2020年广东省深圳实验学校中学部中考数学模拟试卷（六） （解析版）

2020年广东省深圳实验学校中学部中考数学模拟试卷（六） （解析版）

‎2020年广东省深圳实验学校中学部中考数学模拟试卷（六）‎ 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．π、，﹣，，3.1416，0.中，无理数的个数是（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎2．将图（1）的正方体用阴影部分所在的平面切割后，剩下如图（2）所示的几何体，则该几何体的俯视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．下列各式的变形中，正确的是（　　）‎ A．（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝x2﹣y2 B．﹣x＝ ‎ C．x2﹣4x+3＝（x﹣2）2+1 D．x÷（x2+x）＝+1‎ ‎4．若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（　　）‎ A．360° B．540° C．720° D．900°‎ ‎5．如图，四边形ABCE内接于⊙O，∠DCE＝50°，则∠BOE＝（　　）‎ A．100° B．50° C．70° D．130°‎ ‎6．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．如果CD＝AC，∠ACB＝105°，那么∠B的度数为（　　）‎ A．20° B．25° C．30° D．35°‎ ‎7．不等式组的最小整数解为（　　）‎ A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1‎ ‎8．二次函数y＝﹣2x2+4x+1的图象如何移动就得到y＝﹣2x2的图象（　　）‎ A．向左移动1个单位，向上移动3个单位 ‎ B．向右移动1个单位，向上移动3个单位 ‎ C．向左移动1个单位，向下移动3个单位 ‎ D．向右移动1个单位，向下移动3个单位 ‎9．规定：“上升数”是一个右边数位上的数字比左边数位上的数字大的自然数（如23，567，3467等）．一不透明的口袋中装有3个大小、形状完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，3，从袋中随机摸出1个小球（不放回），其上所标数字作为十位上的数字，再随机摸出1个小球，其上所标数字作为个位上的数字，则组成的两位数是上升数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．定义新运算：a⊕b＝例如：4⊕5＝，4⊕（﹣5）＝．则函数y＝2⊕x（x≠0）的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎11．如图，⊙O的圆心在矩形ABCD的对角线AC上，且⊙O与AB，BC相切，AB＝3，BC＝4，则⊙O截AD的所得的弦EF的长是（　　）‎ A．3 B． C． D．‎ ‎12．下列命题正确的个数是（　　）‎ ‎①若代数式有意义，则x的取值范围为x≤1且x≠0．‎ ‎②我市生态旅游初步形成规模，2012年全年生态旅游收入为302 600 000元，保留三个有效数字用科学记数法表示为3.03×108元．‎ ‎③若反比例函数（m为常数），当x＞0时，y随x增大而增大，则一次函数y＝﹣2x+m的图象一定不经过第一象限．‎ ‎④若函数的图象关于y轴对称，则函数称为偶函数，下列三个函数：y＝3，y＝2x+1，y＝x2中偶函数的个数为2个．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．分解因式：xy﹣4xy3＝　 　．‎ ‎14．直角三角形纸片的两直角边BC，AC的长分别为6，8，现将△ABC如下图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则CE的长为　 　．‎ ‎15．已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣‎ ‎3的值等于　 　．‎ ‎16．如图，将半径为1的半圆O，绕着其直径的一端点A顺时针旋转30°，直径的另一端点B的对应点为B'，O的对应点为O'，则图中阴影部分的面积是　 　．‎ 三．解答题（共7小题）‎ ‎17．计算：﹣22﹣|﹣2|+2tan60°﹣‎ ‎18．已知|a﹣1|+＝0，求方程+bx＝1的解．‎ ‎19．我市某水果经销商为了解市民对销量较好的梨子、橘子、香蕉、苹果（以下分别用A、B、C、D表示）这四种水果的喜爱情况，对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）‎ 请根据以上信息回答：‎ ‎（1）本次参加抽样调查的市民有多少人？‎ ‎（2）将两幅不完整的图补充完整；‎ ‎（3）若居民区有8000人，请估计爱吃苹果的人数；‎ ‎（4）若取A、B、C、D各一个，分别放在四个形状相同且不透明的盒子里，小王吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C的概率 ‎20．某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为37°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）‎ ‎21．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆交BC于D，过D作⊙O的切线EF交AC于E，交AB延长线于F．‎ ‎（1）求证：DE⊥AC．‎ ‎（2）若BD＝2，tan∠CDE＝，求BF的长．‎ ‎22．问题发现．‎ ‎（1）如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为　 　．‎ ‎（2）如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值．‎ ‎（3）如图③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．‎ ‎23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，C（1，0），与y轴交于点B（0，﹣3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P是直线AB下方的抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为点F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．‎ ‎①当△PDE的周长最大时，求出点P的坐标；‎ ‎②连接AP，以AP为边在其右侧作正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．则当顶点M或N恰好落在抛物线的对称轴上时，请直接写出点P的坐标．‎ 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．π、，﹣，，3.1416，0.中，无理数的个数是（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项．‎ ‎【解答】解：在π、，﹣，，3.1416，0.中，‎ 无理数是：π，共2个．‎ 故选：B．‎ ‎2．将图（1）的正方体用阴影部分所在的平面切割后，剩下如图（2）所示的几何体，则该几何体的俯视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定则可．‎ ‎【解答】解：由题意知，该几何体的俯视图如下：‎ 故选：B．‎ ‎3．下列各式的变形中，正确的是（　　）‎ A．（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝x2﹣y2 B．﹣x＝ ‎ C．x2﹣4x+3＝（x﹣2）2+1 D．x÷（x2+x）＝+1‎ ‎【分析】根据平方差公式和分式的加减以及整式的除法计算即可．‎ ‎【解答】解：A、（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝x2﹣y2，正确；‎ B、，错误；‎ C、x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，错误；‎ D、x÷（x2+x）＝，错误；‎ 故选：A．‎ ‎4．若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（　　）‎ A．360° B．540° C．720° D．900°‎ ‎【分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和；根据一个外角得60°，可知对应内角为120°，很明显内角和是外角和的2倍即720．‎ ‎【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°＝6，‎ 该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°．‎ 故选：C．‎ ‎5．如图，四边形ABCE内接于⊙O，∠DCE＝50°，则∠BOE＝（　　）‎ A．100° B．50° C．70° D．130°‎ ‎【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCE内接于⊙O，‎ ‎∴∠A＝∠DCE＝50°，‎ 由圆周角定理得，∠BOE＝2∠A＝100°，‎ 故选：A．‎ ‎6．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．如果CD＝AC，∠ACB＝105°，那么∠B的度数为（　　）‎ A．20° B．25° C．30° D．35°‎ ‎【分析】利用线段垂直平分线的性质得出DC＝BD，再利用三角形外角的性质以及三角形内角和定理得出即可．‎ ‎【解答】解：由题意可得：MN垂直平分BC，‎ 则DC＝BD，‎ 故∠DCB＝∠DBC，‎ ‎∵DC＝AC，‎ ‎∴∠A＝∠CDA，‎ 设∠B为x，则∠BCD＝x，∠A＝∠CDA＝2x，‎ 可得：x+2x+105°＝180°，‎ 解得：x＝25，‎ 即∠B＝25°，‎ 故选：B．‎ ‎7．不等式组的最小整数解为（　　）‎ A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1‎ ‎【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：解不等式x﹣1≤2，得：x≤3，‎ 解不等式x﹣（x﹣2）＞﹣1，得：x＞﹣4，‎ 所以不等式组的解集为﹣4＜x≤3，‎ 则不等式组的最小整数解为﹣3，‎ 故选：B．‎ ‎8．二次函数y＝﹣2x2+4x+1的图象如何移动就得到y＝﹣2x2的图象（　　）‎ A．向左移动1个单位，向上移动3个单位 ‎ B．向右移动1个单位，向上移动3个单位 ‎ C．向左移动1个单位，向下移动3个单位 ‎ D．向右移动1个单位，向下移动3个单位 ‎【分析】利用二次函数的图象的性质．‎ ‎【解答】解：二次函数y＝﹣2x2+4x+1的顶点坐标为（1，3），y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），‎ ‎∴向左移动1个单位，向下移动3个单位．‎ 故选：C．‎ ‎9．规定：“上升数”是一个右边数位上的数字比左边数位上的数字大的自然数（如23，567，3467等）．一不透明的口袋中装有3个大小、形状完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，3，从袋中随机摸出1个小球（不放回），其上所标数字作为十位上的数字，再随机摸出1个小球，其上所标数字作为个位上的数字，则组成的两位数是上升数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出组成的两位数是上升数的结果数，然后根据概率公式求解．‎ ‎【解答】解：画树状图为：‎ 共有6种等可能的结果数，其中组成的两位数是上升数的结果数为3，‎ 所以组成的两位数是上升数的概率＝＝．‎ 故选：C．‎ ‎10．定义新运算：a⊕b＝例如：4⊕5＝，4⊕（﹣5）＝．则函数y＝2⊕x（x≠0）的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据题意可得y＝2⊕x＝，再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：由题意得：y＝2⊕x＝，‎ 当x＞0时，反比例函数y＝在第一象限，‎ 当x＜0时，反比例函数y＝﹣在第二象限，‎ 又因为反比例函数图象是双曲线，因此D选项符合．‎ 故选：D．‎ ‎11．如图，⊙O的圆心在矩形ABCD的对角线AC上，且⊙O与AB，BC相切，AB＝3，BC＝4，则⊙O截AD的所得的弦EF的长是（　　）‎ A．3 B． C． D．‎ ‎【分析】设切点为G，H，连接OG，HO并延长交AD于K，连接OF，则四边形OGBH为正方形，设正方形边长为x，根据相似三角形的性质得到，求得，由根据勾股定理即可得到结论．‎ ‎【解答】解：如图，∵⊙O与AB，BC相切，‎ ‎∴设切点为G，H，连接OG，HO并延长交AD于K，连接OF，则四边形OGBH为正方形，‎ 设正方形边长为x，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AB⊥BC，‎ ‎∵OG⊥AB，‎ ‎∴OG∥BC，‎ ‎∴△ABC∽△AGO，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴，由 垂径定理，OK⊥EF，EK⊥KF，‎ ‎∴在Rt△OKF中，，，‎ ‎∴，‎ 故选：D．‎ ‎12．下列命题正确的个数是（　　）‎ ‎①若代数式有意义，则x的取值范围为x≤1且x≠0．‎ ‎②我市生态旅游初步形成规模，2012年全年生态旅游收入为302 600 000元，保留三个有效数字用科学记数法表示为3.03×108元．‎ ‎③若反比例函数（m为常数），当x＞0时，y随x增大而增大，则一次函数y＝﹣2x+m的图象一定不经过第一象限．‎ ‎④若函数的图象关于y轴对称，则函数称为偶函数，下列三个函数：y＝3，y＝2x+1，y＝x2中偶函数的个数为2个．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】根据有关的定理和定义作出判断即可得到答案．‎ ‎【解答】解：①若代数式有意义，则x的取值范围为x＜1且x≠0，原命题错误；‎ ‎②我市生态旅游初步形成规模，2012年全年生态旅游收入为302 600 000元，保留三个有效数字用科学记数法表示为3.03×108元正确．‎ ‎③根据反比例函数（m为常数）的增减性得出m＜0，故一次函数y＝﹣2x+m的图象一定不经过第一象限．‎ ‎，此选项正确；‎ ‎④若函数的图象关于y轴对称，则函数称为偶函数，三个函数中有y＝3，y＝x2是偶函数，原命题正确，‎ 故选：C．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．分解因式：xy﹣4xy3＝　xy（1+2y）（1﹣2y）　．‎ ‎【分析】原式提取公因式xy，再利用平方差公式分解即可．‎ ‎【解答】解：原式＝xy（1﹣4y2）‎ ‎＝xy（1+2y）（1﹣2y），‎ 故答案为：xy（1+2y）（1﹣2y）‎ ‎14．直角三角形纸片的两直角边BC，AC的长分别为6，8，现将△ABC如下图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则CE的长为　　．‎ ‎【分析】根据折叠的性质和勾股定理可知．‎ ‎【解答】解：设CE为x，则BE＝AE＝8﹣x，‎ ‎∵∠C＝90°，‎ ‎∴BE2﹣CE2＝BC2，（8﹣x）2﹣x2＝36，‎ 解得x＝．‎ ‎15．已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣3的值等于　2021　．‎ ‎【分析】根据根与系数的关系以及方程的解的定义即可求出答案．‎ ‎【解答】解：由题意可知：a2﹣2a＝2020，‎ 由根与系数的关系可知：a+b＝2，‎ ‎∴原式＝a2﹣2a+2a+2b﹣3，‎ ‎＝2020+2（a+b）﹣3‎ ‎＝2020+2×2﹣3‎ ‎＝2021，‎ 故答案为：2021．‎ ‎16．如图，将半径为1的半圆O，绕着其直径的一端点A顺时针旋转30°，直径的另一端点B的对应点为B'，O的对应点为O'，则图中阴影部分的面积是　﹣　．‎ ‎【分析】连接O′D、B′D，根据旋转变换的性质求出∠B′AB，根据等腰三角形的性质求出∠AO′D，根据勾股定理求出AD，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．‎ ‎【解答】解：连接O′D、B′D，‎ ‎∵∠B′AB＝30°，‎ ‎∴∠AO′D＝120°，‎ ‎∵AB′是半圆O′的直径，‎ ‎∴∠ADB′＝90°，又∠B′AB＝30°，‎ ‎∴B′D＝AB′＝1，‎ 由勾股定理得，AD＝＝，‎ ‎∴图中阴影部分的面积＝（﹣﹣×1××）+（﹣×1××）‎ ‎＝﹣，‎ 故答案为：﹣．‎ 三．解答题（共7小题）‎ ‎17．计算：﹣22﹣|﹣2|+2tan60°﹣‎ ‎【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．‎ ‎【解答】解：原式＝﹣4﹣（2﹣）+2﹣2‎ ‎＝﹣4﹣2++2﹣2‎ ‎＝﹣6+．‎ ‎18．已知|a﹣1|+＝0，求方程+bx＝1的解．‎ ‎【分析】首先根据非负数的性质，可求出a、b的值，然后再代入方程求解即可．‎ ‎【解答】解：∵|a﹣1|+＝0，‎ ‎∴a﹣1＝0，a＝1；b+2＝0，b＝﹣2．‎ ‎∴﹣2x＝1，得2x2+x﹣1＝0，‎ 即（2x﹣1）（x+1）＝0，‎ 解得x1＝﹣1，x2＝．‎ 经检验：x1＝﹣1，x2＝是原方程的解．‎ ‎∴原方程的解为：x1＝﹣1，x2＝．‎ ‎19．我市某水果经销商为了解市民对销量较好的梨子、橘子、香蕉、苹果（以下分别用A、B、C、D表示）这四种水果的喜爱情况，对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）‎ 请根据以上信息回答：‎ ‎（1）本次参加抽样调查的市民有多少人？‎ ‎（2）将两幅不完整的图补充完整；‎ ‎（3）若居民区有8000人，请估计爱吃苹果的人数；‎ ‎（4）若取A、B、C、D各一个，分别放在四个形状相同且不透明的盒子里，小王吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C的概率 ‎【分析】（1）根据条形统计图中的数据求出调查的居民人数即可；‎ ‎（2）利用总人数减去其他类型的人数即可求得C类型的人数，然后根据百分比的意义求解；‎ ‎（3）求出D占的百分比，乘以8000即可得到结果；‎ ‎（4）画树状图得出所有等可能的情况数，找出他第二个吃到的恰好是C的情况数，即可求出所求的概率．‎ ‎【解答】解：（1）本次参加抽样调查的市民总人数为60÷10%＝600（人）；‎ ‎（2）C类的人数是：600﹣180﹣60﹣240＝120（人），‎ C类所占的百分比是：×100%＝20%，‎ A类所占的百分比是：×100%＝30%．‎ ‎（3）估计爱吃苹果的人数为40%×8000＝3200（人）；‎ ‎（4）如图，‎ 得到所有等可能的情况有12种，他第二个吃到的恰好是C的有3种结果，‎ 所以他第二个吃到的恰好是C的概率为＝．‎ ‎20．某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为37°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）‎ ‎【分析】作DE⊥AB于点E，作CF⊥DE于点F，由tan37°＝≈0.75求得AE＝40.2，由AB＝57知BE＝17.3，再根据四边形BCFE是矩形知CF＝BE＝17．由∠CDF＝∠DCF＝45°知DF＝CF＝17.4，从而得BC＝EF＝30﹣17＝13.5．‎ ‎【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．‎ 由题意得，AB＝57，DE＝30，∠A＝37°，∠DCF＝45°．‎ 在Rt△ADE中，∠AED＝90°，‎ ‎∴tan37°＝≈0.75．‎ ‎∴AE＝40.2‎ ‎∵AB＝57，‎ ‎∴BE＝17.3‎ ‎∵四边形BCFE是矩形，‎ ‎∴CF＝BE＝17．‎ 在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，‎ ‎∴∠CDF＝∠DCF＝45°．‎ ‎∴DF＝CF＝17.4‎ ‎∴BC＝EF＝30﹣17＝13.5‎ 答：教学楼BC高约13米．‎ ‎21．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆交BC于D，过D作⊙O的切线EF交AC于E，交AB延长线于F．‎ ‎（1）求证：DE⊥AC．‎ ‎（2）若BD＝2，tan∠CDE＝，求BF的长．‎ ‎【分析】（1）连接OD，AD，由切线的性质得出OD⊥DE，证明OD是△ABC的中位线，得出OD∥AC，即可得出结论．‎ ‎（2）证∠CDE＝∠DAC，由三角函数定义得出．由勾股定理求出AB＝10，得出OA＝OD＝OB＝5，AC＝AB＝10，证明△AEF～△ODF，进而得出答案．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD，AD，如图：‎ ‎∵EF是⊙O的切线，‎ ‎∴OD⊥DE，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴BD＝DC，‎ 又∵OB＝OA，‎ ‎∴OD是△ABC的中位线，‎ ‎∴OD∥AC，‎ ‎∴DE⊥AC．‎ ‎（2）解：由（1）得，‎ ‎∵DE⊥AC，AD⊥BC，‎ ‎∴∠CDE+∠C＝90°，∠DAC+∠C＝90°，‎ ‎∴∠CDE＝∠DAC，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 在Rt△ABD中，，‎ ‎∴OA＝OD＝OB＝5，AC＝AB＝10，‎ 在Rt△CDE中，DE2+CE2＝CD2，‎ ‎∴2，‎ 解得CE＝2，‎ ‎∴AE＝AC﹣CE＝10﹣2＝8，‎ ‎∵∠AEF＝∠ODF＝90°，∠F＝∠F，‎ ‎∴△AEF～△ODF，‎ ‎∴，即，‎ 解得．‎ ‎22．问题发现．‎ ‎（1）如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB 边上任意一点，则CD的最小值为　　．‎ ‎（2）如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值．‎ ‎（3）如图③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据点到直线的距离最小，再用三角形的面积即可得出结论；‎ ‎（2）先根据轴对称确定出点M和N的位置，再利用面积求出CF，进而求出CE，最后用三角函数即可求出CM+MN的最小值；‎ ‎（3）先确定出EG⊥AC时，四边形AGCD的面积最小，再用锐角三角函数求出点G到AC的距离，最后用面积之和即可得出结论，再用相似三角形得出的比例式求出CF即可求出BF．‎ ‎【解答】解：（1）如图①，过点C作CD⊥AB于D，根据点到直线的距离垂线段最小，此时CD最小，‎ 在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理得，AB＝5，‎ ‎∵AC×BC＝AB×CD，‎ ‎∴CD＝＝，‎ 故答案为；‎ ‎（2）如图②，作出点C关于BD的对称点E，‎ 过点E作EN⊥BC于N，交BD于M，连接CM，此时CM+MN＝EN最小；‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝3，根据勾股定理得，BD＝5，‎ ‎∵CE⊥BC，‎ ‎∴BD×CF＝BC×CD，‎ ‎∴CF＝＝，‎ 由对称得，CE＝2CF＝，‎ 在Rt△BCF中，cos∠BCF＝＝，‎ ‎∴sin∠BCF＝，‎ 在Rt△CEN中，EN＝CEsin∠BCE＝＝；‎ 即：CM+MN的最小值为；‎ ‎（3）如图3，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根据勾股定理得，AC＝5，‎ ‎∵AB＝3，AE＝2，‎ ‎∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，‎ 设点G到AC的距离为h，‎ ‎∵S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝AD×CD+AC×h＝×4×3+×5×h＝h+6，‎ ‎∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，‎ ‎∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，‎ ‎∴EG⊥AC时，h最小，‎ 由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°，‎ 延长EG交AC于H，则EH⊥AC，‎ 在Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝，‎ 在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝＝，‎ ‎∴EH＝AE＝，‎ ‎∴h＝EH﹣EG＝﹣1＝，‎ ‎∴S四边形AGCD最小＝h+6＝×+6＝，‎ 过点F作FM⊥AC于M，‎ ‎∵EH⊥FG，EH⊥AC，‎ ‎∴四边形FGHM是矩形，‎ ‎∴FM＝GH＝‎ ‎∵∠FCM＝∠ACB，∠CMF＝CBA＝90°，‎ ‎∴△CMF∽△CBA，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴CF＝1‎ ‎∴BF＝BC﹣CF＝4﹣1＝3．‎ ‎23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，C（1，0），与y轴交于点B（0，﹣3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P是直线AB下方的抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为点F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．‎ ‎①当△PDE的周长最大时，求出点P的坐标；‎ ‎②连接AP，以AP为边在其右侧作正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．则当顶点M或N恰好落在抛物线的对称轴上时，请直接写出点P的坐标．‎ ‎【分析】（1）把点B、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；‎ ‎（2）①根据点A、B的坐标求出OA＝OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠BAO＝45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，PD越大，△PDE的周长最大，再判断出当与直线AB平行的直线与抛物线只有一个交点时，PD最大，再求出直线AB的解析式为y＝﹣x﹣3，设与AB平行的直线解析式为y＝﹣x+m，与抛物线解析式联立消掉y，得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△＝0列式求出m的值，再求出x、y的值，从而得到点P的坐标；‎ ‎②先确定出抛物线的对称轴，然后（i）分点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，根据同角的余角相等求出∠APF＝∠QPM，再利用“角角边”证明△APF和△MPQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF＝PQ，设点P的横坐标为n，表示出PQ的长，即PF，然后代入抛物线解析式计算即可得解；（ii）点N在对称轴上时，同理求出△APF和△ANQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF＝AQ，根据点A的坐标求出点P的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点P的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（0，﹣3），C（1，0），‎ ‎∴，‎ 解得，‎ 所以，抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；‎ ‎（2）①∵把y＝0代入解析式可得：‎ x1＝1，x2＝﹣3，‎ ‎∴A（﹣3，0），‎ ‎∵B（0，3），‎ ‎∴OA＝OB＝3，‎ ‎∴△AOB是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠BAO＝45°，‎ ‎∵PF⊥x轴，‎ ‎∴∠AEF＝90°﹣45°＝45°，‎ 又∵PD⊥AB，‎ ‎∴△PDE是等腰直角三角形，‎ ‎∴PD越大，△PDE的周长越大，‎ 易得直线AB的解析式为y＝﹣x﹣3，‎ 设与AB平行的直线解析式为y＝﹣x﹣m，‎ 联立，‎ 消掉y得，x2+3x+m﹣3＝0，‎ 当△＝32﹣4×1×（m﹣3）＝0，‎ 即m＝时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，‎ 此时x＝﹣，y＝﹣＝﹣，‎ ‎∴点P（﹣，﹣）时，△PDE的周长最大；‎ ‎②抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，‎ ‎（i）如图1，点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，‎ 在正方形APMN中，AP＝PM，∠APM＝90°，‎ ‎∴∠APF+∠FPM＝90°，∠QPM+∠FPM＝90°，‎ ‎∴∠APF＝∠QPM，‎ ‎∵在△APF和△MPQ中，‎ ‎，‎ ‎∴△APF≌△MPQ（AAS），‎ ‎∴PF＝PQ，‎ 设点P的横坐标为n（n＜0），则PQ＝﹣1﹣n，‎ 即PF＝﹣1﹣n，‎ ‎∴点P的坐标为（n，1+n），‎ ‎∵点P在抛物线y＝x2+2x﹣3上，‎ ‎∴n2+2n﹣3＝1+n，‎ 整理得，n2+n﹣4＝0，‎ 解得n1＝（舍去），n2＝，‎ ‎1+n＝，‎ 所以，点P的坐标为（，）；‎ ‎（ii）如图2，点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，‎ ‎∵∠PAF+∠FPA＝90°，∠PAF+∠QAN＝90°，‎ ‎∴∠FPA＝∠QAN，‎ 又∵∠PFA＝∠AQN＝90°，PA＝AN，‎ ‎∴△APF≌△NAQ，‎ ‎∴PF＝AQ，‎ 设点P坐标为P（x，x2+2x﹣3），‎ 则有x2+2x﹣3＝1﹣3＝﹣2，‎ 解得x＝﹣1（不合题意，舍去）或x＝﹣﹣1，‎ 此时点P坐标为（﹣﹣1，﹣2）．‎ 综上所述，当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（，），当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（﹣﹣1，﹣2）．‎