中考数学专题复习练习：直角三角形的判定

中考数学专题复习练习：直角三角形的判定

直角三角形全等的判定 例1：求证：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。‎ 分析：首先要分清题设和结论，然后按要求画出图形，根据题意写出、已知求证后，再写出证明过程。‎ 已知：如图1，在Rt△ABC、Rt△中，∠ACB=∠=Rt∠，BC=，‎ D⊥AB于D，⊥于，D=‎ A B C D 图1‎ 求证：Rt△ABC≌Rt△‎ 证明：在Rt△CDB和Rt△中 ‎∵‎ ‎∴Rt△CDB≌Rt△（HL）‎ 由此得∠B=∠‎ 在Rt△ABC与Rt△△中 ‎∵‎ ‎∴Rt△ABD≌△（ASA）‎ 说明：文字证明题的书写格式要标准。‎ A B C D E F 例2 ：如图2，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F.‎ 求证：BE＝CF 分析： BE和CF分别在△BDE和△CDF中，‎ 由条件不能直接证其全等，但可先证明 图2‎ ‎△AED≌△AFD，由此得到DE＝DF 证明：（略）‎ 说明：本题容易误认为AD⊥BC。根据图形的直观“好象相等”或“好象垂直”要避免这种错误，要把“好象”变为确定。‎ 例3：如图3，已知△ABC中，∠BAC＝，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：‎ （1） BD＝DE+CE （2） 若直线AE绕A点旋转到图4位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何，请证明；‎ （1） 若直线AE绕A点旋转到图5时（BD＞CE），其余条件不变，BD与DE、CE的关系怎样？请直接写出结果，不须证明 A C E D 图3‎ 归纳（1）、（2）、（3），请用简捷的语言表述BD、DE、CE的关系。‎D A B C E D A E B C B 图4‎ 图5‎ 分析：（1）由已知出发容易得到：BD＝AE，再分析观察AE＝AD+DE又易证AD＝EC。‎ ‎（2）猜想规律，再运用几何知识证明。‎ 解：（1）略 ‎（2）BD＝DE－CE ‎（3）BD＝DE－CE ‎（4）结论：当B、C在异侧时，BD＝DE+CE；当B、C在同侧时，BD＝DE－CE 说明：本题是阅读理解题，让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法和思想。这种题目考查学生的阅读理解能力和对所学知识的整理、概括能力。‎ 例01．已知：（如图）中，AD是BC边上的高，，，延长BE交AC于F. ‎ 求证：‎ 分析：易证，即，再考虑与有两组对应角相等，则第三个角也对应相等，即可得而 ‎∴ ‎ 问题得证. ‎ 希望同学们写出证明过程. ‎ 例02．已知：（如图），，，，F为垂足 求证：‎ 分析：证明两条线段相等，可把它们放到两个三角形中，故连结AC、AD，要证，还缺少一个条件，而由已知有，，则，故得证. ‎ 证明：连结AC、AD（请同学们证明）‎ 例03．已知：（如图），，E在BC上. 且，. ‎ 求证：‎ 证明：作的延长线于F ‎∵ ，，‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ 即 ‎ 说明 要注意体会辅助线的作法.‎ 例04．如图，已知：AB与CD相交于点O，由O画垂足为E，垂足为F，若有，. ‎ 求证：. ‎ 分析：欲证，就要证，它已具备了两个条件和. 我们只需再证即可. 那么由. 可证. ‎ 证明：（已知），‎ ‎∴ 与是直角三角形. ‎ 在和中，‎ ‎∴ （HL）‎ ‎∴（全等三角形的对应角相等）‎ ‎∴在和中，‎ ‎∴ ‎ ‎∴（全等三角形的对应边相等）‎ 说明：本题的证明过程中，应注意没有给出EF为直线这一条件. ‎ 例05．如图，已知：在中，AD是BC边上的高. ‎ 求证：. ‎ 分析：要证，只需证. ‎ 证明：AD是BC边上的高，‎ ‎∴和都是直角三角形. ‎ 在和中，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ （全等三角形的对应边相等，对应角相等）‎ 例06．如图所示，已知点A，B，C，D在同一直线上，，，点A，D分别是垂足，且，. ‎ 求证：. ‎ 分析：要证，只要，即证，考虑到，根据已知条件，可用斜边直角边公理即可证明. ‎ 证明：∵（已知），‎ ‎∴ （垂直定义）‎ 又∵‎ 而，‎ ‎∴ ‎ 在直角形EAC和直角三角形FDB中，‎ ‎∴，‎ ‎∴（全等三角形对应角相等），‎ ‎∴（内错角相等，两直线平行）‎ 在和中 ‎∴（SAS）‎ ‎∴（全等三角形的对应边相等）‎ ‎∵（已知） ∴‎ 在和中 ‎∴‎ ‎∴（全等三角形的对应边相等）‎ 例07．如图，已知，，点E在AD上，BE平分，CE平分. ‎ 求证：‎ 分析：欲证明的中AB和DC都不在同一直线上，因此应联想到作辅助线转化到同一直线上，过E作EF辅助线转化到同一直线上，过E作于F，显然能证出，即可，欲证明可证，同理证 ‎. ‎ 证明：过E作垂足为F，在和中 ‎∴（AAS）‎ ‎∴（全等三角形的对应边相等）‎ 同理可证 ‎∴ ‎ 选择题 ‎（1）使两个直角三角形全等的条件是（ ）‎ ‎（A）一个锐角对应相等 （B）两个锐角对应相等 ‎（C）一条边对应相等 （D）两条边对应相等 ‎（2）不能使两个直角三角形全等的条件是（ ）‎ ‎（A）一个锐角和斜边对应相等 （B）两个锐角对应相等 ‎（C）两条直角边对应相等 （D）斜边和一直角边对应相等 参考答案：‎ ‎（1）D （2）B 填空题 ‎（1）如图，，则_____，______，_______.‎ ‎（2）和中，AD是BC边上的高，是边上的高，若，，，则和的关系是______.‎ 参考答案 ‎1．填空题 ‎（1）ABC，CE， （2）相等.‎ 解答题 ‎1．如图，已知：，E、F是垂足，且.‎ 求证：‎ ‎2．如图，已知：在中，，D是斜边AB的中点，，过点D作，交BC于E，‎ 求证：.‎ ‎3．如图，已知：B、E、F、C在同一直线上，，E、F是垂足，，.‎ 求证：（1），（2）.‎ ‎4．如图，已知：在和中，CD，分别是高，并且，，.‎ 求证：.‎ ‎5．如图，已知：，D，E为垂足，BE，CD相交于点O，且 ‎.‎ 求证：.‎ ‎6．如图，已知：C在的内部，于D，于B，.‎ 求证：AC平分.‎ 参考答案：‎ ‎1．易证，∴，，‎ ‎∴可证，∴.‎ ‎2．易证，∴，而，‎ ‎∴可证，∴‎ ‎3．（1）∵，∴，‎ 则可证，，，∴.‎ ‎（2）易证，∴，∴.‎ ‎4．易证，∴，而，，‎ ‎∴ ∴‎ ‎5．易证，∴.而和中，，‎ ‎∴，∴.‎ ‎6．易证，∴，∴平分.‎ 直角三角形全等的判定 ‎（一）习题精选 ‎1、判断下列条件能否判断两直角三角形全等，并说明理由 （1） 一个锐角和这个锐角的对边对应相等。‎ （2） 一个锐角和这个锐角相邻的一条直角边对应相等。‎ （3） 一锐角与斜边对应相等。‎ （4） 两直角边对应相等。‎ （5） 两边对应相等。‎ （6） 两锐角对应相等。‎ （7） 一锐角和一边对应相等 ‎2、下面说法不正确的是（　　）‎ A、有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 B、有两边对应相等的两个直角三角形全等 C、有两角对应相等的两个直角三角形全等 D、有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等 A C M B 图1‎ 提示：先作出距离，利用三角形全等得到所求距离 与CM相等。‎ A B C D E F 提示：欲证BE⊥AC，则证∠AEB＝，‎ 而直接证∠AEB＝不好证，转化为证 ‎∠AFE+∠DAC＝‎ 图2‎ ‎5、如图3，已知：AD＝BC，BE⊥AC，DF⊥AC，且BE＝DF.‎ A B D C 图3‎ F E 求证：（1）△ABE≌△CDF，（2）AB∥CD 提示：（1）由已知得△ADF≌△CBE，‎ 即AF＝CE也就得到AE＝CF。‎ ‎（2）利用内错角相等两直线平行。‎ ‎6、如图4，已知：∠A＝， AB=BD，ED⊥BC于 D A B C D E 图4‎ 求证：AE＝ED 提示：找两个全等三角形，需连结BE。‎