二次函数y=ax2+bx+c的图象1课时

二次函数y=ax2+bx+c的图象1课时

‎2.4二次函数y＝ax2+bx+c的图象 ‎ 本节课在二次函数y＝ax2和y＝ax2+c的图象的基础上，进一步研究y＝a(x-h)2和y＝a(x-h)2+k的图象，并探索它们之间的关系和各自的性质．旨在全面掌握所有二次函数的图象和性质的变化情况．同时对二次函数的研究，经历了从简单到复杂，从特殊到一般的过程：先是从y＝x2开始，然后是y＝ax2，y＝ax2+c，最后是y＝a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c．符合学生的认知特点，体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性．‎ ‎ 在教学中，主要是让学生自己动手画图象，通过自己的观察、交流、对比、概括和反思 等探索活动，使学生达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．并能利用它的性质解决问题．‎ ‎2.4二次函数y＝ax2+bx+c的图象（一）‎ 教学目标 ‎ (一)教学知识点 ‎ 1．能够作出函数y=a(x-h)2和y＝a(x-h)2+k的图象，并能理解它与y＝ax2的图象的关系．理解a，h，k对二次函数图象的影响．‎ ‎ 2．能够正确说出y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．‎ ‎ (二)能力训练要求 ‎ 1．通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．‎ ‎ 2．经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力．‎ ‎ (三)情感与价值观要求 ‎ 1．经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．‎ ‎ 2．让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．‎ 教学重点 ‎ 1．经历探索二次函数y＝ax2+bx+c的图象的作法和性质的过程．‎ ‎ 2．能够作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并能理解它与y＝ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响．‎ ‎ 3．能够正确说出y＝a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．‎ 教学难点 7‎ ‎ 能够作出y＝a(x-h)2和y＝a(x-h)2+k的图象，并能够理解它与y＝ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响．‎ 教学方法 探索——比较——总结法．‎ 教具准备 ‎ 投影片四张 ‎ 第一张：(记作§2．4．1 A)‎ ‎ 第二张：(记作§2．4．1 B)‎ ‎ 第三张：(记作§2．4．1 C)‎ ‎ 第四张：(记作§2．4．1 D)‎ 教学过程 ‎ Ⅰ．创设问题情境、引入新课 ‎ [师]我们已学习过两种类型的二次函数，即y=ax2与y=ax2+c，知道它们都是轴对称图形，对称轴都是y轴，有最大值或最小值．顶点都是原点．还知道y＝ax2+c的图象是函数y=ax2的图象经过上下移动得到的，那么y=ax2的图象能否左右移动呢?它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质呢?本节课我们就来研究有关问题．‎ ‎ Ⅱ．新课讲解 ‎ 一、比较函数y＝3x2与y＝3(X-1)2的图象的性质．‎ ‎ 投影片：(§2．4 A)‎ ‎(1)完成下表，并比较3x2和3(x-1)2的值，‎ 它们之间有什么关系?‎ X ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎3x2‎ ‎3(x-1)2‎ ‎(2)在下图中作出二次函数y＝3(x-1)2的图象．你是怎样作的?‎ 7‎ ‎(3)函数y＝3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?‎ ‎(4)x取哪些值时，函数y＝3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时，函数y＝3(x-1)2的值随x值的增大而减小?‎ ‎ [师]请大家先自己填表，画图象，思考每一个问题，然后互相讨论，总结．‎ ‎ [生](1)第二行从左到右依次填：27．12，3，0，3，12，27，48；第三行从左到右依次填48，27，12，3，0，3，12，27．‎ ‎ (2)用描点法作出y＝3(x-1)2的图象，如上图．‎ ‎ (3)二次函数)y＝3(x-1)2的图象与y=3x2的图象形状相同，开口方向也相同，但对称轴和顶点坐标不同，y＝3(x-1)2的图象的对称轴是直线x=1，顶点坐标是(1，0)．‎ ‎ (4)当x>1时，函数y＝3(x-1)2的值随x值的增大而增大，x<1时，y＝3(x-1)2的值随x值的增大而减小．‎ ‎ [师]能否用移动的观点说明函数y=3x2与y=3(x-1)2的图象之间的关系呢?‎ ‎ [生]y=3(x-1)2的图象可以看成是函数)y＝3x2的图象整体向右平移得到的.‎ ‎ [师]能像上节课那样比较它们图象的性质吗?‎ ‎ [生]相同点：‎ ‎ a.图象都中抛物线，且形状相同，开口方向相同．‎ ‎ b. 都是轴对称图形．‎ ‎ c．都有最小值，最小值都为0．‎ ‎ d．在对称轴左侧，y都随x的增大而减小．在对称轴右侧，y都随x的增大而增大．‎ ‎ 不同点：‎ ‎ a．对称轴不同,y＝3x2的对称轴是y轴y＝3(x-1)2的对称轴是x＝1．‎ 7‎ ‎ b. 它们的位置不问．‎ ‎ c. 它们的顶点坐标不同．y＝3x2的顶点坐标为(0，0),y＝3(x-1)2的顶点坐标为(1，0)，‎ ‎ 联系：‎ ‎ 把函数y=3x2的图象向右移动一个单位，则得到函数y＝3(x-1)2的图像．‎ ‎ 二、做一做 ‎ 投影片：(§2．4．1 B)‎ ‎ 在同一直角坐标系中作出函数y＝3(x-1)2和y＝3(x-1)2+2的图象．并比较它们图象的性质．‎ ‎[生]图象如下 ‎ 它们的图象的性质比较如下：‎ ‎ 相同点：‎ ‎ a．图象都是抛物线，且形状相同，开口方向相同．‎ ‎ b. 都足轴对称图形，对称轴都为x＝1．‎ ‎ c. 在对称轴左侧，y都随x的增大而减小，在对称轴右侧，y都随x的增大而增大．‎ ‎ 不同点：‎ ‎ a．它们的顶点不同，最值也不同.y＝3(x-1)2的顶点坐标为(1．0)，最小值为0．y＝3(x-1)2+2的顶点坐标为(1，2)，最小值为2．‎ ‎ b. 它们的位置不同．‎ ‎ 联系：‎ ‎ 把函数y=3(x-1)2的图象向上平移2个单位，就得到了函数y＝3(x-1)2+2的图象．‎ ‎ 三、总结函数y=3x2，y=3(x-1)2，y＝3(x-1)2+2的图象之间的关系．‎ ‎ [师]通过上画的讨论，大家能够总结出这三种函数图象之间的关系吗?‎ ‎ [生]可以．‎ 7‎ ‎ 二次函数y＝3x2，y=3(x-1)2，y=3(x-1)2+2的图象都是抛物线．并且形状相同，开口方向相同，只是位置不同，顶点不同，对称轴不同，将函数y＝3x2的图象向右平移1个单位，就得到函数y=3(x-1)2的图象；再向上平移2个单位，就得到函数y=3(x-1)2+2的图象．‎ ‎ [师]大家还记得y＝3x2与y＝3x2-1的图象之间的关系吗?‎ ‎ [生]记得，把函数y=3x2向下平移1个平位，就得到函数y＝3x2-1的图象．‎ ‎ [师]你能系统总结一下吗?‎ ‎ [生]将函数y＝3x2的图象向下移动1个单位，就得到了函数y=3x2-1的图象，向上移动1个单位，就得到函数y＝3x2+1的图象；将y＝3x2的图象向右平移动1个单位，就得到函数y＝3(x-1)2的图象：向左移动1个单位，就得到函数y=3(x+1)2的图象；由函数y＝3x2向右平移1个单位、再向上平移2个单位，就得到函数y＝3(x-1)2+2的图象．‎ ‎ [师]下面我们就一般形式来进行总结．‎ ‎ 投影片：(§2．4．1 C)‎ 一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数为y=ax2+c，y＝a(x-h)2，y=a(x-h)2+k的图象．‎ ‎(1)将y＝ax2的图象上下移动便可得到函数y=ax2+c的图象，当c>0时，向上移动，当c<0时，向下移动．‎ ‎(2)将函数y＝ax2的图象左右移动便可得到函数y=a(x-h)2的图象，当h>0时，向右移动，当h<0时，向左移动．‎ ‎(3)将函数y＝ax2的图象既上下移，又左右移，便可得到函数y＝a(x-h)+k的图象．‎ 因此，这些函数的图象都是一条抛物线，它们的开口方向，对称轴和顶点坐标与a，h，k的值有关．‎ 下面大家经过讨论之后，填写下表：‎ y=a(x-h)2+k 开口方向 对称轴 顶点坐标 a＞0‎ a＜0‎ 四、议一议 ‎ 投影片：(§2，4．1 D)‎ ‎(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y＝3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?‎ 7‎ ‎(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?‎ ‎(3)对于二次函数y＝3(x+1)2，当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?二次函数y＝3(x+1)2+4呢?‎ ‎ [师]在不画图象的情况下，你能回答上面的问题吗?‎ ‎ [生](1)二次函数y＝3(x+1)2的图象与y＝3x2的图象形状相同，开口方向也相同，但对称轴和顶点坐标不同，y=3(x+1)2的图象的对称轴是直线x=-1，顶点坐标是(-1，0)．只要将y＝3x2的图象向左平移1个单位，就可以得到y=3(x+1)2的图象．‎ ‎ (2)二次函数y＝-3(x-2)2+4的图象与y＝-3x2的图象形状相同，只是位置不同，将函数y＝-3x2的图象向右平移2个单位，就得到y=-3(x-2)2的图象，再向上平移4个单位，就得到y=-3(x-2)2+4的图象y=-3(x-2)2+4的图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标是(2，4)．‎ ‎ (3)对于二次函数y=3(x+1)2和y＝3(x+1)2+4，它们的对称轴都是x＝-1，当x<-1时，y的值随x值的增大而减小；当x>-1时，y的值随x值的增大而增大．‎ ‎ Ⅲ．课堂练习 ‎ 随堂练习 ‎ Ⅳ．课时小结 ‎ 本节课进一步探究了函数y=3x2与y＝3(x-1)2，y＝3(x-1)2+2的图象有什么关系，对称轴和顶点坐标分别是什么这些问题．并作了归纳总结．还能利用这个结果对其他的函数图象进行讨论．‎ ‎ Ⅴ．课后作业 ‎ 习题2．4‎ ‎ Ⅵ．活动与探究 ‎ 二次函数y=(x+2)2-1与y= (x-1)2+2的图象是由函数y＝x2的图象怎样移动得到的?它们之间是通过怎样移动得到的?‎ ‎ 解：y＝ (x+2)2-1的图象是由y=x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的，y＝ (x-1)2+2的图象是由y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的．‎ ‎ y＝ (x+2)2-1的图象向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到y= (x-1)2‎ 7‎ ‎+2的图象．‎ ‎ y＝ (x-1)2+2的图象向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到y＝ (x+2)2-1的图象．‎ 板书设计 ‎§4．2．1 二次函数y＝ax2+bx+c的图象(一) 一、1. 比较函数y＝3x2与y＝3(x-1)2的 ‎ 图象和性质(投影片§2．4．1 A)‎ ‎ 2．做一做(投影片§2．4．1 B)‎ ‎ 3．总结函数y＝3x2，y=3(x-1)2y= 3(x-1)2+2的图象之间的关系(投影片§2．4．1 C)‎ ‎ 4．议一议(投影片§2．4．1 D)‎ 二、课堂练习 ‎ 1．随堂练习 ‎ 2．补充练习 三、课时小结 四、课后作业 备课资料 ‎ 参考练习 ‎ 在同一直角坐标系内作出函数y=-x2,y=-x2-1,y=-(x+1)2-1的图象，并讨论它们的性质与位置关系．‎ ‎ 解：图象略 ‎ 它们都是抛物线，且开口方向都向下；对称轴分别为y轴y轴，直线x=-1；顶点坐标分别为(0，0)，(0，-1)，(-1，-1)．‎ y=-x2的图象向下移动1个单位得到y=-x2-1 的图象；y=-x2的图象向左移动1个单位，向下移动1个单位，得到y＝-(x+1)2-1的图象． ‎ 7‎