中考数学专题复习练习：旋转

中考数学专题复习练习：旋转

‎《旋转》教材分析 ‎ 一．其知识结构框图如下：‎ 中心对称图形（图案设计）‎ 旋转及其性质 平移及其性质 轴对称及其性质 中心对称 关于原点对称的点的坐标 图形变换 首先，根据旋转的概念可知,旋转变换包括三个方面的要素，即旋转中心、旋转方向和旋转角度．‎ 其次，分析旋转的概念,可得旋转的性质：‎ 。旋转后的图形与原图形是全等的；旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；‎ 最后，根据旋转的性质，学会作一个图形绕某点旋转后的图形 例1．如图1，ΔACB与ΔADE都是等腰直角三角形，∠ACB和∠ADE都是直角，点C在AE上，如果ΔACB经逆时针旋转后能与ΔADE重合．‎ ‎（1）请指出其旋转中心与旋转角度；（点A；逆时针旋转45°）‎ ‎（2）用图1作为基本图形，经过怎样的旋转可以得到图2？（绕点A顺时针（或逆时针）旋转90°三次得到）‎ ‎（3）将图2（顺时针）旋转多少度以后可以和自身重合？（90°的倍数）‎ 图1‎ C A E D B ‎ ‎图2‎ 练习1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB=DE，点B、C、D在x轴上，点A、E、F在y轴上，下面判断正确的是（ A ）‎ ‎ A．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的 ‎ B．△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的 C．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的 D．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的 练习2．（08海淀一模）已知：Rt在4×6的方格图中的位置如图，设每个小正方形的边长为一个长度单位，请你先把以直角顶点为旋转中心，按顺时针方向旋转90°后再沿水平方向向右平行移动三个单位（保留图形移动的结果），写出点C移动的路径总长．‎ 例2．（08宣武一模）如图，在梯形中，∥，的长为4，，已知点、的坐标分别为（1，0）和（2，－3）．‎ ‎ （1）求点的坐标；‎ ‎ （2）取点（2，－1），联结并延长交于，试猜想 与之间的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎ （3）将梯形绕点旋转后成梯形，画出梯形．‎ 2． 类比旧知，有利于掌握新知 类比学习“两个图形成中心对称”和“中心对称图形”‎ 中心对称 中心对称图形 区别 ‎①指两个全等图形之间的相互位置关系．‎ ‎②对称中心不定．‎ ‎①指一个图形本身成中心对称．‎ ‎②对称中心是图形自身或内部的点．‎ 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形．‎ 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．‎ 类比平移、轴对称变换和中心对称变换 平移 轴对称 旋转 相同点 都是全等变换（合同变换），即变换前后的图形全等．‎ 不 同 点 定义 把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换．‎ 把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换．‎ 把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换．‎ 图形 要素 平移方向 平移距离 对称轴 旋转中心、旋转方向、旋转角度 性质 连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．‎ 任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．‎ 对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角．‎ 对应线段平行（或共线）且相等．‎ 对应线段关于对称轴对称．‎ ‎*对应线段相等，其所在直线的夹角等于旋转角或与旋转角互补．‎ （二） 注意联系实际，培养动手操作 ‎1‎ ‎1‎ 例5．（07北京中考）在平面直角坐标系xOy中，OEFG为正方形，点F的坐标为（1，1）．将一个最短边长大于的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上．‎ ‎ （1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线FO上时，这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为 ；‎ ‎ （2）若三角形纸片的直角顶点不与点O，F重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形．‎ ‎ 练习4．如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3 ~ 图6中统一用F表示）．‎ ‎ ‎A B C D E F ‎ （图1） （图2） （图3）‎ 小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.‎ ‎（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；‎ ‎（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；‎ ‎（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH．‎ ‎ ‎ ‎ （图4） （图5） （图6） ‎ ‎（三）用运动发展的眼光看问题 ‎1．从变换的角度重新认识几何图形，建立图形变换的意识．‎ 例6．（1）如图1，在△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，求证：AB=AC+CD．‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2 图3‎ ‎（2）如图2，AD为△ABC中的角平分线，M为BC中点，过点M作MF∥AD交CA的延长线于F，求证：CF=BE．‎ ‎（3）如图3，在边长为1的正方形ABCD的边AB上取点P，边BC上取点Q，边CD上取点M，边AD上取点N，如果AP+AN+CQ+CM=2，求证：PM⊥QN．‎ 例7．题组分析：从一道全等证明问题所联系到的．‎ ‎ （1）如图，C为BD上一点，分别以BC和CD为边向同侧作等边三角形ABC和ECD，AD和BE相交于点M． ‎ ‎ ‎ 探究线段BE和AD的数量关系和位置关系．（相等，夹角为60°）‎ 当绕点C在平面内转动时，线段BE和AD有何关系．（相等，夹角为旋转角）‎ ‎（2）如图，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B、O两点的对应点分别为C、D，则旋转角为_____________，图中除△ABC外，还有等边三角形是_____________．‎ ‎ ‎ 第（2）题图 第（3）题图 ‎（3）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连结DC，以DC为边作等边△DCE．B、E在C、D的同侧，若，则BE= ．‎ ‎（4）已知P为正△ABC内一点．‎ 若∠APB=113°，∠APC=123°，求证：以AP、BP、CP为边可以构成一个三角形．‎ 求证：无论P的位置如何，以AP、BP、CP为边都可以构成一个三角形．‎ ‎ ‎ ‎（5）已知定点P到正△ABC三个顶点的距离分别是4，5，6，求作正△ABC．‎ ‎（6）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠A DC=60°，AD=DC．‎ 求证：BD=AB+BC．‎ ‎ ‎ ‎（7）如图，设P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2、3，则PC所能达到的最大值（最小值）是多少？‎ ‎ ‎ ‎*（8）已知等边三角形ABC的边长为，P为三角形内一点，，且．求的值．‎ ‎ ‎ ‎（9）（07陇南中考）四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．‎ ‎（1）求证：AE=CG；‎ ‎（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．‎ ‎ （答：猜想AE⊥CG．） ‎ 图2‎ 图1‎ ‎（10）（07资阳中考改编）如图6（1），已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点求证：BP=DP；‎ 如图6（2），若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，连接BE、DF，探究BE的DF的关系，并证明你的结论．‎ ‎ 练习5．（1）如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°．将△ABC绕点C按逆时针方向旋转角到△A'B'C'的位置，其中A'、B'分别是A、B的对应点，B在A'B'上，CA'交AB于D，则∠BDC的度数为（ D ）．‎ ‎ A．40° B．45° C．50° D．60°‎ ‎（2）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADF，DE=3cm，BF=11 cm，则正方形ABCD的面积是（ A ）．‎ ‎ A．49 B．36 C．25 D．16‎ ‎（3）如图，将一块斜边长为12cm，∠B=60°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△的位置，再沿CB向右平移，使点刚好落在斜边AB上，那么此三角板向右平移的距离是 cm．‎ ‎（4）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P，若四边形ABCD的面积是16，求DP的长．‎ ‎ ‎ 第（1）题图 第（2）题图 第（3）题图 第（4）题图 练习6．（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45 °，求证：EF＝BE＋FD．‎ 如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎（2）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC边上点，且∠EAF=45°．求证：．‎ ‎ ‎ 五、补充说明 ‎1．关于旋转解题：‎ ‎（1）由条件和结论出发，确定旋转的方向、角度．‎ 类型I：分析已知，自行构造旋转图形．‎ 类型II：已知旋转图形，说明旋转关系．‎ ‎（2）建议以旋转的角度看问题，以全等的方法添加辅助线．‎ B′‎ F E G D C B A ‎2．关于教学要求 图形变换是中考的中点和难点，很难一次到位．这个学段是初次接触旋转变换的思想，不是所有学生都能完全理解和熟练使用，要充分体现螺旋式上升的理念，根据不同学生的接受能力，分层逐步落实．‎ ‎3．08年一模分析 强化变换意识：分散变集中，复杂变简单，一般变特殊．‎ 例1．如图（1）将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使点B落在直角梯形AECD的中位线FG上，若AB=，‎ 则AE的长为（ ）．‎ A． B．3‎ C． 2 D．‎ 例2．如图，将边长为1的正方形沿轴正方向连续翻转2008次，点依次落在点 的位置，则的横坐标　　　　　．‎ 例3．如图，在由边长为的小正方形组成的方格纸中，有两个全等的三角形，即和．‎ ‎（1）请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换，将重合到上；‎ ‎（2）在方格纸中将经过怎样的变换后，可以与成中心对称图形？画出变换后的三角形并标出对称中心．‎ 例4．如图，将正方形ABCD以点B为旋转中心顺时针旋转120°，得到正方形A´BC´D´，DO⊥C´A´于O，若A´O=，则正方形ABCD的边长为　　　　．‎ ‎ ‎ 例4图 例5图 例5．是一个正三角形，与BC平行的直线分别交边AB、AC于D和E，M是线段BE的中点，O是的外心，猜想CM与OM的位置关系，并对你的猜想加以证明．‎ 例6．（08大兴一模）如图24-1，已知点D在AC上，和都是等腰直角三角形，点M为EC的中点．‎ ‎（1）求证：为等腰直角三角形．‎ ‎（2）将绕点A逆时针旋转，如图24-2，（1）中的“为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由．‎ ‎（3）将绕点A逆时针旋转，如图24-3，（1）中的“为等腰直角三角形”成立吗？（不用说明理由）． ‎ ‎（4）我们是否可以猜想，将绕点A任意旋转一定的角度，如图24-4，（1）中的“‎ 为等腰直角三角形”均成立？（不用说明理 图24-1 图24-2 图24-3 图24-4‎