中考数学专题复习练习:分组分解法

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中考数学专题复习练习:分组分解法

典型例题一 例01 选择题:对运用分组分解法分解因式,分组正确的是()‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ 分析 本组题目用来判断分组是否适当.(A)的两组之间没有公因式可以提取,因而(A)不正确;(B)的两组,每一组第一次就没有公因式可提,故(B)不正确;(D)中两组也无公因式可提,故(D)不正确.‎ ‎(C)中第一组可提取公因式2,剩下因式;第二组可提取,剩下因式,这样组间可提公因式,故(C)正确.‎ 典型例题二 例02 用分组分解法分解因式:‎ ‎(1);(2).‎ 分析 本题所给多项式为四项多项式,属于分组分解法的基本题型,通过分组后提公因式或分组后运用公式可以达到分解的目的.‎ 解 ⑴‎ ‎(合理分组)‎ ‎(组内提公因式)‎ ‎(组间提公因式)‎ ‎⑵‎ ‎(注意符号)‎ ‎(组内运用公式)‎ ‎(组间运用公式)‎ 说明 分组分解法应用较为灵活,分组时要有预见性,可根据分组后“求同”——‎ 有公因式或可运用公式的原则来合理分组,达到分解的目的.‎ ‎ 另外在应用分组分解法时还应注意:①运用分组分解法时,可灵活选择分组方法,通常一个多项式分组方法不只一种,只要能达到分解法时,殊途同归.‎ ‎ ②分组时要添加带“-”的括号时,各项要注意改变符号,如⑵的第一步.‎ 典型例题三 例03 分解因式:‎ 分析 本题按字母的降幂排列整齐,且没有缺项,系数分别为,,,.系数比相等的有或,因而可分组为、或、. ‎ 解法一 ‎ ‎(学会分组的技巧)‎ 解法二 ‎ 说明 根据“对应系数成比例”的原则合理分组,可谓分组的一大技巧!‎ 典型例题四 例04 分解因式:‎ 分析 本例为四项多项式,可考虑用分组分解法来分解.见前例,可用“系数成比例”的规律来达到合理分组的目的.‎ 解法一 ‎ 解法二 ‎ 说明 本例属于灵活选择分组方法来进行因式分解的应用题,对于四项式,并不是只要所分组的项数相等,便可完成因式分解.要使分解成功,需考虑到分组后能否继续分解.本小题利用“对应系数成比例”的规律进行巧妙分组,可谓思维的独到之处,这样避免了盲目性,提高了分解的速度.‎ 典型例题五 例05 把下列各式分解因式:‎ ‎(1);‎ ‎(2);‎ ‎(3).‎ 分析 此组题项数较多,考虑用分组法来分解.‎ 解法 (1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ 说明 对于项数较多的多项式合理分组时,以“交叉项”为突破口,寻找“相应的平方项”进行分组,这使分组有了一定的针对性,省时提速.‎ 如⑴中,“交叉项”为,相应的平方项为、;⑵中,“交叉项”为,相应的平方项为、.‎ 典型例题六 例06 分解因式:‎ ‎(1);(2).‎ 分析 本题两例属于型的二次三项式,可用规律公式来加以分解.‎ 解 (1),,‎ ‎(2),,‎ ‎.‎ 说明 抓住符号变化的规律,直接运用规律.‎ 典型例题七 例07 分解因式:‎ ‎(1);‎ ‎(2).‎ 分析 对(1),利用整体思想,将看作一个字母,则运用型分解;对(2),将其看作关于的二次三项式,则一次项系数为,常数项为,仍可用型的二次三项式的规律公式达到分解的目的.‎ 解 (1)‎ ‎(2),,‎ ‎.‎ 典型例题八 例08 分解因式:‎ ‎ ⑴;‎ ‎⑵;‎ ‎⑶;‎ ‎⑷.‎ 分析 本组题有较强的综合性,且每小题均超过三项,因而可考虑通过分组来分解.‎ 解 ⑴法一:‎ ‎(可继续分解,方法很简单:,对于方法类似,可以自己探索)‎ 法二:‎ 法三:‎ ‎⑵‎ ‎(看作型式子分解)‎ ‎⑶‎ ‎⑷‎ 说明 ⑴中,虽然三法均达到分解目的,但从目前同学们知识范围来看,方法二较好,分组既要合理又要巧妙,使分组不仅达到分解目的,又能简化分解过程,降低思维难度.‎ ‎⑵式虽超过四项,但通过分组仍可巧妙分解,只是分组后不是通常的提公因式或运用公式,而是利用了型二次三项式的因式分解.将看做关于的二次三项式,.‎ ‎⑶式表面看无法分解,既找不到公因式,又不符合公式特点,对待此类题目,应采用“先破后立”的方式来解决.即先做多项式乘法打破原式结构,然后寻找合适的方法.‎ ‎⑷式项数多,但仔细观察,项与项之间有着内在联系,可通过巧妙分组以求突破.‎ 但应注意:①不可混淆因式分解与整式乘法的意义.如⑶小题中做乘法的目的是为了分解因式,不可在分解中,半路再返回做乘法.②善于将外在形式复杂的题目看做熟悉类型,如⑵小题中.‎ 典型例题九 例09 分解因式:‎ ‎(1);(2)‎ 分析 本组两个小题既无公因式可提又不符合公式特点,原题本身给出的分组形式无法继续进行,达到分解的目的,对此类型题,可采用先去括号,再重新分组来进行因式分解.‎ 解 ⑴‎ ‎(乘法运算,去括号)‎ ‎(重新分组)‎ ‎⑵‎ ‎(乘法运算去括号)‎ ‎(重新分组)‎ 说明 “先破后立,不破不立”.思维的独创性使表面看来无法分解的多项式找到最佳的分解方式.‎ 典型例题十 例10 分解因式 分析 因式分解一般思路是:“一提、二代、三分组、其次考虑规律式(十字相乘法)” .即:首先考虑是否有公因式可提,若有公因式,先提取公因式;其次考虑可否套用公式,用公式法分解;再考虑是否可以分组分解;对形如二次三项式或准二次三项式可以考虑用“规律式”(或十字相乘法)分解.按照这样的思路,本题首应考虑用分组分解来尝试.‎ 解 ‎ 说明 当时,多项式值为0,因而是的一个因式,因此,可从“凑因子” 的角度考虑,把6拆成,使分组可行,分解成功.‎ 运用“凑因子”的技巧还可得出以下分解方法.‎ 法二:‎ 法三:‎ ‎(凑立方项)‎ 法四:‎ ‎(与凑立方项)‎ ‎(套用公式)‎ 法五:‎ ‎(拆项)‎ 法六:‎ ‎(凑平方差公式变项)‎ 法七:令则(为多项式一个因式,做变换)‎ ‎(做乘法展开)‎ ‎(还原回)‎ 说明 以上七种方法中,前六种运用了因式分解的一种常用技巧——“拆项”(或添项),这种技巧以基本方法为线索,通过凑因式、凑公式等形式达到可分组继而能分解的目的.“凑”时,需思、需悟、触发灵感.第七种运用了变换的方法,通过换元寻找突破点.‎ 本题还可以如下变形:‎ ‎ ==……‎ 典型例题十一 例11 若是完全平方式,求的值.‎ 分析 原式为完全平方式,由,即知为,展开即得值.‎ 解 是完全平方式 应为 又,‎ 故.‎ 说明 完全平方式分为完全平方和与完全平方差,确定值时不要漏掉各种情况.此题为因式分解的逆向思维类,运用来求解.‎ 典型例题十二 例12 求证:对于任意自然数,一定是10的倍数.‎ 分析 欲证是10的倍数,看原式可否化成含10的因式的积的形式.‎ 证明 ‎ 是10的倍数,‎ 一定是10的倍数.‎ 典型例题十六 例16 将分解因式 分析:此例不能直接用提公因式法或运用公式法分解因式,用分组分解法又不具备运用分组分解法的题目特点,而用型式子分解因式其二次项系数不是1,而是,故在上述都不能的情况下,想方法将看成,则这个二次三项式就可以化成,即可符合型式子,故可分解因式.‎ 解:设,则 原式=‎ ‎ 所以,.‎ 说明:今后应细心审题观察题目的特征,若能利用整体换元的思想将多项式化为型的式子即可因式分解.‎ 典型例题十三 例13 因式分解(1); (2)‎ 解:(1)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 或 ‎ ‎ ‎ ;‎ ‎ (2)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 或 ‎ ‎ ‎ ‎ 说明:(1)把有公因式的各项归为一组,并使组之间产生新的公因式,这是正确分组的关键所在。因此,分组分解因式要有预见性;‎ ‎ (2)分组的方法不唯一,而合理的选择分组方案,会使分解过程简单;‎ ‎ (3)分组时要用到添括号法则,注意在添加带有负号的括号时,括号内每项的符号都要改变;‎ ‎ (4)实际上,分组只是为实际分解创造了条件,并没有直接达到分解的目的。‎ 典型例题十四 例14 把下列各式分解因式:‎ ‎ (1); (2);‎ ‎ (3)‎ 解:(1)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ (2)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ (3)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 或 ‎ ‎ ‎ 或 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 说明:(1)要善于观察多项式中存在的公式形式,以便恰当地分组;同时还要注意统观全局,不要一看到局部中有公式形式就匆匆分组。如,‎ ‎,就会分解不下去了;‎ ‎ (2)有公因式时,“首先考虑提取公因式”是因式分解中始终不变的原则,在这里,当提取公因式后更便于观察分组情况,预测结果;‎ ‎ (3)对于一道题中的多种分组方法,要善于选择使分解过程简单的分组方法,如题中前两种分组显然优于后者。‎ 典型例题十五 例15 把下列各式分解因式 ‎(1);(2).‎ 分析(1)的二次项系数是1,常数项=,一次项系数1=,故这是一个型式子.‎ ‎(2)的二次项系数是1,常数项=,一次项系数 ,故这也是一个型式子.‎ 解:(1)因为=,并且1=,所以 ‎=.‎ ‎(2) 因为=,,所以 ‎=.‎ 说明:因式分解时常数项因数分解的一般规律:‎ ‎(1)常数项是正数时,它分解成两个同号因数,它们和一次项系数符号相同.‎ ‎(2) 常数项是负数时,它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数和一次项系数的符号相同.‎ 单元测试题(A) ‎ ‎1.填空题 ‎(1)把一个 化成 的形式叫做因式分解;‎ ‎(2)代数式,,的公因式是 ;‎ ‎(3)多项式的公因式是 ,提取公因式后所得多项式是个 项式,写成 ;‎ ‎(4)( ;‎ ‎(5) ;‎ ‎(6) ;‎ ‎(7) ;‎ ‎(8) ;‎ ‎(9)将多项式先分成可以分解因式的两组,再分解: = .‎ ‎2.选择题 ‎(1)下面的四个变形中,可以判定为因式分解的是( ).‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(2)多项式分解因式的结果是( ).‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(3)下列各式中,能用完全平方公式分解的是( ).‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(4)下列各多项式中因式分解的结果正确的是( ).‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎(5)分解时,下列分组不正确的是( ).‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(6)若是二次三项式的因式,则的值为( ).‎ ‎(A)3 (B)4 (C)2 (D)-2‎ ‎3.把下列各式分解因式 ‎(1); (2);‎ ‎(3); (4);‎ ‎(5); (6)‎ ‎(7); (8);‎ ‎(9); (10);‎ ‎(11); (12);‎ ‎(13); (14)‎ 参考答案 ‎1.填空题 ‎(1)多项式,几个因式乘积;‎ ‎(2); (3),三,; (4),4,;‎ ‎(5)36,; (6),; (7); (8);‎ ‎(9),‎ ‎2.选择题 ‎(1)D (2)C (3)B (4)C (5)C (6)D ‎3.把下列各式分解因式 ‎(1); (2);‎ ‎(3); (4);‎ ‎(5); (6);‎ ‎(7); (8);‎ ‎(9); (10);‎ ‎(11); (12);‎ ‎(13); (14).‎ 单元测试题(B)‎ ‎1.选择题 ‎(1)以下四个因式分解:‎ ‎① ②‎ ‎③; ④‎ 在有理数范围内分解结果正确的是( ).‎ ‎(A)①和② (B)④ (C)③和④ (D)①、③和④‎ ‎(2)若是个完全平方式,则的值为( ).‎ ‎(A)-5 (B)7 (C)-1 (D)7或-1‎ ‎(3)将多项式进行因式分解,正确的分组方法是( ).‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(4)下列各多项式中含有这个因式的是( ).‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(5)有一个因式是,则另一个因式是( ).‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎2.填空题 ‎(1)多项式的公因式为 ,因式分解后应写成 ;‎ ‎(2)若是个完全平方式,则 ;‎ ‎(3)若,,则的值是 ;‎ ‎(4)用公式计算: .‎ ‎3.解下列各题 ‎  已知,求、的值.‎ ‎4. 分解因式:.‎ ‎5.分解下列各因式 ‎(1); (2);‎ ‎(3); (4);‎ ‎(5); (6);‎ ‎(7); (8);‎ ‎(9); (10);‎ ‎(11); (12)‎ ‎6.求证:当表示整数时,是一个完全平方数.‎ 参考答案:‎ ‎1.选择题(1)B (2)D (3)D (4)B (5)A ‎2.填空题 ‎(1),;‎ ‎(2); (3) (4)16‎ ‎3.解下列各题 提示:,‎ ‎4.‎ ‎5.分解下列各因式 ‎(1); (2);(3);‎ ‎(4); (5); (6);‎ ‎(7); (8); (9);‎ ‎(10); (11) (12)‎ ‎6.提示:.‎ ‎ ‎ 能力1‎ ‎(1)用分组分解法分解因式:,分组的方法有( )种 ‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎(2)能分解因式且有一个因式是,则a与b的关系是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎(3)若,则A是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ 答案:‎ ‎(1)B (2)B (3)C ‎ 解:(2)从供选答案发现,答案C包括了A、B两个答案,故可将A、B分别代入验证 当时 ‎ ‎ 此时,多项式不能分解,不合题意,故答案A、C被排除 当时,‎ ‎ ‎ 此时多项式分解因式的结果符合题意,故选B。‎ 能力2‎ ‎1.将下列各式分解因式:‎ ‎(1) (2)‎ ‎(3) (4)‎ ‎2.将下列各式分解因式:‎ ‎(1) (2)‎ 答案:‎ ‎1.(1); (2);‎ ‎(3); (4).‎ ‎2. (1) ; (2)‎ 能力3‎ 将下列各式分解因式 ‎(1);(2).‎ 答案:‎ ‎(1);(2).‎ 能力4‎ ‎(1)分解因式 ‎(2)已知 求的值。‎ ‎(3)已知 求的值。‎ ‎(4)已知a、b、c为的三边,并且满足 求证:是等腰三角形。‎ 参考答案:‎ ‎(1)‎ 解:‎ 方法一:‎ 设则 原式 ‎ ‎ 方法二:‎ 原式 ‎ ‎ 方法三:‎ 原式 ‎ ‎ ‎(2)0‎ ‎(3)0‎ ‎(4)证:‎ ‎ ‎ ‎ 或或 或或 是等腰三角形 填空题 ‎1.填空题 ‎(1)将用分组分解法因式分解,可分组为__________或_________‎ ‎(2)‎ ‎(3)因式分解:‎ ‎(4)将多项式分组得________‎ ‎(5)‎ ‎(6)有公因式_______‎ ‎(7)‎ ‎(8)因式分解:‎ ‎2.填空题 ‎(1)‎ ‎(2)因式分解:‎ ‎(3)将分组为时,有公因式_________‎ ‎(4)‎ ‎(5)当时,代数式 ‎3.填空题 ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎(4)分解因式 ‎(5)若多项式分解得,则,‎ ‎(6)若成立,则值为__________‎ ‎(7)若,且,则=___________‎ ‎(8)‎ ‎(9)多项式,,的公因式为___________‎ ‎(10)已知、为整数,且,则,‎ 参考答案:‎ ‎1.(1),(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)‎ ‎2.(1)(2)(3)(4),(5)8‎ ‎3.(1).(2)(3)(4)(5), (6)或2(7)(8),(9)(10),1‎ 选择题 ‎1.选择题 ‎(1)将分组,下列不合理的是()‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(2)将分解因式,不正确的分组是()‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(3)多项式可分解为()‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(4)下列因式分解中,错误的是()‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎(5)多项式分解因式,其分组方法不恰当的是()‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D) ‎ ‎(6)多项式进行分组,其正确分法是()‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(7)把进行分组,正确的分组方法有()‎ ‎(A)1种 (B)2种 (C)3种 (D)4种 ‎(8)若有因式,则另外的因式为()‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎2.选择题 ‎(1)把分解因式得()‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(2)多项式与的公因式是()‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(3)若,则为()‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(4)将分解因式得()‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(5)若有一个因式为,则的值为()‎ ‎(A) (B)9 (C) (D)1 ‎ ‎(6)把分解因式得()‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(7)把分解因式得()‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎3.选择题 ‎(1)多项式分解因式得()‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(2)下列因式分解正确的是()‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎(3)若是二次三项式的两个因式,则值为()‎ ‎(A)8 (B) (C)2 (D)‎ ‎(4)下列多项式分解因式得的是()‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(5)下列各式能用因式分解的是()‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(6)多项式分解因式得()‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(7)若,则、的值为()‎ ‎(A), (B),‎ ‎(C), (D),‎ ‎(8)若,则值为()‎ ‎(A)3 (B) (C)10 (D)‎ 参考答案:‎ ‎1.(1)C(2)D(3)B(4)D(5)C(6)D(7)B(8)C ‎2.(1)D(2)A(3)C(4)A(5)A(6)C(7)B ‎3.(1)D(2)C(3)A(4)A(5)B(6)B(7)D(8)D 解答题 ‎1.因式分解 ‎(1) (2)‎ ‎(3) (4)‎ ‎(5) (6)‎ ‎(7) (8)‎ ‎(9) (10)‎ ‎2.因式分解 ‎(1) (2)‎ ‎(3) (4)‎ ‎(5) (6)‎ ‎(7) (8)‎ ‎(9) (10)‎ ‎3.因式分解 ‎(1) (2)‎ ‎(3) (4)‎ ‎(5) (6)‎ ‎(7) (8)‎ ‎4.因式分解 ‎(1) (2)‎ ‎(3) (4)‎ ‎(5) (6)‎ ‎(7) (8)‎ 参考答案:‎ ‎1.(1) (2)‎ ‎(3) (4)‎ ‎(5) (6)‎ ‎(7) (8)‎ ‎(9) (10)‎ ‎2.(1) (2)‎ ‎(3) (4)‎ ‎(5) (6)‎ ‎(7) (8)‎ ‎(9)‎ ‎(10)‎ ‎3.(1) (2)‎ ‎(3) (4)‎ ‎(5) (6)‎ ‎(7) (8)‎ ‎4.(1) (2)‎ ‎(3) (4)‎ ‎(5) (6)‎ ‎(7) (8)‎ 解答题 ‎1.求值 已知,求多项式的值 ‎2.求的值 ‎(1)(2)‎ ‎3.解答 已知矩形的周长为,长为,宽为,且满足,求矩形的面积 ‎4.求值 已知,求多项式的值 参考答案:‎ ‎1.0‎ ‎2.(1)2,3(2)1,‎ ‎3.[提示:由已知等式得,则]‎ ‎4.0[提示多项多变形为 ‎]‎
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