中考数学专题复习练习：分组分解法

中考数学专题复习练习：分组分解法

典型例题一 例01 选择题：对运用分组分解法分解因式，分组正确的是（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ 分析 本组题目用来判断分组是否适当.（A）的两组之间没有公因式可以提取，因而（A）不正确；（B）的两组，每一组第一次就没有公因式可提，故（B）不正确；（D）中两组也无公因式可提，故（D）不正确.‎ ‎（C）中第一组可提取公因式2，剩下因式；第二组可提取，剩下因式，这样组间可提公因式，故（C）正确.‎ 典型例题二 例02 用分组分解法分解因式：‎ ‎（1）；（2）.‎ 分析 本题所给多项式为四项多项式，属于分组分解法的基本题型，通过分组后提公因式或分组后运用公式可以达到分解的目的.‎ 解 ⑴‎ ‎（合理分组）‎ ‎（组内提公因式）‎ ‎（组间提公因式）‎ ‎⑵‎ ‎（注意符号）‎ ‎（组内运用公式）‎ ‎（组间运用公式）‎ 说明 分组分解法应用较为灵活，分组时要有预见性，可根据分组后“求同”——‎ 有公因式或可运用公式的原则来合理分组，达到分解的目的.‎ ‎ 另外在应用分组分解法时还应注意：①运用分组分解法时，可灵活选择分组方法，通常一个多项式分组方法不只一种，只要能达到分解法时，殊途同归.‎ ‎ ②分组时要添加带“－”的括号时，各项要注意改变符号，如⑵的第一步.‎ 典型例题三 例03 分解因式：‎ 分析 本题按字母的降幂排列整齐，且没有缺项，系数分别为，，，.系数比相等的有或，因而可分组为、或、. ‎ 解法一 ‎ ‎（学会分组的技巧）‎ 解法二 ‎ 说明 根据“对应系数成比例”的原则合理分组，可谓分组的一大技巧！‎ 典型例题四 例04 分解因式：‎ 分析 本例为四项多项式，可考虑用分组分解法来分解.见前例，可用“系数成比例”的规律来达到合理分组的目的.‎ 解法一 ‎ 解法二 ‎ 说明 本例属于灵活选择分组方法来进行因式分解的应用题，对于四项式，并不是只要所分组的项数相等，便可完成因式分解.要使分解成功，需考虑到分组后能否继续分解.本小题利用“对应系数成比例”的规律进行巧妙分组，可谓思维的独到之处，这样避免了盲目性，提高了分解的速度.‎ 典型例题五 例05 把下列各式分解因式：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）.‎ 分析 此组题项数较多，考虑用分组法来分解.‎ 解法 （1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ 说明 对于项数较多的多项式合理分组时，以“交叉项”为突破口，寻找“相应的平方项”进行分组，这使分组有了一定的针对性，省时提速.‎ 如⑴中，“交叉项”为，相应的平方项为、；⑵中，“交叉项”为，相应的平方项为、.‎ 典型例题六 例06 分解因式：‎ ‎（1）；（2）.‎ 分析 本题两例属于型的二次三项式，可用规律公式来加以分解.‎ 解 （1），，‎ ‎（2），，‎ ‎.‎ 说明 抓住符号变化的规律，直接运用规律.‎ 典型例题七 例07 分解因式：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ 分析 对（1），利用整体思想，将看作一个字母，则运用型分解；对（2），将其看作关于的二次三项式，则一次项系数为，常数项为，仍可用型的二次三项式的规律公式达到分解的目的.‎ 解 （1）‎ ‎（2），，‎ ‎.‎ 典型例题八 例08 分解因式：‎ ‎ ⑴；‎ ‎⑵；‎ ‎⑶；‎ ‎⑷.‎ 分析 本组题有较强的综合性，且每小题均超过三项，因而可考虑通过分组来分解.‎ 解 ⑴法一：‎ ‎（可继续分解，方法很简单：，对于方法类似，可以自己探索）‎ 法二：‎ 法三：‎ ‎⑵‎ ‎（看作型式子分解）‎ ‎⑶‎ ‎⑷‎ 说明 ⑴中，虽然三法均达到分解目的，但从目前同学们知识范围来看，方法二较好，分组既要合理又要巧妙，使分组不仅达到分解目的，又能简化分解过程，降低思维难度.‎ ‎⑵式虽超过四项，但通过分组仍可巧妙分解，只是分组后不是通常的提公因式或运用公式，而是利用了型二次三项式的因式分解.将看做关于的二次三项式，.‎ ‎⑶式表面看无法分解，既找不到公因式，又不符合公式特点，对待此类题目，应采用“先破后立”的方式来解决.即先做多项式乘法打破原式结构，然后寻找合适的方法.‎ ‎⑷式项数多，但仔细观察，项与项之间有着内在联系，可通过巧妙分组以求突破.‎ 但应注意：①不可混淆因式分解与整式乘法的意义.如⑶小题中做乘法的目的是为了分解因式，不可在分解中，半路再返回做乘法.②善于将外在形式复杂的题目看做熟悉类型，如⑵小题中.‎ 典型例题九 例09 分解因式：‎ ‎（1）；（2）‎ 分析 本组两个小题既无公因式可提又不符合公式特点，原题本身给出的分组形式无法继续进行，达到分解的目的，对此类型题，可采用先去括号，再重新分组来进行因式分解.‎ 解 ⑴‎ ‎（乘法运算，去括号）‎ ‎（重新分组）‎ ‎⑵‎ ‎（乘法运算去括号）‎ ‎（重新分组）‎ 说明 “先破后立，不破不立”.思维的独创性使表面看来无法分解的多项式找到最佳的分解方式.‎ 典型例题十 例10 分解因式 分析 因式分解一般思路是：“一提、二代、三分组、其次考虑规律式（十字相乘法）” .即：首先考虑是否有公因式可提，若有公因式，先提取公因式；其次考虑可否套用公式，用公式法分解；再考虑是否可以分组分解；对形如二次三项式或准二次三项式可以考虑用“规律式”（或十字相乘法）分解.按照这样的思路，本题首应考虑用分组分解来尝试.‎ 解 ‎ 说明 当时，多项式值为0，因而是的一个因式，因此，可从“凑因子” 的角度考虑，把6拆成，使分组可行，分解成功.‎ 运用“凑因子”的技巧还可得出以下分解方法.‎ 法二：‎ 法三：‎ ‎（凑立方项）‎ 法四：‎ ‎（与凑立方项）‎ ‎（套用公式）‎ 法五：‎ ‎（拆项）‎ 法六：‎ ‎（凑平方差公式变项）‎ 法七：令则（为多项式一个因式，做变换）‎ ‎（做乘法展开）‎ ‎（还原回）‎ 说明 以上七种方法中，前六种运用了因式分解的一种常用技巧——“拆项”（或添项），这种技巧以基本方法为线索，通过凑因式、凑公式等形式达到可分组继而能分解的目的.“凑”时，需思、需悟、触发灵感.第七种运用了变换的方法，通过换元寻找突破点.‎ 本题还可以如下变形：‎ ‎ ＝＝……‎ 典型例题十一 例11 若是完全平方式，求的值.‎ 分析 原式为完全平方式，由，即知为，展开即得值.‎ 解 是完全平方式 应为 又，‎ 故.‎ 说明 完全平方式分为完全平方和与完全平方差，确定值时不要漏掉各种情况.此题为因式分解的逆向思维类，运用来求解.‎ 典型例题十二 例12 求证：对于任意自然数，一定是10的倍数.‎ 分析 欲证是10的倍数，看原式可否化成含10的因式的积的形式.‎ 证明 ‎ 是10的倍数，‎ 一定是10的倍数.‎ 典型例题十六 例16 将分解因式 分析：此例不能直接用提公因式法或运用公式法分解因式，用分组分解法又不具备运用分组分解法的题目特点，而用型式子分解因式其二次项系数不是1，而是，故在上述都不能的情况下，想方法将看成，则这个二次三项式就可以化成，即可符合型式子，故可分解因式.‎ 解：设，则 原式=‎ ‎ 所以，.‎ 说明：今后应细心审题观察题目的特征，若能利用整体换元的思想将多项式化为型的式子即可因式分解.‎ 典型例题十三 例13 因式分解（1）； （2）‎ 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 或 ‎ ‎ ‎ ；‎ ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 或 ‎ ‎ ‎ ‎ 说明：（1）把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因式，这是正确分组的关键所在。因此，分组分解因式要有预见性；‎ ‎ （2）分组的方法不唯一，而合理的选择分组方案，会使分解过程简单；‎ ‎ （3）分组时要用到添括号法则，注意在添加带有负号的括号时，括号内每项的符号都要改变；‎ ‎ （4）实际上，分组只是为实际分解创造了条件，并没有直接达到分解的目的。‎ 典型例题十四 例14 把下列各式分解因式：‎ ‎ （1）； （2）；‎ ‎ （3）‎ 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （3）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 或 ‎ ‎ ‎ 或 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 说明：（1）要善于观察多项式中存在的公式形式，以便恰当地分组；同时还要注意统观全局，不要一看到局部中有公式形式就匆匆分组。如，‎ ‎，就会分解不下去了；‎ ‎ （2）有公因式时，“首先考虑提取公因式”是因式分解中始终不变的原则，在这里，当提取公因式后更便于观察分组情况，预测结果；‎ ‎ （3）对于一道题中的多种分组方法，要善于选择使分解过程简单的分组方法，如题中前两种分组显然优于后者。‎ 典型例题十五 例15 把下列各式分解因式 ‎（1）；（2）.‎ 分析（1）的二次项系数是1，常数项=，一次项系数1=，故这是一个型式子.‎ ‎（2）的二次项系数是1，常数项=，一次项系数 ，故这也是一个型式子.‎ 解：（1）因为=，并且1=，所以 ‎=.‎ ‎(2) 因为=，，所以 ‎=.‎ 说明：因式分解时常数项因数分解的一般规律：‎ ‎（1）常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数符号相同.‎ ‎(2) 常数项是负数时,它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数和一次项系数的符号相同.‎ 单元测试题（A） ‎ ‎1．填空题 ‎（1）把一个 化成 的形式叫做因式分解；‎ ‎（2）代数式，，的公因式是 ；‎ ‎（3）多项式的公因式是 ，提取公因式后所得多项式是个 项式，写成 ；‎ ‎（4）（ ；‎ ‎（5） ；‎ ‎（6） ；‎ ‎（7） ；‎ ‎（8） ；‎ ‎（9）将多项式先分成可以分解因式的两组，再分解： = ．‎ ‎2．选择题 ‎（1）下面的四个变形中，可以判定为因式分解的是（ ）．‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（2）多项式分解因式的结果是（ ）．‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（3）下列各式中，能用完全平方公式分解的是（ ）．‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（4）下列各多项式中因式分解的结果正确的是（ ）．‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（5）分解时，下列分组不正确的是（ ）．‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（6）若是二次三项式的因式，则的值为（ ）．‎ ‎（A）3 （B）4 （C）2 （D）－2‎ ‎3．把下列各式分解因式 ‎（1）； （2）；‎ ‎（3）； （4）；‎ ‎（5）； （6）‎ ‎（7）； （8）；‎ ‎（9）； （10）；‎ ‎（11）； （12）；‎ ‎（13）； （14）‎ 参考答案 ‎1．填空题 ‎（1）多项式，几个因式乘积；‎ ‎（2）； （3），三，； （4），4，；‎ ‎（5）36，； （6），； （7）； （8）；‎ ‎（9），‎ ‎2．选择题 ‎（1）D （2）C （3）B （4）C （5）C （6）D ‎3．把下列各式分解因式 ‎（1）； （2）；‎ ‎（3）； （4）；‎ ‎（5）； （6）；‎ ‎（7）； （8）；‎ ‎（9）； （10）；‎ ‎（11）； （12）；‎ ‎（13）； （14）．‎ 单元测试题（B）‎ ‎1．选择题 ‎（1）以下四个因式分解：‎ ‎① ②‎ ‎③； ④‎ 在有理数范围内分解结果正确的是（ ）．‎ ‎（A）①和② （B）④ （C）③和④ （D）①、③和④‎ ‎（2）若是个完全平方式，则的值为（ ）．‎ ‎（A）－5 （B）7 （C）－1 （D）7或－1‎ ‎（3）将多项式进行因式分解，正确的分组方法是（ ）．‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（4）下列各多项式中含有这个因式的是（ ）．‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（5）有一个因式是，则另一个因式是（ ）．‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎2．填空题 ‎（1）多项式的公因式为 ，因式分解后应写成 ；‎ ‎（2）若是个完全平方式，则 ；‎ ‎（3）若，，则的值是 ；‎ ‎（4）用公式计算： ．‎ ‎3．解下列各题 ‎ 　已知，求、的值．‎ ‎4. 分解因式：．‎ ‎5．分解下列各因式 ‎（1）； （2）；‎ ‎（3）； （4）；‎ ‎（5）； （6）；‎ ‎（7）； （8）；‎ ‎（9）； （10）；‎ ‎（11）； （12）‎ ‎6．求证：当表示整数时，是一个完全平方数．‎ 参考答案：‎ ‎1．选择题（1）B （2）D （3）D （4）B （5）A ‎2．填空题 ‎（1），；‎ ‎（2）； （3） （4）16‎ ‎3．解下列各题 提示：，‎ ‎4．‎ ‎5．分解下列各因式 ‎（1）； （2）；（3）；‎ ‎（4）； （5）； （6）；‎ ‎（7）； （8）； （9）；‎ ‎（10）； （11） （12）‎ ‎6．提示：．‎ ‎ ‎ 能力1‎ ‎（1）用分组分解法分解因式：，分组的方法有（ ）种 ‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎（2）能分解因式且有一个因式是，则a与b的关系是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎（3）若，则A是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 答案：‎ ‎（1）B （2）B （3）C ‎ 解：（2）从供选答案发现，答案C包括了A、B两个答案，故可将A、B分别代入验证 当时 ‎ ‎ 此时，多项式不能分解，不合题意，故答案A、C被排除 当时，‎ ‎ ‎ 此时多项式分解因式的结果符合题意，故选B。‎ 能力2‎ ‎1．将下列各式分解因式：‎ ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎2．将下列各式分解因式：‎ ‎（1） （2）‎ 答案：‎ ‎1．（1）； （2）；‎ ‎（3）； （4）.‎ ‎2. (1) ; (2)‎ 能力3‎ 将下列各式分解因式 ‎（1）；（2）.‎ 答案：‎ ‎（1）；（2）.‎ 能力4‎ ‎（1）分解因式 ‎（2）已知 求的值。‎ ‎（3）已知 求的值。‎ ‎（4）已知a、b、c为的三边，并且满足 求证：是等腰三角形。‎ 参考答案：‎ ‎（1）‎ 解：‎ 方法一：‎ 设则 原式 ‎ ‎ 方法二：‎ 原式 ‎ ‎ 方法三：‎ 原式 ‎ ‎ ‎（2）0‎ ‎（3）0‎ ‎（4）证：‎ ‎ ‎ ‎ 或或 或或 是等腰三角形 填空题 ‎1．填空题 ‎（1）将用分组分解法因式分解，可分组为__________或_________‎ ‎（2）‎ ‎（3）因式分解：‎ ‎（4）将多项式分组得________‎ ‎（5）‎ ‎（6）有公因式_______‎ ‎（7）‎ ‎（8）因式分解：‎ ‎2．填空题 ‎（1）‎ ‎（2）因式分解：‎ ‎（3）将分组为时，有公因式_________‎ ‎（4）‎ ‎（5）当时，代数式 ‎3．填空题 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）分解因式 ‎（5）若多项式分解得，则，‎ ‎（6）若成立，则值为__________‎ ‎（7）若，且，则=___________‎ ‎（8）‎ ‎（9）多项式，，的公因式为___________‎ ‎（10）已知、为整数，且，则，‎ 参考答案：‎ ‎1．（1），（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）‎ ‎2．（1）（2）（3）（4），（5）8‎ ‎3．（1）．（2）（3）（4）（5）， （6）或2（7）（8），（9）（10），1‎ 选择题 ‎1．选择题 ‎（1）将分组，下列不合理的是（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（2）将分解因式，不正确的分组是（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（3）多项式可分解为（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（4）下列因式分解中，错误的是（）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（5）多项式分解因式，其分组方法不恰当的是（）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D） ‎ ‎（6）多项式进行分组，其正确分法是（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（7）把进行分组，正确的分组方法有（）‎ ‎（A）1种 （B）2种 （C）3种 （D）4种 ‎（8）若有因式，则另外的因式为（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎2．选择题 ‎（1）把分解因式得（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（2）多项式与的公因式是（）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）若，则为（）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（4）将分解因式得（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（5）若有一个因式为，则的值为（）‎ ‎（A） （B）9 （C） （D）1 ‎ ‎（6）把分解因式得（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（7）把分解因式得（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎3．选择题 ‎（1）多项式分解因式得（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（2）下列因式分解正确的是（）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（3）若是二次三项式的两个因式，则值为（）‎ ‎（A）8 （B） （C）2 （D）‎ ‎（4）下列多项式分解因式得的是（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（5）下列各式能用因式分解的是（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（6）多项式分解因式得（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（7）若，则、的值为（）‎ ‎（A）， （B），‎ ‎（C）， （D），‎ ‎（8）若，则值为（）‎ ‎（A）3 （B） （C）10 （D）‎ 参考答案：‎ ‎1．（1）C（2）D（3）B（4）D（5）C（6）D（7）B（8）C ‎2．（1）D（2）A（3）C（4）A（5）A（6）C（7）B ‎3．（1）D（2）C（3）A（4）A（5）B（6）B（7）D（8）D 解答题 ‎1．因式分解 ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5） （6）‎ ‎（7） （8）‎ ‎（9） （10）‎ ‎2．因式分解 ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5） （6）‎ ‎（7） （8）‎ ‎（9） （10）‎ ‎3．因式分解 ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5） （6）‎ ‎（7） （8）‎ ‎4．因式分解 ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5） （6）‎ ‎（7） （8）‎ 参考答案：‎ ‎1．（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5） （6）‎ ‎（7） （8）‎ ‎（9） （10）‎ ‎2．（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5） （6）‎ ‎（7） （8）‎ ‎（9）‎ ‎（10）‎ ‎3．（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5） （6）‎ ‎（7） （8）‎ ‎4．（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5） （6）‎ ‎（7） （8）‎ 解答题 ‎1．求值 已知，求多项式的值 ‎2．求的值 ‎（1）（2）‎ ‎3．解答 已知矩形的周长为，长为，宽为，且满足，求矩形的面积 ‎4．求值 已知，求多项式的值 参考答案：‎ ‎1．0‎ ‎2．（1）2，3（2）1，‎ ‎3．[提示：由已知等式得，则]‎ ‎4．0[提示多项多变形为 ‎]‎