）．‎ 答：AC的长度约为236.1cm．‎ ‎（2）在Rt△ABD中，BD＝AB·sin∠A＝300×sin12°≈300×0.2079＝6.237．‎ ‎∴＝BD＝×62.37≈20.1（cm）．‎ 答：每级台阶的高度h约为20.1cm．‎ 六、解答题（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）‎ ‎23．（2013辽宁锦州，23，10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．‎ ‎（1）求证：BE与⊙O相切；‎ ‎（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝1，BC＝，求由劣弧BC、线段CE和BE所围成的图形面积S．‎ ‎【答案】（1）连结OC．‎ ‎∵OC＝OB，OD⊥BC，‎ ‎∴∠COD＝∠BOD．‎ 又∵OC＝OB，OE＝OE，‎ ‎∴△OCE≌△OBE．‎ ‎∴∠OCE＝∠OBE．‎ ‎∵CE切⊙O于点C，‎ ‎∴OC⊥CE．‎ ‎∴∠OCE＝90°．‎ ‎∴∠OBE＝90°．‎ ‎∴OB⊥BE．‎ ‎∴BE与⊙O相切．‎ ‎（2）设⊙O的半径长为，则OD＝1，OB＝．‎ ‎∵OC＝OB，OD⊥BC，‎ ‎∴BD＝BC＝×＝．‎ 在Rt△OBD中，由勾股定理得＝，解得＝2．‎ ‎∴OD＝1，OB＝2．‎ ‎∴sin∠BOD＝＝．‎ ‎∴∠BOD＝60°．‎ 在Rt△OBE中，BE＝OB·tan∠BOD＝2×tan60°＝．‎ ‎∴S△OBE＝×OB×BE＝×2×＝．‎ ‎∵△OCE≌△OBE，‎ ‎∴S△OCE＝S△OBE＝．‎ ‎∴S四边形OBEC＝．‎ ‎∵∠COD＝∠BOD，∠BOD＝60°，‎ ‎∴∠BOC＝120°．‎ ‎∴S扇形OBC＝＝．‎ ‎∴S＝S四边形OBEC－S扇形OBC＝－＝．‎ ‎24．（2013辽宁锦州，24，10分）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，甲车途经C地时休息一小时，然后按原速度继续前进到达B地；乙车从B地直接到达A地．右图是甲、乙两车和B地的距离y（千米）与甲车出发时间x（小时）的函数图象．‎ ‎（1）直接写出a，m，n的值；‎ ‎（2）求出甲车与B地的距离y（千米）与甲车出发时间x（小时）的函数关系式（写出自变量的取值范围）；‎ ‎（3）当两车相距120千米时，乙车行驶了多长时间？‎ ‎（千米）‎ ‎（小时）‎ ‎【答案】（1）a＝90，m＝1.5，n＝3.5．‎ ‎（2）如图标注．‎ ‎（千米）‎ ‎（小时）‎ ‎①设AB的函数关系式为＝．‎ 将（0，300）、（1.5，120）代入，得 ‎．‎ 解得＝120，＝300．‎ ‎∴＝（0≤≤1.5）．‎ ‎②BC的函数关系式为＝120（1.5＜＜2.5）．‎ ‎③同理可求CD的函数关系式为＝（2.5≤≤3.5）．‎ 综合知，＝．‎ ‎（3）设OE的函数关系式为＝．‎ 将（2，120）代入，得 ‎120＝．‎ ‎∴＝60．‎ ‎∴＝（0≤≤3.5）．‎ 当0≤≤1.5时，根据题意并结合函数图象得＝120，解得＝1．‎ 当2.5≤≤3.5，根据题意并结合函数图象得（）＝120，解得＝3．‎ 答：当两车相距120千米时，乙车行驶了1小时或3小时．‎ 七、解答题（本题12分）‎ ‎25．（2013辽宁锦州，25，12分）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC、DC于点E、F，连结EF．‎ ‎（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；‎ ‎（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；‎ ‎（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF＝∠BAD，连结EF，过点A作AM⊥EF于点M．试猜想AM与AB之间的数量关系，并证明你的猜想．‎ 图1‎ 图2‎ ‎【答案】（1）EF＝BE＋DF．‎ 证明：如图①，在CB延长线截取BG＝DF，连结AG．‎ 图①‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠D＝∠ABE＝∠ABG＝90°，AD＝AB．‎ 又∵BG＝DF，‎ ‎∴△ADF≌△ABG．‎ ‎∴AF＝AF，∠DAF＝∠BAG．‎ ‎∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，‎ ‎∴∠ADF＋∠BAE＝45°．‎ ‎∴∠BAG＋∠BAE＝45°，即∠GAE＝45°．‎ ‎∴∠GAE＝∠EAF．‎ 又∵AG＝AF，AE＝AE，‎ ‎∴△GAE≌△FAE．‎ ‎∴GE＝EF．‎ ‎∵GE＝BG＋BE＝DF＋BE，‎ ‎∴EF＝DF＋BE．‎ ‎（2）AM＝AB．‎ ‎（3）AM＝AB．‎ 证明：如图②，在CB延长线截取BG＝DF，连结AG．‎ 图②‎ 同（1）可证△GAE≌△FAE．‎ ‎∴∠GEA＝∠FEA．‎ 又∵AB⊥GE，AM⊥EF，‎ AM＝AB．‎ 八、解答题（本题14分）‎ ‎26．（2013辽宁锦州，26，14分）如图，抛物线y＝经过△ABC的三个顶点，点A坐标为（0，3），点B坐标为（2，3）点C在x轴正半轴上．‎ ‎（1）求该抛物线的函数表达式及点C的坐标；‎ ‎（2）点E为线段OC上一动点，以OE为边在第一象限内作正方形OEFG，当正方形的顶点F恰好落在线段AC上时，求线段OE的长；‎ ‎（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动．设平移的距离为，正方形DEFG的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连结DM，是否存在这样的，使△DMN是等腰三角形？若存在，求出值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）在上述平移过程中，当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时，请直接写出重叠部分的面积S与平移距离的函数关系式及自变量的取值范围；并求当为何值时，S有最大值，最大值是多少？‎ 备用图 ‎【答案】（1）将A（0，3），B（2，3）代入y＝，得 ‎．‎ 解得＝，＝3．‎ ‎∴该抛物线的函数表达式为y＝．‎ 当＝0时，＝0，解得＝4，＝6．‎ ‎∵点C在轴的正半轴上，‎ ‎∴C（6，0）．‎ ‎（2）∵C（6，0），A（0，3），‎ ‎∴OC＝6，OA＝3．‎ 设正方形ODFG的边长为，则CE＝6－，EF＝．‎ 当正方形的顶点F恰好落在线段AC上时，如图①．‎ 图①‎ ‎∵EF∥OA，‎ ‎∴△CEF∽△COA．‎ ‎∴＝，即＝．‎ 解得＝2．‎ ‎∴OE＝2．‎ ‎（3）存在，如图②．‎ 图②‎ ‎∵EF∥OA，‎ ‎∴△MEC∽△AOC．‎ ‎∴＝，即＝．‎ ‎∴ME＝．‎ 在Rt△DEM中，由勾股定理得DM2＝DE2＋ME2，即DM2＝．‎ ‎∵EF∥DG，‎ ‎∴△NDC∽△AOC．‎ ‎∴＝，即＝．‎ ‎∴ND＝．‎ 过点M作MH⊥DG于点H，则MH＝2，DH＝ME＝．‎ ‎∴NH＝ND－DH＝－（）＝1．‎ 在Rt△ABC中，由勾股定理得MN2＝NH2＋MH2＝＝5．‎ ‎①当DM＝DN时，则DM2＝DN2．‎ ‎∴＝．‎ 解得＝1．‎ ‎②当DM＝MN时，则DM2＝MN2．‎ ‎∴＝5．‎ 解得＝2或6，但＝6不符合题意，舍去．‎ ‎③当DN＝MN时，则＝．‎ 解得＝．‎ 综合知，当＝1或2或时，△DMN是等腰三角形．‎ ‎（4）S＝（2＜＜）．‎ ‎∵S＝＝，‎ 而＜0且2＜＜，‎ ‎∴当＝时，S有最大值，最大值为1．‎