中考数学专题复习练习：公式法

中考数学专题复习练习：公式法

典型例题一 例01 用平方差公式分解因式：‎ ‎（1）；（2）；（3）‎ 分析 平方差公式中的、可以表示一个数、一个单项式或一个多项式，在用公式前，应将要分解的多项式表示成的形式，并弄清、分别表示什么.‎ 解 （1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）‎ ‎ ‎ 典型例题二 例02 用平方差公式分解因式：‎ ‎（1）；（2）‎ 分析 以上两题看上去好像都不符合平方差公式，但仔细观察可以发现：（1）式交换二项的位置，（2）式将提出，使括号内化为整系数多项式后，均可以用平方差公式分解因式.‎ 解 （1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （2）‎ 说明 因式分解的结果中，每个多项式因式的第一项的符号一般不能为负，若是负应将符号为正的项写在第一项，若各项都为负，则提出负号放在结果的前面，如应为，应为.‎ 典型例题三 例03 分解因式：‎ ‎（1）；（2）.‎ 分析 将公式法与提公因式法有机结合起来，先提公因式，再运用公式.‎ 解 （1）‎ ‎（继续分解）‎ ‎（2）‎ 典型例题四 例04 判断下列各式能否用完全平方公式分解因式，为什么？‎ ‎（1）； （2）；‎ ‎（3）； （4）.‎ 分析 可否用公式，就要看所给多项式是否具备公式的特点.此题，即看是否是三项式，又看是否可凑成的形式，可以按“先两头，后中间”的步骤进行，即先看首末两项是否同号且能写成、的形式，再看中间项能否写成的形式.‎ 解 （1），，，‎ ‎ 能用完全平方公式分解 ‎（2），，，‎ ‎ 不能用完全平方公式分解 ‎（3），，但与符号不同，‎ ‎ 不能用完全平方公式分解因式 ‎（4）先将多项式整理为：‎ ‎ ，，，‎ ‎ 能用完全平方公式分解因式.‎ 典型例题五 例05 把下列各式分解因式：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③；‎ ‎④.‎ ‎ 分析 ①式需先提负号；②式中的多项式、相当于公式中的、；④式需先提取公因式再运用公式.‎ ‎ 解法 ①‎ ‎（提取负号）‎ ‎ ②‎ ‎ （交换形式，保持项的一致，注意符号）‎ ‎ （添加括号，避免出错）‎ ‎ （能合并同类项的要合并）‎ ‎ ‎ ‎ ③‎ ‎ ‎ ‎ （能分解的要继续分解）‎ ‎ ④‎ ‎ （先提公因式）‎ ‎ （分解要彻底）‎ ‎ 说明 解题前需先分析多项式特点，针对特点选择公式.‎ ‎ 另外在因式分解时还应注意：⑴分解因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提取，再进一步分解.‎ ‎ ⑵分解因式必须进行彻底，如④式，提公因式后，再运用完全平方公式分解，直至每个因式都不能再分解为止.‎ 典型例题六 例06 分解因式：‎ ‎ （1）；（2）；‎ ‎ （3）；‎ ‎ （4）.‎ ‎ 分析 从表面看，上面四个多项式都不能直接套公式，但可以根据题目结构特点，把每一个多项式整理成公式原型的形式，再观察、分别相当于题目中的哪些量，从而可以顺利套用公式.‎ ‎ 解 （1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎ （把看作，把1看作，仍要继续分解，不可忽略）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 典型例题七 例07 若是完全平方式，求的值.‎ ‎ 分析 根据完全平方公式求待定系数 ‎ 解 ‎ 此多项式是完全平方式，‎ ‎，‎ 当时，；‎ 当时，.‎ ‎ 说明 熟练公式中的、两量便可自如求解.‎ 典型例题八 例08 已知，求的值.‎ ‎ 分析 将所求的代数式变形，使之成为的表达式，然后整体代入求值.‎ ‎ 解 ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 原式 典型例题九 例09 已知，，求的值.‎ 分析 这类问题一般不适合通过解方程组求出、的值再代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解，使之转化为关于与的式子，再整体代入求值.‎ 解 ，，‎ ‎ ‎ ‎.‎ 说明 通过因式分解实现转化.‎ 典型例题十 例10 证明：四个连续自然数的积加1，一定是一个完全平方数.‎ ‎ 分析 可用字母表示出四个连续自然数，通过因式分解说明结果是完全平方数.‎ ‎ 证明 设这四个自然数分别为，，，‎ 则 是整数，‎ 也是整数.‎ 四个连续自然数加1，一定是完全平方数.‎ 典型例题十二 例12 把下列各式分解因式：‎ ‎ （1）； （2）‎ 解：（1）先将平方项的系数转化为正数，于是有 ‎ ‎ ‎；‎ ‎ （2）先提出公因式6，于是有 说明：（1）在使用完全平方公式时，要保证平方项前的符号为正，当平方项前的符号是负号时，先提出负号. ‎ ‎ （2）多项式若有公因式，则先考虑提取，使多项式简化，以便观察分解策略. ‎ 典型例题十三 例13 已知和满足方程组，求代数式的值。‎ 解法1：解方程得 将，代入得 ‎ ‎ 解法2：‎ 由②得 ……③‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ 说明：解法一是最基本的方法，容易想到，但计算较繁。解法二利用了分解因式的知识，比较巧妙，但不容易想到。所以，要想解题又快又准，必须熟练掌握所学过的知识，提高综合运用知识的能力。‎ 典型例题十一 例11 把下列各式分解因式：‎ ‎ （1）； （2）‎ ‎ （3）‎ 解：（1）由于16可以看作，于是有 ‎ ；‎ ‎ （2）由幂的乘方公式，可以看作，可以看作，于是有 ‎ ；‎ ‎ （3）由积的乘方公式，可以看作，于是有 ‎ ‎ 说明（1）多项式具有如下特征时，可以运用完全平方公式作因式分解：①可以看成是关于某个字母的二次三项式；②其中有两项可以分别看作是两数的平方形式，且符号相同；③其余的一项恰是这两数乘积的2倍，或这两数乘积2倍的相反数. 而结果是“和”的平方还是“差”的平方，取决于它的符号与平方项前的符号是否相同. ‎ ‎ （2）在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用. ‎ 选择题 ‎1．选择题 ‎（1）下列各式分解因式正确的是（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D） ‎ ‎（2）下列各式分解因式错误的是（）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（3）下列各式为完全平方式的是（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（4）下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D） ‎ ‎（5）下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D） ‎ ‎（6）下面因式分解正确的是（）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D） ‎ ‎（7）若等式成立，则的值是（）‎ ‎（A） （B）（C） （D） ‎ ‎（8）若是完全平方式，则的值是（）‎ ‎（A）（B）（C）（D） ‎ ‎2．选择题 ‎（1）下列各式是完全平方式的是（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（2）将多项式分解因式得（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D） ‎ ‎（3）下列多项式能用公式法分解因式的是（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D） ‎ ‎（4）因式分解得（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D） ‎ ‎（5）下列多项式分解因式结果是的是（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D） ‎ ‎（6）若多项式可分解因式得，则、的值为（）‎ ‎（A）， （B），‎ ‎（C）， （D），‎ ‎（7）若是一个完全平方式，则的值是（）‎ ‎（A）12 （B） （C） （D） ‎ ‎（8）多项式①，②，③，④，⑤中不是完全平方的有（）‎ ‎（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个 ‎3．选择题 ‎（1）将分解因式得（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（2）下列因式分解正确的是（）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（3）下列因式分解不正确的是（）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D） ‎ ‎（4）下列因式分解中，①；②；③；④.正确的个数是（）‎ ‎（A）0 （B）1 （C）2 （D）3‎ ‎（5）下列因式分解错误的是（）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（6）若是一个完全平方式，则值为（）‎ ‎（A）25 （B） （C） （D） 或 ‎4．选择题 ‎（1）两个连续奇数的平方差一定是（）‎ ‎（A）16的倍数 （B）8的倍数 ‎（C）12的倍数 （D）4的倍数 ‎（2）若，则、的值为（）‎ ‎（A）， （B），‎ ‎（C）， （D）‎ ‎（3）不论、为任何数，的值总是（）‎ ‎（A）负数 （B）0 （C）正数 （D）非负数 参考答案：‎ ‎1．（1）C（2）D（3）C（4）B（5）B（6）C（7）C（8）B ‎2．（1）C（2）B（3）D（4）A（5）D（6）C（7）D（8）B ‎3．（1）A（2）D（3）B（4）C（5）C（6）D ‎4．（1）B（2）C（3）C 填空题 ‎1．填空题 ‎（1）________‎ ‎（2）（_______）‎ ‎（3）_______‎ ‎（4）_______‎ ‎（5）‎ ‎（6）（________）‎ ‎（7）因式分解：__________‎ ‎（8）‎ ‎（9）因式分解：‎ ‎（10）（_______）（________）‎ ‎2．填空题 ‎（1），‎ ‎（2）‎ ‎（3）因式分解：‎ ‎（4）若是完全平方式，则 ‎（5）多项式与的公因式为__________‎ ‎（6）‎ ‎（7）‎ ‎（8）‎ ‎（9）‎ ‎（10）‎ ‎3．填空题 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）因式分解：‎ ‎（5）计算：‎ ‎（6）若是一个完全平方式，则 ‎（7）当，时，‎ ‎（8）若，当，，，时，=_________‎ ‎（9）已知是完全平方式，则值为________ ‎ ‎（10）已知，，则=_______‎ ‎4．填空题 ‎（1）已知，且，则=___________‎ ‎（2）当时，=_________‎ ‎（3） ‎ ‎（4）因式分解：=_________‎ 参考答案：‎ ‎1．（1）（2）（3）（4）9（5）（6）（7）（8）（9）（10），‎ ‎2．（1），（2）（3）（4）16（5）（6）（7）（8），（9），（10）‎ ‎3．（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）50（8）7850（9）7或（10）3‎ ‎4．（1）（2）（3），（）（4）‎ 能力1‎ ‎1. 选择题 ‎(1)下列因式分解正确的有（ ）个 ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎(2)是多项式（ ）分解因式的结果 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎(3)分解因式的结果是（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（4）若，则的值是（ ）‎ ‎（A）6 （B）4 （C）3 （D）2‎ ‎（5）把多项式分解因式的结果是（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎2. 将下列各式分解因式：‎ ‎（1） （2）‎ 答案：‎ ‎1. 选择题：（1）B （2）D （3）D （4）B （5）D.‎ ‎2. ‎ 一、选择题 ‎1．下列各式中能用完全平方公式分解因式的有（ ）‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎（6）‎ ‎（A）2 （B）3 （C）4 （D）5‎ ‎2．若是一个完全平方式，则等于（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎3．若可以分解为，则的值是（ ）‎ ‎（A）－10 （B）10 （C）－20 （D）20‎ 二、解答题 ‎1．将下列各式分解因式：‎ ‎（1） （2）‎ ‎2．将下列因式分解因式：‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）（为正整数）‎ 答案：‎ 一、选择题：1.A 2. D 3. C 二、1. （1） （2）‎ ‎2. （1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ 解：‎ 一、计算 ‎1. 2. ‎ 二、已知是方程组的解 求多项式的值.‎ 答案:‎ 一、1. 148000 2. ‎ 二、 10‎ 解：由题可知 ‎ ∴ ‎ ‎∴‎ 分解因式：= .‎ 答案: .‎ 解答题 ‎1．用平方差公式因式分解 ‎（1）（2）‎ ‎（3）（4）‎ ‎（5）（6）‎ ‎（7）（8）‎ ‎（9）（10）‎ ‎（11）（12）‎ 参考答案：（1）（2）（3）（4）‎ ‎（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）‎ 解答题 ‎1．计算 ‎（1）（2）‎ ‎（3）（4）‎ ‎2．求的值 ‎（1）（2）‎ ‎（3）（4）‎ ‎3．求的值 ‎（1）（2）‎ ‎（3）（4）‎ ‎4．求值 ‎（1）已知，，求的值；‎ ‎（2）已知，求的值.‎ ‎5．解方程：‎ ‎6．求值 已知，求的值 ‎7．证明题 ‎（1）若为整数，证明能被8整除 ‎（2）若为整数，证明能被6整除；‎ ‎（3）已知，，满足，求证：‎ ‎8．求值 已知，求、、的值 参考答案：‎ ‎1．（1）（2）117000（3）100（4）81‎ ‎2．（1）（2）（3）（4）6或 ‎3．（1）1，（2）7，（3）（4）‎ ‎4． （1）（2）2[提示：先由已知求出，再把所求化为]‎ ‎5．‎ ‎6．[提示：将已知等式化为]‎ ‎7．（1）提示：‎ ‎（2）提示：‎ ‎（3）提示：已知等式化为 ‎8．，，[提示：将已知等式化为由非负数和的性质得]‎ 解答题 ‎1．因式分解 ‎（1）（2）‎ ‎（3）（4）‎ ‎（5）（6）‎ ‎（7）（8）‎ ‎（9）‎ ‎2．因式分解 ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5） （6）‎ ‎（7） （8）‎ ‎（9） （10）‎ ‎3．因式分解 ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5）‎ ‎（6） （7）‎ ‎（8） （9）‎ ‎（10）‎ 参考答案 ‎1．（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）‎ ‎2．（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎（6）‎ ‎（7）‎ ‎（8）‎ ‎（9）‎ ‎（10）‎ ‎3．（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎（6）‎ ‎（7）‎ ‎（8）‎ ‎（9）‎ ‎（10）‎