中考数学专题复习练习：最简二次根式

中考数学专题复习练习：最简二次根式

典型例题一 例01．下列各式中属于最简二次根式的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 分析 因 ‎ ‎ 解答 A 说明 最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数因数是整数，因式是整式；（2）被开方数不能含有开得尽方的因数或因式. ‎ 典型例题二 例02．在二次根式中，，，，，最简二次根式的个数是（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 分析 因为，，都不是最简二次根式，所以最简二次根式有2个. ‎ 解答 B 说明 最简二次根被开方数中因数次数只能小于2，且不能含有分母. ‎ 典型例题三 例03．在根式，，，，，，，，中，最简二次根式的个数为（ ）. ‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ 分析 的被开方数是分式，的被开方数中含有分数因数，=，，它们和 中都含有能开得尽方的因数或因式，所以这几个二次根式都不是最简二次根式. ‎ 解答 C 说明 考查最简二次根式的意义. ‎ 只要全面了解了最简二次根式的定义，这样的题目就能迎刃而解. 读者可以自行编拟类似的判断题等，互相检查对二次根式的了解情况. ‎ 典型例题四 例04．化简 分析 原式=‎ ‎ ‎ 因，，‎ 故原式=‎ 解答 ‎ 说明 化简时，把能开得尽方的因式移到根号外，但一定要根据其取值范围，将算术平方根移到根号外. 如果将要移出因式是多项式，必须添上括号. ‎ 典型例题五 例05．（1）化简：‎ ‎（2）. ‎ 分析 （1）因，则，‎ 故 ‎（2）因，，‎ 故 解答 ；‎ 说明 在（1）中隐含，即的条件；在（2）中隐含，即. ‎ 典型例题六 例06．化简 解答 ∵，∴ ，. ‎ ‎∴‎ ‎ ‎ 说明 本题中与的大小关系，是以隐含的形式给出的. ‎ 被开方数可以写成两项差的平方的形式，从而可以利用本节所学公式. ‎ 典型例题七 例07．化简：‎ 解答1：∵，∴，‎ 原式=‎ 解答2：∵，∴，‎ 原式=‎ 说明 可将被开方数的分母写成两项差的平方的形式移出根号，也可将根号外的因式移入根号内. ‎ 典型例题八 例08．把下列二次根式化成最简二次根式：‎ ‎（1）； （2）；‎ ‎（3） （4）‎ 解答 （1）原式=‎ ‎（2）原式==‎ ‎（3）原式=‎ ‎（4）原式==‎ 说明 考查二次根式的化简 ‎（1）被开方数是带分数时，首先要将它化为假分数；（2）被开方数分解因数或因式后，若分子、分母有公因数（式），应先约去公因数（式），使运算简便. ‎ 典型例题九 例09．化简下列根式：‎ ‎（1）； （2）； （3）‎ 解答 （1）由被开方式知 ‎∴原式=‎ ‎（2）由根式有意义知 即 ‎∴原式=‎ ‎（3）∵，又知 ‎∴原式==‎ 说明 考查根式的化简方法. ‎ 化简根式时，常要将某些代数式移出或移入根号，但一定要注意字母的取值范围，必须保证移出或移入前后根式中符号（正负）性质不变. ‎ 典型例题十 例10．当时，求的值. ‎ 分析 因为，分母有理化后，有. ‎ 又，‎ 把代入，得 原式=. ‎ 说明 一般而言，对于求值的题都不能把字母的取值代入原始式子进行运算，而是必须先化简再注值. 本题多项式已经化简了，故就应把代入，但考虑到x的值是个无理数，又是分母上有根号，就应把它分母有理化以后再代入，也就是说把代入代数式就显得比较简单. 同时，尽管多项式已经很简了，如果我们稍作变换，能使代入运算更加方便，也就是的式化为，运算更简. ‎ 如果把字母的取值不分青红皂白代入原式，就可能运算很繁，导致错误. 第一要把字母的取值化简，第二要把代数式化简再根据代数式的特点，适当作一点变换，就能简捷地求出代数式的值. ‎ 典型例题十一 例11．已知，化简：‎ ‎（1）； （3）‎ 解答 ∵，即 ‎∴且 即，‎ ‎∴（1）‎ ‎（2）‎ 说明 注意到所求的根式的被开方数是一个完全平方数，开方之后得到绝对值，显然需要a，b的范围. 这一点可由已知条件利用被开方数非负得到. ‎ 分析问题往往从结论入手，才想到如何更好地利用已知. 本例容易陷入误区情形有：①想求a，b的具体值；②想不到隐含条件；③不注意变形条件为；④看不到被开方数是完全平方数. ‎ 选择题 ‎1．选择题 ‎（1）把化为最简二次根式为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）下列各式中是最简二次根式的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）下列各式中不是最简二次根式的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（4）二次根式，，，，，，中最简二次根式的个数是（ ）‎ ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎（5）下列二次式中最简二次根式是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）化简得最简二次根式为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2．选择题 ‎（1）若且，则成立的条件是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（2）当时，下列等式中成立的是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（3）下列化简中正确的是 ‎（A） （B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（4）下列化简中错误的是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）（）‎ ‎（5）若，把化成最简二次根式为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎3．选择题 ‎（1）已知，则化简得（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（2）化简下列各式，出现错误的是（ ）‎ ‎（A）（）‎ ‎（B）（）‎ ‎（C）‎ ‎（D）（）‎ ‎（3）若，二次根式的值为，则等于（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 参考答案：‎ ‎1．（1）C （2）B （3）C （4）B （5）C （6）A ‎2．（1）C （2）C （3）D （4）B （5）C ‎3．（1）B （2）D （3）B 填空题 ‎1．填空题 ‎（1）化简：______，________.‎ ‎（2）化简：_________.‎ ‎（3）把化成最简分式得_________.‎ ‎（4）二次根式①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧中最简二次根式为_________.‎ 参考答案：（1）， （2） （3） （4）②⑤⑧‎ 解答题 ‎1．化最简二次根式 ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5） （6）‎ ‎（7） （8）‎ ‎2．化简 ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5） （6）‎ ‎（7）‎ ‎3．求代数式的值 ‎（1）； （2）‎ ‎4．已知，求的值.（精确到）‎ 参考答案：‎ ‎1．（1） （2） （3） （4） （5） （6）‎ ‎ （7） （8）‎ ‎2．（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）‎ ‎3．（1） （2）‎ ‎4．[提示：原式化为]‎ 解答题 ‎1．设直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为.‎ ‎（1）已知，求； ‎ ‎（2）已知，求；‎ ‎（3）已知，求；‎ ‎（4）已知，求 ‎2．化简 ‎（1）（） （2）（）‎ ‎3．求值：已知 ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）时，求.（精确到）‎ 参考答案：‎ ‎1．（1）10 （2）10 （3） （4）‎ ‎2．（1） （2）‎ ‎3．（1） （2）‎