中考数学专题复习练习：有理数的乘方

中考数学专题复习练习：有理数的乘方

‎《乘方》典型例题一 例 计算：‎ ‎（1）；（2）；（3）‎ 分析 根据乘方的意义可以直接用乘法来求出各乘方的值．‎ 解 （1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ 说明：（1）不能写成或（－3）×4，同理和也不能如此书写；（2）观察该题可以发现负数的乘方，当指数是偶数时其乘方的值为正，当指数为奇数时其乘方的值为负．由此我们在计算负数的乘方时也可以先根据这一规律来确定乘方的符号，再计算正数的乘方．‎ ‎《乘方》典型例题二 例 计算的值．‎ 分析 直接求和比较麻烦，但细观察可以发现．这就提醒我们利用乘法的交换律和结合律就比较容易求出结果了．‎ 解 ‎ 说明： 当发现一个题算起来比较麻烦时，我们就应该细观察、多动脑，尽可能找出简便的方法来．‎ ‎《乘方》典型例题三 例 选择题：‎ ‎（1）在绝对值小于100的整数中，可以写成整数平方的数共（ ）个．‎ A．18 B．19 C．10 D．9‎ ‎（2）在绝对值小于100的整数中，可以写成整数立方的数共有（ ）个．‎ A．7 B．8 C．10 D．12‎ 分析 （1）绝对值小于100的整数共199个；0，±1，±2，…，±99，由于任何整数的平方都是非负数，所以满足题意的数应在0，1，…，99中寻找．，而（不合题意），所以共计10个数．‎ ‎（2）负整数的立方仍然是负数，且可以看做与正数的立方是成对的，比如有，就有，只有03是个特殊情况，因此，在所给范围内可写成整数立方的数的个数必为奇数．‎ 解 （1）选C （2）选A．‎ 说明：（1）从课本中用黑体字给出的乘方的符号规律地可以知道，负数不可能等于某个有理数的偶数次幂，但可能是某个负数的奇数次幂．‎ ‎（2）第（2）问还可以怎样给出呢？如果把其中的“D”改为13个，你又怎样解出呢？要学会给自己提出问题，要学会经常与同学一起研究问题．‎ ‎《乘方》典型例题四 例 计算：‎ ‎（1）; ‎ ‎（2）‎ 解：（1）‎ ‎（2）‎ 说明：本题考查有理数的混合运算知识，关键在于正确确定运算顺序．‎ ‎《乘方》典型例题五 例 求的值．（n为整数）‎ 解：当n为奇数时，原式；‎ 当n为偶数时，原式 说明：本题应注意（n为整数）这一知识点．‎ ‎《乘方》典型例题六 例 如图，某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，经过5小时，这种细胞由1个能分裂成______个．经过n小时，这种细胞由1个能分裂成______个．‎ 细胞分裂示意图 分析：1个细胞30分钟后分裂成2个，1个小时后分裂成2×2个，1.5小时后分裂成2×2×2个，…如表所示．‎ 经过时间 ‎0.5小时 ‎1小时 ‎1.5小时 ‎…‎ ‎5小时 ‎…‎ n小时 分裂成细胞数 ‎2个 ‎2×2个 ‎2×2×2个 ‎…‎ ‎2×2×2×2×2×2×2×2×2×2个 ‎…‎ 个 ‎2个 个 个 ‎…‎ 个 ‎…‎ 个 答案：，．‎ ‎《乘方》典型例题七 例 （2003年南京市）一根1m长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的绳子的长度为（ ）‎ A．m B．m C．m D．m 分析：1m长的绳子，第一次剪去一半，剩下m；第二次剪去一半，剩下m，即m；第三次剪去剩下的一半，剩下m，即m；……‎ ‎；第六次剪去剩下的一半，剩下m．即m．‎ 答案：C 说明：注意总结每次剪去剩下的一半后，绳子的长与次数的关系．这类题目都是有规律的．同学们要养成勤于思考、勇于探索的良好思维品质．‎ ‎《乘方》典型例题八 例 （2003年南京市）将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到______条折痕，如果对折n次，可以得到______条折痕．‎ 分析：‎ 对折 一次 二次 三次 四次 ‎…‎ n 折痕 ‎1‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎15‎ ‎…‎ ‎2－1‎ ‎…‎ 答案：15，．‎ ‎《乘方》典型例题九 例 （2003年无锡市）读一读：‎ 式子“1＋2＋3＋4＋5＋…＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和．‎ 由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以得“1＋2＋3＋4＋5＋…＋100”表示为，这里“”是求和符号．‎ 例如：“1＋3＋5＋7＋9＋…＋99”（即从1开始的100以内连续奇数的和）可以表示为；又如“”可表示为．‎ 同学们，通过对以上材料的阅读，请回答下列问题：‎ ‎（1）2＋4＋6＋8＋10＋…＋100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和的符号可表示为__________．‎ ‎（2）计算．（填写最后的计算结果）．‎ 解：（1） （2）25‎ ‎《近似数和有效数字》典型例题一 ‎ 例 下列各个数据中，哪些是近似数？哪些是精确数？‎ ‎（1）昨天的晚报共有23版．‎ ‎（2）华华的身高为1.542米．‎ ‎（3）根据2000年第五次人口普查，中国人口为12.953 3亿．‎ ‎（4）初—·六班有56名同学．‎ ‎ 分析：所有的测量值都是近似值，因为不论多么精密的仪器，测量值的最后一位肯定是估测的，只是精密的仪器精确度会高一些．因为生老病亡随时可能发生，所以全国的人口普查数不可能是精确数；报纸的版数、班级的人数等与实际完全符合是精确数．‎ ‎ 解：（1）、（4）是精确数．（2）、（3）是近似数．‎ ‎《近似数和有效数字》典型例题二 ‎ 例 小亮的身高为1.457米，请按要求取这个数的近似数．‎ ‎（1）精确到百分位 （2）精确到十分位 （3）精确到个位 ‎ 分析：精确到百分位，就是四舍五入到百分位，只要看它后一位（即千分位）的数，若大于或等于5，刚入到百分位，若小于5，则舍去．其他类同．‎ 解：（1）精确到百分位，1.457米≈1.46米 ‎ ‎（2）精确到十分位，1.457≈1.5米 ‎ （3）精确到个位，1.457米≈1米 ‎《近似数和有效数字》典型例题三 例 中国人口有12亿，请说出它精确到哪一位，有几个有效数字．‎ 分析：12亿是经四舍五入得到的近似数，所以精确到亿位，有两个有效数字．‎ 解：精确到亿位，有两个有效数字．‎ 说明：这种有单位的数，我们要注意它的单位，所以不能误认为精确到个位．‎ ‎《近似数和有效数字》典型例题四 例 （1）用四舍五入法把0.618精确到10分位；‎ ‎（2）用四舍五入法把234000精确到万位；‎ ‎（3）用四舍五入法使0.1698保留三个有效数字．‎ 分析：精确到哪一位就从哪一位的后一位进行四会五入；保留几个有效数字就是从左数第一个非零数字开始数出几个数字，从下一个数字之后进行四舍五入．‎ 解：（1）0.618精确到10分位是0.6；‎ ‎（2）234000精确到万位是；‎ ‎（3）0.1698保留三个有效数字是0.170．‎ 说明：（2）中234000精确到万位是230000，但从230000看不出有几个有效数字，也看不出精确到哪一位，所以要用科学记数法来表示即，这就表示有两个有效数字．而（3）的结果0.170是表示有三个有效数字，不能写成0.17，因为0.17表示有两个有效数字．‎ ‎《近似数和有效数字》典型例题五 例 某学生的身高是1.796米．（1）精确到厘米；（2）保留两个有效数字．‎ 分析：（1）的单位是米，精确到厘米就是精确到这个数的百分位；‎ ‎（2）要求保留两个有效数字，就是从左第一个不为0的数开始数，由第三个数开始进行四舍五入．‎ 解：（1）1.796米精确到厘米是1.80米；（2）1.796米保留两个有效数字是1.8米．‎ 说明：（1）1.80和1.8的意义是不同的；（2）实际问题的精确到要结合实际，具体问题具体分析，如度量人的身高一般要精确到厘米．‎ ‎《近似数和有效数字》典型例题六 例 下面由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？各有哪几个有效数字？‎ ‎（1）小山的身高为1.346米；‎ ‎（2）根据某家报纸公布，50年后亚洲人口将达到52.68亿；‎ ‎（3）据国家统计局统计，2002年一季度国内生产总值为元。‎ 分析：确定有几个有效数字，关键是确定该近似数精确到的数位，（1）很容易；（2）52. 68亿，8所在数位是精确到的数位，要先化成原数再来确定精确到的数位，52.68亿＝5 268 000 000，8所在数位是百万位；，精确到亿位．‎ 解：（1）1.346精确到千分位，有4个有效数字，分别为1、3、4、6‎ ‎ （2）52.68亿精确到百万位，有4个有效数字，分别为：5、2、6、8‎ ‎ （3）精确到亿位，有5个有效数字，分别为：2、1、0、2、0‎ ‎《近似数和有效数字》典型例题七 例 2000年中国第五次人口普查资料表明，我国的人口总数为1 295 330 000人，印度人口约为9.7亿，如果要将我国的人口数与之相比较，那么我国的人口数应精确到哪一位时，比较起来的误差可能会小一些？‎ 分析：对数据进行比较时，有时可以根据需要选择各自的近似数进行比较，在选择近似数时，一般数据要四舍五入到同一数位，这样出现误差较大的可能性会小一些，印度人口精确到千万位，故中国人口应精确到千万位．‎ ‎ 解：可以将中国人口精确到千万位，得13.0亿，因为它们同时四舍五入到千万位，这样比较起来误差可能会小一些．‎ ‎《近似数和有效数字》典型例题八 例 某油库有一辆能装5.5吨的载重车，现在油库需进85吨汽油，问这辆车要运多少次？‎ ‎ 分析：解答这个问题的算式很简单，即85÷5.5＝15.4…≈15（次）．这个算式按四舍五入的原则是对的，然而它与实际情况不相符．因为15次只装运15×5.5＝82.5吨汽油，它不符合题目要求．正确答案应是16次．‎ ‎ 解：85÷5.5＝15.4…≈16（次）‎ 这辆车要运16次．‎ 说明：像这样根据实际情况，4以下的数采用“只入不舍“的方法，在有理数的计算中叫做近似数的“收尾法”。‎ ‎《科学记数法》典型例题一 例 用科学记数法表示下列各数：‎ ‎（1）10000；（2）400000； （3）157000；（4）210000．‎ 分析 就是要求把这些数写成一个大于等于且小于10的数和的乘积的形式．‎ 解 （1）10000=； （2）400000=；‎ ‎ （3）157000=；（4）210000=．‎ 说明：（1）当把一个数写成时，要注意；（2）当时，可省略不写；（3）由上题可得如下规律，整数的位数减1就是．如：210000是6位数，故．‎ ‎《科学记数法》典型例题二 例 把下列用科学记数法表示的数写成一般的数的形式．‎ ‎（1）； （2）．‎ 分析 这个题的关键是根据10的指数来确定数有多少位．‎ 解 （1）；（2）．‎ 说明： 这类题可以按前面给出的规律去做，在10的指数加1，就是原数的位数．‎ ‎《科学记数法》典型例题三 例 ‎ ‎ 2000年，我国人口总数为12亿9千5百万人，用科学记数法表示我国人口总数．‎ ‎ 解 先把我国人口总数用阿拉伯数字表示；12亿9千5百万＝1295 000 000．将小数点向左移9位得1.295，将1.295扩大，即乘，所以1295 000 000＝．‎ ‎ 说明：这里是用科学记数法表示数据．‎ ‎《科学记数法》典型例题四 例 用科学记数法表示 ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）．‎ 解 （1）虽然是一个数乘10的乘方的形式，但这不是科学记数法，因为3471大于10，我们知道的形式中，要求，所以 ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎＝‎ 说明：科学记数法表示的数进行加、减法运算时，先要把这些数中10的指数化成相同的数．‎ ‎《科学记数法》典型例题五 例 （2003年成都市）我国的国土面积约为9 596 960km，把我国国土面积用四舍五入法保留两个有效数字，并用科学计数法表示为（ ）‎ ‎ A． km B．km C．km D．km ‎ 答案：C ‎《科学记数法》典型例题六 例 （2003年山西省）一粒纽扣式电池能够污染60升水，太原市每年报废的电池有近10 000 000粒，如果废旧电池不回收，一年报废的电池所污染的水约________升（用科学记数法表示）．‎ ‎ 分析：（升）．‎ ‎ 答案：‎ 填空题 ‎1．平方等于本身的数_________________；立方等于相反数的是__________________；‎ ‎2．若，则；若，则；‎ ‎3．一个正方形边长增加20％，则它的面积增加______________；‎ ‎4．观察下列算式：，…，通过观察，用你所发现的规律写出的末位数字是__________；‎ ‎5．计算：．‎ 参考答案：‎ ‎1． 0，1 0 2．1 2 3．44％ 4． 4 5．‎ ‎《乘方》选择题 ‎1．计算：（ ）．‎ ‎（A）0 （B）－54 （C）－72 （D）－18‎ ‎2．下列式子中正确的是（ ）．‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎3．若a为有理数，使成立的n条件为（ ）．‎ ‎（A）n为偶数 （B）n为奇数 （C）n为非正整数 （D）n为非负整数 ‎4．如果a为有理数，那么下列各式一定为正数的是（ ）．‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎5．若，则下列结论正确的是（ ）．‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 参考答案：‎ ‎1． A 2．C 3．B 4．C 5．B ‎《乘方》解答题 ‎1．（1）计算题：‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎（2）已知，求代数式的值：‎ ‎①；②‎ ‎（3）已知，‎ 求．‎ ‎2．设，求 的值．‎ ‎3．已知，x为有理数，n为正整数，求代数式的值．‎ ‎4．已知；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎．‎ ‎（1）猜想填空：；‎ ‎（2）计算：．‎ 参考答案：‎ ‎1．（1）①10 ② ③－20 ④‎ ‎（2）①12 ②0或16‎ ‎（3）．‎ ‎2．1‎ ‎3．n为奇数时，0；n为偶数时，1．‎ ‎4．（1） （2）24 200．‎ ‎《近似数和有效数字》填空题 ‎1．近似数0.40精确到_______位，有_________个有效数字；‎ ‎2．资料表明，到2000年底，某省省级自然保护区的面积约为35.03万公顷，这个近似数有_________个有效数字；‎ ‎3．人体中约有个红细胞，这个近似数有_________个有效数字；‎ ‎4．天安门广场的面积约为44万平方米，这个近似数精确到__________位；‎ ‎5．通过第五次全国人口普查得知，山西省人口总数约为3 297万，用科学记数法表示是________万（保留2个有效数字）。‎ 参考答案：‎ ‎1． 百分，3 2． 4 3．2 4． 万 5．‎ ‎《近似数和有效数字》选择题 ‎1．下列数据中的近似数是（ ）‎ ‎（A）七年级1班有23人喜欢踢足球 ‎（B）小丽称得体重为37千克 ‎（C）1米等于100厘米 ‎（D）数学七年级上册教科书共有175页 ‎2．下列由四舍五入法得到的近似数，其精确度的描述正确的是（ ）‎ ‎（A）6.50精确到十分位 （B）0.003 0有1个有效数字 ‎（C）100万精确到个位 （D）0.035精确到0.001‎ ‎3．对于近似数描述错误的是（ ）‎ ‎（A）精确到0.01 （B）有3个有效数字 ‎（C）精确到十位 （D）它的原数为9 500‎ ‎4．中国的陆地面积为9 596 960平方千米，把我国陆地面积用四舍五入法保留两个有效数字，并用科学记数法表示，应为（ ）‎ ‎（A）平方千米 （B）平方千米 ‎（C）平方千米 （D）平方千米 ‎5．某城市高科技园区超级计算机中心内，被称为“神州1”的计算机运行速度为每384 000 000 000次，保留四个有效数字，用科学记数法表示每秒钟的次数为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 参考答案：‎ ‎1． B 2．D 3．A 4．C 5． B ‎《近似数和有效数字》解答题 ‎1．（1）下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？各有几个有效数字？‎ ‎①1 200 ②0.050 ③3.6亿 ④‎ ‎（2）按括号内的要求，用四舍五入对下列各数取近似数：‎ ‎①5.124 7（精确到0.01） ②1 102.5亿（精确到亿）‎ ‎③0.078 03（保留3个有效数字） ④30 000（保留2个有效数字）‎ ‎2．‎2003年6月10日三峡库区蓄水水位达到135米，整个三峡工程约有112.6万移民，其中该水位以下移民约占36.75，那么该水位以下共搬迁约多少人？（保留3个有效数字）‎ ‎3．计算机存储容量的基本单位是字节，用b表示，计算机中一般用kb（千字节）或Mb（兆字节）或Gb（吉字节）作为存储容量的计量单位，它们之间的关系为．一种新款电脑的硬盘存储容量为20Gb，它相当于多少kb？（结果用科学记数法表示，并保留3个有效数字．）‎ ‎4．一个圆锥形粮堆，底面直径为10米，高为3米，如果每立方米粮重750千克，求这个粮堆有粮食多少千克？（取3.14，结果保留2个有效数字．）‎ ‎5．小亮与小宇在讨论问题．‎ 小亮：“如果你把7 498精确到千位，你就会得到7 000．”‎ 小宇：“不，我有另外一种解答方法，可以得到不同的答案．首先，将7 498精确到百位，得到7 500，接着，再把7 500精确到千位，就得8 000．”‎ 小亮：……‎ 你怎样评价小亮和小宇的说法？‎ 参考答案 ‎1．（1）①个位，4 ②千分位，2 ③千万位，2 ④百位，4‎ ‎（2）①5.12 ②1103 ③0.078 0 ④‎ ‎2．‎ ‎3．‎ ‎4．‎ ‎5．小亮的说法正确．当我们对某个数按要求取舍时，只能取舍一次．‎ ‎《科学记数法》填空题 ‎1．我国最长的河流长江全长约为6 300千米，用科学记数法表示为_________千米；‎ ‎2．据国家统计局公布，去年我国增加就业人数7 510 000人，将这个数用科学记数法表示为_____________人；‎ ‎3．兴世瞩目的三峡工程预计总投资1 800亿元人民币，用科学记数法表示为__________亿元人民币．‎ ‎4．天文学里常用“光年”作为距离单位．规定1“光年”为光在一年内传播的距离，大约等于94 600亿千米，用科学记数法可表示为__________千米；‎ ‎5．一粒纽扣式电池能够污染60升水，某城市每年报废的电池有近10 000 000粒，如果不回收，一年报废的电池所污染的水约有________升（用科学记数法表示）．‎ 参考答案：‎ ‎1． 2． 3． 4． 5．‎ ‎《科学记数法》选择题 ‎1．下列用科学记数法表示的数，正确的是（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎2．下列计算结果中错误的是（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎3．2002年我国发现首个世界级大气田，储量达6 000亿立方米，6 000亿立方米用科学记数法表示为（ ）‎ ‎（A）亿立方米 （B）亿立方米 ‎（C）亿立方米 （D）亿立方米 ‎4．地球上陆地的面积约为148 000 000平方千米，用科学记数法表示为（ ）‎ ‎（A）平方千米 （B）平方千米 ‎（C）平方千米 （D）平方千米 ‎5．一种电子计算机每秒可进行计算，用科学记数法表示它8分可进行计算（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 参考答案：‎ ‎1． C 2． A 3．B 4．C 5．D ‎《科学记数法》解答题 ‎1．（1）用科学记数法表示下列各数：‎ ‎3 240，50 600， 468 000，－67 900 000．‎ ‎（2）下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？‎ ‎．‎ ‎2．实施西部大开发战略是党中央面向21世纪的重大决策，西部地区占我国陆地面积的，我国陆地面积约为960万平方千米，用科学记数法表示我国西部地区面积．‎ ‎3．在1：50 000 000的地图上量得两地的距离是1.5cm，试用科学记数法表示这两地的实际距离（单位：m）．‎ ‎4．我们已知……观察这些式子左边小数的位数与右边10的指数有什么关系？‎ 参考答案 ‎ 1．（1）‎ ‎（2）300 000，6 200，80 050，－24 900 000．‎ ‎2．平方千米．‎ ‎3．m．‎ ‎4．小数的位数与10的指数的绝对值相等．‎