2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编第23--等腰三角形

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2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编第23--等腰三角形

‎2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编 第23章 等腰三角形 一、选择题 ‎1. (2011浙江省舟山,7,3分)如图,边长为4的等边△ABC中,DE为中位线,则四边形BCED的面积为(   )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(第7题)‎ ‎【答案】B ‎2. (2011四川南充市,10,3分)如图,⊿ABC和⊿CDE均为等腰直角三角形,点B,C,D在一条直线上,点M是AE的中点,下列结论:①tan∠AEC=;②S⊿ABC+S⊿CDE≧S⊿ACE ;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是( )‎ ‎(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 ‎【答案】D ‎3. (2011浙江义乌,10,3分)如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°, ‎ 四边形ACDE是平行四边形,连结CE交AD于点F,连结BD交 ‎ CE于点G,连结BE. 下列结论中:[来源:学科网]‎ ‎① CE=BD; ② △ADC是等腰直角三角形;‎ ‎③ ∠ADB=∠AEB; ④ CD·AE=EF·CG;‎ 一定正确的结论有 A B C D E F G A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【答案】D ‎4. (2011台湾全区,30)如图(十三),ΔABC中,以B为圆心,长为半径画弧,分别交、‎ 于D、E两点,并连接、.若∠A=30∘,=,则∠BDE的度数为何?‎ A. 45 B. 52.‎5 C. 67.5 D. 75‎ ‎【答案】C ‎5. (2011台湾全区,34)如图(十六),有两全等的正三角形ABC、DEF,且D、A分别为△ABC、△DEF 的重心.固定D点,将△DEF逆时针旋转,使得A落在上,如图(十七)所示.求图(十六)与图(十 七)中,两个三角形重迭区域的面积比为何?‎ A.2:1 B. 3:‎2 C. 4:3 D. 5:4‎ ‎【答案】C ‎6. (2011山东济宁,3,3分)如果一个等腰三角形的两边长分别是‎5cm和‎6cm,那么此三角形的周长是 ‎ A.‎15cm B.‎16cm ‎ C.‎17cm D.‎16cm或‎17cm ‎【答案】D ‎7. (2011四川凉山州,8,4分)如图,在中,,,点为的中点,,垂足为点,则等于(  ) ‎ A.   B.   C.   D. ‎ ‎【答案】C[来源:Zxxk.Com]‎ ‎8. [来源:学科网]‎ 二、填空题 ‎1. (2011山东滨州,15,4分)边长为‎6cm的等边三角形中,其一边上高的长度为________.‎ ‎【答案】cm ‎2. (2011山东烟台,14,4分)等腰三角形的周长为14,其一边长为4,那么,它的底边为 .‎ ‎【答案】4或6‎ ‎3. (2011浙江杭州,16,4)在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,过点C作直线l∥AB,F是l上的一点,且AB=AF,则点F到直线BC的距离为 .‎ ‎【答案】‎ ‎4. (2011浙江台州,14,5分)已知等边△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,把△BDE沿直线DE翻折,使点B落在点Bˊ处,DBˊ,‎ EBˊ分别交边AC于点F,G,若∠ADF=80º ,则∠EGC的度数为 ‎ ‎【答案】80º ‎5. (2011浙江省嘉兴,14,5分)如图,在△ABC中,AB=AC,,则△ABC的外角∠BCD=   °.‎ ‎(第14题)‎ ‎【答案】110‎ ‎6. (2011湖南邵阳,11,3分)如图(四)所示,在△ABC中,AB=AC,∠B=50°,则∠A=_______。‎ ‎【答案】80°。提示:∠A=180°-2×50°=80°。‎ ‎7. (2011山东济宁,15,3分)如图,等边三角形ABC中,D、E分别为AB、BC边上的两个动点,且总使AD=BE,AE与CD交于点F,AG⊥CD于点G,则 .‎ 第15题 D ‎【答案】‎ ‎8. (2011湖南怀化,13,3分)如图6,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的角平分线交BC边于点D,AB=5,BC=6,则AD=__________________.‎ ‎【答案】4‎ ‎9. (2011四川乐山16,3分)如图,已知∠AOB=,在射线OA、OB上分别取点OA=OB,连结AB,在BA、BB上分别取点A、B,使B B= B A,连结A B…按此规律上去,记∠A B B=,∠,…,∠‎ 则⑴= ; ⑵ = 。‎ ‎【答案】⑴ ⑵[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ ‎10.(2011湖南邵阳,11,3分)如图(四)所示,在△ABC中,AB=AC,∠B=50°,则∠A=_______。‎ ‎【答案】80°。‎ ‎11. (2011贵州贵阳,15,4分)如图,已知等腰Rt△ABC的直角边长为1,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推直到第五个等腰Rt△AFG,则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为______.‎ ‎(第15题图)‎ ‎ 【答案】 ‎12. (2011广东茂名,14,3分)如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E 在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E= 度.‎ ‎【答案】15 ‎ 三、解答题 ‎1. (2011广东东莞,21,9分)如图(1),△ABC与△EFD为等腰直角三角形,AC与DE重合,AB=EF=9,∠BAC=∠DEF=90°,固定△ABC,将△EFD绕点A 顺时针旋转,当DF边与AB边重合时,旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况,设DE、DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G、H点,如图(2).‎ ‎(1)问:始终与△AGC相似的三角形有 及 ;‎ ‎(2)设CG=x,BH=y,求y关于x的函数关系式(只要求根据2的情况说明理由);‎ ‎(3)问:当x为何值时,△AGH是等腰三角形?‎ ‎【解】(1)△HGA及△HAB;‎ ‎ (2)由(1)可知△AGC∽△HAB ‎∴,即,‎ 所以,‎ ‎(3)当CG<时,∠GAC=∠H<∠HAC,∴AC<CH ‎∵AG<AC,∴AG<GH 又AH>AG,AH>GH 此时,△AGH不可能是等腰三角形;‎ 当CG=时,G为BC的中点,H与C重合,△AGH是等腰三角形;‎ 此时,GC=,即x=‎ 当CG>时,由(1)可知△AGC∽△HGA 所以,若△AGH必是等腰三角形,只可能存在AG=AH 若AG=AH,则AC=CG,此时x=9[来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ 综上,当x=9或时,△AGH是等腰三角形.‎ ‎2. (2011山东德州19,8分)如图 AB=AC,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE与CD相交于点O.‎ ‎(1)求证AD=AE;(2) 连接OA,BC,试判断直线OA,BC的关系并说明理由.‎ A B C E D O ‎【答案】A B E C D O (1)证明:在△ACD与△ABE中,‎ ‎∵∠A=∠A,∠ADC=∠AEB=90°,AB=AC,‎ ‎∴ △ACD≌△ABE.…………………… 3分 ‎∴ AD=AE. ……………………4分 ‎(2) 互相垂直 ……………………5分 在Rt△ADO与△AEO中,‎ ‎∵OA=OA,AD=AE,‎ ‎∴ △ADO≌△AEO. ……………………………………6分 ‎∴ ∠DAO=∠EAO.‎ 即OA是∠BAC的平分线. ………………………………………7分 ‎ 又∵AB=AC,‎ ‎∴ OA⊥BC. ………………………………………8分 ‎3. (2011山东日照,23,10分)如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°,E为AD延长线上的一点,且CE=CA.‎ ‎(1)求证:DE平分∠BDC;‎ ‎(2)若点M在DE上,且DC=DM,‎ 求证: ME=BD.‎ ‎ 【答案】(1)在等腰直角△ABC中,‎ ‎∵∠CAD=∠CBD=15o,‎ ‎∴∠BAD=∠ABD=45o-15o=30o,‎ ‎∴BD=AD,∴△BDC≌△ADC, ‎ ‎∴∠DCA=∠DCB=45o.‎ 由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30o+30o=60o,‎ ‎∠EDC=∠DAC+∠DCA=15o+45o=60o,‎ ‎∴∠BDM=∠EDC,‎ ‎∴DE平分∠BDC; ‎ ‎(2)如图,连接MC,‎ ‎∵DC=DM,且∠MDC=60°,‎ ‎∴△MDC是等边三角形,即CM=CD. ‎ 又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°,‎ ‎∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°,‎ ‎∴∠EMC=∠ADC. ‎ 又∵CE=CA,‎ ‎∴∠DAC=∠CEM=15°,∴△ADC≌△EMC,∴ME=AD=DB. ‎ ‎4. (2011湖北鄂州,18,7分)如图,在等腰三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC边上中点,过D点作DE⊥DF,交AB于E,交BC于F,若AE=4,FC=3,求EF长.‎ ‎ 第18题图 B A E D F C ‎【答案】连结BD,证△BED≌△CFD和△AED≌△BFD,求得EF=5‎ ‎5. (2011浙江衢州,23,10分)是一张等腰直角三角形纸板,.‎ 要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形,有甲、乙两种剪法(如图1),比较甲、乙两种剪法,哪种剪法所得的正方形面积更大?请说明理由. ‎ ‎(第23题)‎ ‎(第23题图1)‎ 图1中甲种剪法称为第1次剪取,记所得的正方形面积为;按照甲种剪法,在余下的中,分别剪取正方形,得到两个相同的正方形,称为第2次剪取,并记这两个正方形面积和为(如图2),则 ;再在余下的四个三角形中,用同样的方法分别剪取正方形,得到四个相同的正方形,称为第3次剪取,并记这四个正方形的面积和为(如图3);继续操作下去…则第10次剪取时, . ‎ 求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面积和.‎ ‎【答案】(1)解法1:如图甲,由题意得.如图乙,设,则由题意,得 又 甲种剪法所得的正方形的面积更大 说明:图甲可另解为:由题意得点D、E、F分别为的中点,‎ 解法2:如图甲,由题意得 如图乙,设 ‎[来源:学§科§网]‎ 甲种剪法所得的正方形的面积更大 ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎(3)解法1:探索规律可知:‘‎ 剩余三角形的面积和为:‎ 解法2:由题意可知,‎ 第一次剪取后剩余三角形面积和为 第二次剪取后剩余三角形面积和为 第三次剪取后剩余三角形面积和为 ‎…‎ 第十次剪取后剩余三角形面积和为 ‎6. (2011浙江绍兴,23,12分)数学课上,李老师出示了如下框中的题目.‎ 小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:‎ ‎(1)特殊情况,探索结论 当点为的中点时,如图1,确定线段与的大小关系,请你直接写出结论:‎ ‎ (填“>”,“<”或“=”). ‎ 第25题图2‎ 第25题图1‎ ‎(2)特例启发,解答题目 解:题目中,与的大小关系是: (填“>”,“<”或“=”).理由如下:如图2,过点作,交于点.‎ ‎(请你完成以下解答过程)‎ ‎(3)拓展结论,设计新题 在等边三角形中,点在直线上,点在直线上,且.若的边长为1,,求的长(请你直接写出结果). ‎ ‎【答案】(1)= .‎ ‎(2)=.‎ 方法一:如图,等边三角形中,‎ 是等边三角形,‎ 又 ‎.‎ 方法二:在等边三角形中,‎ 而由是正三角形可得 ‎ ‎ ‎(3)1或3.‎ ‎7. (2011浙江台州,23,12分)如图1,过△ABC的顶点A分别做对边BC上的高AD和中线AE,点D是垂足,点E是BC中点,规定。特别的,当点D重合时,规定。另外。对、作类似的规定。‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎(1)如图2,已知在Rt△ABC中,∠A=30º,求、;‎ ‎(2)在每个小正方形边长为1的4×4方格纸上,画一个△ABC,使其顶点在格点(格点即每个小正方形的顶点)上,且,面积也为2;‎ ‎(3)判断下列三个命题的真假。(真命题打√,假命题打×)‎ ‎① 若△ABC中,,则△ABC为锐角三角形;( )‎ ‎② 若△ABC中,,则△ABC为直角三角形;( )‎ ‎③ 若△ABC中,,则△ABC为钝角三角形;( )‎ ‎【答案】解:(1)如图,作CD⊥AB,垂足为D,作中线CE、AF。‎ ‎ ‎ ‎ ∴=1‎ ‎ ∵ Rt△ABC中,∠CAB=30º, ∴ AE=CE=BE ,∠CEB=60º,‎ ‎ ∴△CEB是正三角形,‎ ‎∵ CD⊥AB ∴ AE=2DE ‎ ∴=; ∴=1,=;‎ ‎ (2)如图所示:‎ ‎ (3)①×;②√;③√。‎ ‎8. (2011浙江义乌,23,10分)如图1,在等边△ABC中,点D是边AC的中点,点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合),连结BP. 将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角(0°<α<180°),得到△A1B1P,连结AA1,射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F.‎ ‎ (1) 如图1,当0°<α<60°时,在α角变化过程中,△BEF与△AEP始终存在 ▲ 关系(填“相似”或“全等”),并说明理由;‎ ‎(2)如图2,设∠ABP=β . 当60°<α<180°时,在α角变化过程中,是否存在△BEF与△AEP全等?若存在,求出α与β之间的数量关系;若不存在,请说明理由; ‎ ‎(3)如图3,当α=60°时,点E、F与点B重合. 已知AB=4,设DP=x,△A1BB1的面 积为S,求S关于x的函数关系 图1‎ 图2‎ 图3‎ P B1‎ FM A DO EC C B A1‎ P B1‎ FM A DO EC C B A1‎ P B1‎ A DO C B A1‎ ‎【答案】(1) 相似 ‎ 由题意得:∠APA1=∠BPB1=α AP= A1P BP=B1P ‎ 则 ∠PAA1 =∠PBB1 = ‎ ‎ ∵∠PBB1 =∠EBF ∴∠PAE=∠EBF ‎ 又∵∠BEF=∠AEP ‎ ‎∴△BEF ∽△AEP ‎(2)存在,理由如下:‎ 易得:△BEF ∽△AEP 若要使得△BEF≌△AEP,只需要满足BE=AE即可 ‎∴∠BAE=∠ABE[来源:Z_xx_k.Com]‎ ‎ ∵∠BAC=60° ∴∠BAE=‎ ‎∵∠ABE=β ∠BAE=∠ABE ‎ ‎∴ 即α=2β+60° ‎ ‎(3)连结BD,交A1B1于点G,‎ 过点A1作A1H⊥AC于点H. ‎ P B1‎ A DO C B A1‎ H G ‎∵∠B‎1 A1P=∠A1PA=60° ∴A1B1∥AC ‎ 由题意得:AP= A1 P ∠A=60°‎ ‎ ∴△PAA1是等边三角形 ‎∴A1H=在Rt△ABD中,BD=‎ ‎ ∴BG=‎ ‎∴ (0≤x<2)‎ ‎9. (2011广东株洲,20,6分)如图, △ABC中,AB=AC,∠A=36°,AC的垂直平分线交AB于E,D为垂足,连结EC.‎ ‎(1)求∠ECD的度数;‎ ‎(2)若CE=5,求BC长.‎ ‎【答案】(1)解法一:∵DE垂直平分AC,∴CE=AE,∠ECD=∠A=36°. ‎ 解法二:∵DE垂直平分AC,∴AD=CD,∠ADE=∠CDE=90°, ‎ 又∵DE =DE,∴△ADE≌△CDE,∠ECD=∠A=36°. ‎ ‎(2)解法一:∵AB=AC,∠A=36°,∴∠B=∠ACB=72°,‎ ‎∵∠ECD=36°,‎ ‎∴∠BCE=∠ACB-∠ECD=36°,‎ ‎∠BEC=72°=∠B,‎ ‎∴ BC=EC=5.‎ 解法二:∵AB=AC,∠A=36°,‎ ‎∴∠B=∠ACB=72°, ‎ ‎∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°, ‎ ‎∴∠BEC=∠B,‎ ‎∴BC=EC=5. [来源:Zxxk.Com]‎ ‎10.(2011重庆綦江,24,10分)如图,等边△ABC中,AO是∠BAC的角平分线,D为AO上一点,以CD为一边且在CD下方作等边△CDE,连结BE. ‎ ‎ (1) 求证:△ACD≌△BCE; ‎ ‎ (2) 延长BE至Q, P为BQ上一点,连结CP、CQ使CP=CQ=5, 若BC=8时,求PQ的长.‎ ‎ ‎ ‎【答案】:(1)证明ABC和△CDE均为等边三角形,‎ ‎ ∴AC=BC , CD=CE ‎ ‎ 且∠ACB=∠DCE=60°‎ ‎ ∵∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE=60°‎ ‎ ∴∠ACD=∠BCE ‎ ‎ ∴△ACD≌△BCE ‎ ‎(2)解:作CH⊥BQ交BQ于H, 则PQ=2HQ ‎ ‎ 在Rt△BHC中 ,由已知和(1)得∠CBH=∠CAO=30°,∴ CH=4 ‎ 在Rt△CHQ中,HQ= ‎ ‎ ∴PQ=2HQ=6 ‎ ‎11. (2011江苏扬州,23,10分)已知:如图,锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O,且OB=OC,‎ ‎(1)求证:△ABC是等腰三角形;‎ ‎(2)判断点O是否在∠BAC的角平分线上,并说明理由。‎ ‎【答案】(1)证明:∵OB=OC ∴∠OBC=∠OCB ‎∵BD、CE是两条高 ∴∠BDC=∠CEB=90°‎ 又∵BC=CB ∴△BDC≌△CEB(AAS)‎ ‎∴∠DBC=∠ECB ∴AB=AC ‎ ‎∴△ABC是等腰三角形。‎ ‎ (2)点O是在∠BAC的角平分线上。连结AO. ‎ ‎∵ △BDC≌△CEB ∴DC=EB,‎ ‎∵OB=OC ∴ OD=OE 又∵∠BDC=∠CEB=90° AO=AO ‎ ‎∴△ADO≌△AEO(HL) ‎ ‎∴∠DAO=∠EAO ‎ ‎∴点O是在∠BAC的角平分线上。‎ ‎12. (2011广东省,21,9分)如图(1),△ABC与△EFD为等腰直角三角形,AC与DE重合,AB=EF=9,∠BAC=∠DEF=90°,固定△ABC,将△EFD绕点A 顺时针旋转,当DF边与AB边重合时,旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况,设DE、DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G、H点,如图(2).‎ ‎(1)问:始终与△AGC相似的三角形有 及 ;‎ ‎(2)设CG=x,BH=y,求y关于x的函数关系式(只要求根据2的情况说明理由);‎ ‎(3)问:当x为何值时,△AGH是等腰三角形?‎ ‎【解】(1)△HGA及△HAB;‎ ‎ (2)由(1)可知△AGC∽△HAB ‎∴,即,‎ 所以,‎ ‎(3)当CG<时,∠GAC=∠H<∠HAC,∴AC<CH ‎∵AG<AC,∴AG<GH 又AH>AG,AH>GH 此时,△AGH不可能是等腰三角形;‎ 当CG=时,G为BC的中点,H与C重合,△AGH是等腰三角形;‎ 此时,GC=,即x=‎ 当CG>时,由(1)可知△AGC∽△HGA 所以,若△AGH必是等腰三角形,只可能存在AG=AH 若AG=AH,则AC=CG,此时x=9‎ 综上,当x=9或时,△AGH是等腰三角形.‎ ‎13. (2011湖北黄冈,18,7分)如图,在等腰三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC边上中点,过D点作DE⊥DF,交AB于E,交BC于F,若AE=4,FC=3,求EF长.‎ ‎ 第18题图 B A E D F C ‎【答案】连结BD,证△BED≌△CFD和△AED≌△BFD,求得EF=5‎ ‎14. (2011湖北襄阳,21,6分)‎ 如图6,点D,E在△ABC的边BC上,连接AD,AE. ①AB=AC;②AD=AE;③BD=CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设,另一个作为命题的结论,构成三个命题:①②③;①③②;②③①.‎ ‎(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答) ;‎ ‎(2)请选择一个真命题进行证明(先写出所选命题,然后证明).‎ 图6‎ ‎【答案】(1)①②③;①③②;②③①. 3分 ‎(2)(略) 6分 ‎15. (2011山东泰安,29 ,10分)已知:在△ABC中,AC=BC,∠ACB=900,点D是AB的中点,点E是AB边上一点。‎ ‎(1)直线BF垂直于CE于点F,交CD于点G(如图①),求证:AE=CG;‎ ‎(2)直线AH垂直于CE于,垂足为H,交CD的延长线于点M(如图②),找出图中与BE相等的线段,并说明。‎ ‎【答案】(1)证明:∵点D是AB中点,AC=BC,∠ACB=900‎ ‎ ∴CD⊥AB,∠ACD=∠BCD=450‎ ‎∠CAD=∠CBD=450[来源:学科网ZXXK]‎ ‎∴∠CAE=∠BCG 又BF⊥CE ‎∴∠CBG+∠BCG=900‎ 又∠ACE+∠BCF=900‎ ‎∴∠ACE=∠CBG ‎∴△AEC≌△CGB ‎∴AE=CG ‎(2)BE=CM 证明:∵CH⊥HM,CD⊥ED ‎∴∠CMA+∠MCH=900‎ ‎∠BEC+∠MCH=900‎ ‎∴∠CMA=∠BEC 又,AC=BC,∠ACM=∠CBE=450‎ ‎∴△BCE≌△CAM ‎∴BE=CM ‎16. ‎ ‎17. ‎ ‎18. ‎
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