2020-2021学年湘教版九年级数学上册第3单元、第4单元测试题及答案（各一套）

2020-2021学年湘教版九年级数学上册第3单元、第4单元测试题及答案（各一套）

湘教版九年级数学上册第3单元测试题 ‎（时间：90分钟 分值：120分）‎ ‎　‎ 一、选择题（共4小题）‎ ‎1．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（　　）‎ A．10米 B．12米 C．15米 D．22.5米 ‎2．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（　　）‎ A．60m B．40m C．30m D．20m ‎3．如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D．‎ ‎①△OB1C∽△OA1D； ‎ ‎②OA•OC=OB•OD；‎ ‎③OC•G=OD•F1；‎ ‎④F=F1．‎ 其中正确的说法有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共14小题）‎ ‎5．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是　 　米．‎ ‎6．如图是小明设计用手电来测量都匀南沙州古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是　 　米（平面镜的厚度忽略不计）．‎ ‎7．如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则网球的击球的高度h为　 　．‎ ‎8．如图，为了测量一水塔的高度，小强用2米的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、水塔的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8米，与水塔相距32米，则水塔的高度为　 　米．‎ ‎9．如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为　 　cm．‎ ‎10．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为　 　m．‎ ‎11．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木竿PQ的长度为　 　m．‎ ‎12．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为　 　．‎ ‎13．如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为　　m．‎ ‎14．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为　　米．‎ ‎15．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm ‎，则楼高CD为　　m．‎ ‎16．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG=15里，HG经过A点，则FH=　　里．‎ ‎17．如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是 ‎　 　米．‎ ‎18．同一时刻，物体的高与影子的长成比例，某一时刻，高1.6m的人影长为1.2m，一电线杆影长为9m，则电线杆的高为　 m．‎ 三、解答题（共12小题）‎ ‎19．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．‎ ‎20．晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．（结果精确到0.01米）‎ ‎21．如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子 BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．‎ ‎（1）该小组的同学在这里利用的是　平行　投影的有关知识进行计算的；‎ ‎（2）试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．‎ ‎22．（1）如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的直线距离．‎ ‎（2）列方程（组）或不等式（组）解应用题：‎ ‎2015年的5月20日是第15个中国学生营养日，我市某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如表）． ‎ ‎ 信息 ‎1、快餐成分：蛋白质、脂肪、碳水化合物和其他 ‎2、快餐总质量为400克 ‎3、碳水化合物质量是蛋白质质量的4倍 若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，求这份快餐最多含有多少克的蛋白质？‎ ‎23．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．‎ ‎（1）求证：△AEF∽△ABC；‎ ‎（2）求这个正方形零件的边长；‎ ‎（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？‎ ‎24．某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）．‎ ‎①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；‎ ‎②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米．‎ 根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？‎ ‎25．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯CD的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．‎ ‎26．如图，是一个照相机成像的示意图．‎ ‎（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m ‎，拍摄点离景物有多远？‎ ‎（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？‎ ‎27．某兴趣小组开展课外活动．如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C，E，G在一条直线上）．‎ ‎（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；‎ ‎（2）求小明原来的速度．‎ ‎28．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．‎ ‎（1）求证：△BEF∽△CDF；‎ ‎（2）求CF的长．‎ ‎29．课本中有一道作业题：‎ 有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？‎ 小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．‎ ‎（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．‎ ‎（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．‎ ‎30．为了测量旗杆AB的高度．甲同学画出了示意图1，并把测量结果记录如下，BA⊥EA于A，DC⊥EA于C，CD=a，CA=b，CE=c；乙同学画出了示意图2，并把测量结果记录如下，DE⊥AE于E，BA⊥AE于A，BA⊥CD于C，DE=m，AE=n，∠BDC=α．‎ ‎（1）请你帮助甲同学计算旗杆AB的高度（用含a、b、c的式子表示）；‎ ‎（2）请你帮助乙同学计算旗杆AB的高度（用含m、n、α的式子表示）．‎ 参考答案：‎ 一、选择题（共4小题）‎ ‎1．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（　　）‎ A．10米 B．12米 C．15米 D．22.5米 ‎【考点】相似三角形的应用． ‎ ‎【专题】应用题．‎ ‎【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．‎ ‎【解答】解：∵=‎ 即=，‎ ‎∴楼高=10米．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．‎ ‎　‎ ‎2．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（　　）‎ A．60m B．40m C．30m D．20m ‎【考点】相似三角形的应用． ‎ ‎【分析】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．‎ ‎【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，‎ ‎∴△BAE∽△CDE，‎ ‎∴‎ ‎∵BE=20m，CE=10m，CD=20m，‎ ‎∴‎ 解得：AB=40，‎ 故选B．‎ ‎【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．‎ ‎　‎ ‎3．如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】相似三角形的应用；正方形的性质；几何概率． ‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】求得阴影部分的面积与正方形ABCD的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率；‎ ‎【解答】解：设正方形的ABCD的边长为a，‎ 则BF=BC=，AN=NM=MC=a，‎ ‎∴阴影部分的面积为（）2+（a）2=a2，‎ ‎∴小鸟在花圃上的概率为=‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积．‎ ‎　‎ ‎4．如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D．‎ ‎①△OB1C∽△OA1D； ‎ ‎②OA•OC=OB•OD；‎ ‎③OC•G=OD•F1；‎ ‎④F=F1．‎ 其中正确的说法有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【考点】相似三角形的应用． ‎ ‎【专题】跨学科．‎ ‎【分析】根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行判断出B1C∥A1D，然后求出△OB1C∽△OA1D，判断出①正确；‎ 根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到②正确；‎ 根据杠杆平衡原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂列式判断出③正确；‎ 求出F的大小不变，判断出④正确．‎ ‎【解答】解：∵B1C⊥OA，A1D⊥OA，‎ ‎∴B1C∥A1D，‎ ‎∴△OB1C∽△OA1D，故①正确；‎ ‎∴=，‎ 由旋转的性质得，OB=OB1，OA=OA1，‎ ‎∴OA•OC=OB•OD，故②正确；‎ 由杠杆平衡原理，OC•G=OD•F1，故③正确；‎ ‎∴===是定值，‎ ‎∴F1的大小不变，‎ ‎∴F=F1，故④正确．‎ 综上所述，说法正确的是①②③④．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，杠杆平衡原理，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质并准确识图是解题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（共14小题）‎ ‎5．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是　8　米．‎ ‎【考点】相似三角形的应用． ‎ ‎【分析】首先证明△ABP∽△CDP，可得=，再代入相应数据可得答案．‎ ‎【解答】解：由题意可得：∠APE=∠CPE，‎ ‎∴∠APB=∠CPD，‎ ‎∵AB⊥BD，CD⊥BD，‎ ‎∴∠ABP=∠CDP=90°，‎ ‎∴△ABP∽△CDP，‎ ‎∴=，‎ ‎∵AB=2米，BP=3米，PD=12米，‎ ‎∴=，‎ CD=8米，‎ 故答案为：8．‎ ‎【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形对应边成比例．‎ ‎　‎ ‎6．如图是小明设计用手电来测量都匀南沙州古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是　8　米（平面镜的厚度忽略不计）．‎ ‎【考点】相似三角形的应用． ‎ ‎【分析】由已知得△ABP∽△CDP，根据相似三角形的性质可得，解答即可．‎ ‎【解答】解：由题意知：光线AP与光线PC，∠APB=∠CPD，‎ ‎∴Rt△ABP∽Rt△CDP，‎ ‎∴，‎ ‎∴CD==8（米）．‎ 故答案为：8．‎ ‎【点评】本题综合考查了平面镜反射和相似形的知识，关键是根据相似三角形在测量中的应用分析．‎ ‎　‎ ‎7．如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则网球的击球的高度h为　1.4　．‎ ‎【考点】相似三角形的应用． ‎ ‎【分析】判断出△ABC和△AED相似，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：由题意得，DE∥BC，‎ 所以，△ABC∽△AED，‎ 所以，=，‎ 即=，‎ 解得h=1.4m．‎ 故答案为：1.4．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，熟记性质并列出比例式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．如图，为了测量一水塔的高度，小强用2米的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、水塔的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8米，与水塔相距32米，则水塔的高度为　10　米．‎ ‎【考点】相似三角形的应用． ‎ ‎【分析】由已知可得BC∥DE，因此△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质可求得水塔的高度．‎ ‎【解答】解：∵BC⊥AD，ED⊥AD，‎ ‎∴BC∥DE，‎ ‎∴△ABC∽△ADE，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴DE=10，即水塔的高度是10米．‎ 故答案为：10．‎ ‎【点评】本题考查了考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是能利用比例式求解线段长．‎ ‎　‎ ‎9．如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为　18　cm．‎ ‎【考点】相似三角形的应用． ‎ ‎【分析】根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答．‎ ‎【解答】解：∵DE∥BC，‎ ‎∴△AED∽△ABC ‎∴=‎ 设屏幕上的小树高是x，则=‎ 解得x=18cm．故答案为：18．‎ ‎【点评】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．‎ ‎　‎ ‎10．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为　15　m．‎ ‎【考点】相似三角形的应用． ‎ ‎【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：设旗杆高度为x米，‎ 由题意得，=，‎ 解得x=15．‎ 故答案为：15．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．‎ ‎　‎ ‎11．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木竿PQ的长度为　2.3　m．‎ ‎【考点】相似三角形的应用． ‎ ‎【专题】几何图形问题．‎ ‎【分析】先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长，再根据此影长列出比例式即可．‎ ‎【解答】解：过N点作ND⊥PQ于D，‎ ‎∴，‎ 又∵AB=2，BC=1.6，PM=1.2，NM=0.8，‎ ‎∴QD==1.5，‎ ‎∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3（m）．‎ 故答案为：2.3．‎ ‎【点评】在运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型，然后列出相关数据的比例关系式，从而求出结论．‎ ‎　‎ ‎12．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为　1.5米　．‎ ‎【考点】相似三角形的应用． ‎ ‎【分析】根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解．‎ ‎【解答】解：∵DE∥BC，‎ ‎∴△ADE∽△ACB，即=，‎ 则=，‎ ‎∴h=1.5m．‎ 故答案为：1.5米．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．‎ ‎　‎ ‎13．如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为　9　m．‎ ‎【考点】相似三角形的应用． ‎ ‎【专题】几何图形问题．‎ ‎【分析】根据△OCD和△OAB相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．‎ ‎【解答】解：由题意得，CD∥AB，‎ ‎∴△OCD∽△OAB，‎ ‎∴=，‎ 即=，‎ 解得AB=9．‎ 故答案为：9．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的应用，是基础题，熟记相似三角形对应边成比例是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为　5　米．‎ ‎【考点】相似三角形的应用． ‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．‎ ‎【解答】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，‎ 根据相似三角形的性质可知=，即=，‎ 解得AM=5m．则小明的影长为5米．‎ ‎【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．‎ ‎　‎ ‎15．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为　12　m．‎ ‎【考点】相似三角形的应用． ‎ ‎【专题】应用题．‎ ‎【分析】先根据题意得出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值．‎ ‎【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，‎ ‎∴EB∥DC，‎ ‎∴△ABE∽△ACD，‎ ‎∴=，‎ ‎∵BE=1.5，AB=2，BC=14，‎ ‎∴AC=16，‎ ‎∴=，‎ ‎∴CD=12．‎ 故答案为：12．‎ ‎【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG=15里，HG经过A点，则FH=　1.05　里．‎ ‎【考点】相似三角形的应用． ‎ ‎【专题】几何图形问题．‎ ‎【分析】首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可．‎ ‎【解答】解：EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过A点，‎ ‎∴FA∥EG，EA∥FH，‎ ‎∴∠HFA=∠AEG=90°，∠FHA=∠EAG，‎ ‎∴△GEA∽△AFH，‎ ‎∴．‎ ‎∵AB=9里，DA=7里，EG=15里，‎ ‎∴FA=3.5里，EA=4.5里，‎ ‎∴，‎ 解得：FH=1.05里．‎ 故答案为：1.05．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形，难度不大．‎ ‎　‎ ‎17．如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是　54　米．‎ ‎【考点】相似三角形的应用． ‎ ‎【专题】几何图形问题；压轴题．‎ ‎【分析】根据题意可得出△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，‎ ‎∴AB∥CD∥EF，‎ ‎∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，‎ ‎∴=，=，‎ ‎∵CD=DG=EF=2m，DF=52m，FH=4m，‎ ‎∴=，‎ ‎=，‎ ‎∴=，‎ 解得BD=52m，‎ ‎∴=，‎ 解得AB=54m．‎ 故答案为：54．‎ ‎【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．同一时刻，物体的高与影子的长成比例，某一时刻，高1.6m的人影长为1.2m，一电线杆影长为9m，则电线杆的高为　12　m．‎ ‎【考点】相似三角形的应用． ‎ ‎【分析】根据在同一地点，物体的实际高度与它的影子的长度的比值一定，由此判断物体的实际高度与它的影子的长度成正比例，设出未知数，列出比例解答即可．‎ ‎【解答】解：设这根电线杆的高度是x米，‎ ‎1.6：1.2=x：9，‎ 解得：x=12．‎ 故答案为：12．‎ ‎【点评】考查了相似三角形的应用，解答此题的关键是，根据题意，先判断哪两种相关联的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例；再列出比例解答即可．‎ ‎　‎ 三、解答题（共12小题）‎ ‎19．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．‎ ‎【考点】相似三角形的应用． ‎ ‎【分析】根据题意可得：△DEF∽△DCA，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：由题意可得：△DEF∽△DCA，‎ 则=，‎ ‎∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m，DC=20m，‎ ‎∴=，‎ 解得：AC=10，‎ 故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m），‎ 答：旗杆的高度为11.5m．‎ ‎【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△DEF∽△DCA是解题关键．‎ ‎　‎ ‎20．晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．（结果精确到0.01米）‎ ‎【考点】相似三角形的应用． ‎ ‎【分析】先证明△CAD～△MND，利用相似三角形的性质求得MN=9.6，再证明△EFB～△MFN，即可解答．‎ ‎【解答】解：由题意得：∠CAD=∠MND=90°，∠CDA=∠MDN，‎ ‎∴△CAD～△MND，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴MN=9.6，‎ 又∵∠EBF=∠MNF=90°，‎ ‎∠EFB=∠MFN，‎ ‎∴△EFB～△MFN，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴EB≈1.75，‎ ‎∴小军身高约为1.75米．‎ ‎【点评】本题考查的是相似三角形的判定及性质，解答此题的关键是相似三角形的判定．‎ ‎　‎ ‎21．如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．‎ ‎（1）该小组的同学在这里利用的是　平行　投影的有关知识进行计算的；‎ ‎（2）试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．‎ ‎【考点】相似三角形的应用；平行投影． ‎ ‎【分析】（1）这是利用了平行投影的有关知识；‎ ‎（2）过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N．利用矩形的性质和平行投影的知识可以得到比例式：=，即=，由此求得CD即电线杆的高度即可．‎ ‎【解答】解：（1）该小组的同学在这里利用的是 平行投影的有关知识进行计算的；‎ 故答案是：平行；‎ ‎（2）过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N．‎ 则MB=EF=2，ND=GH=3，ME=BF=10，NG=DH=5．‎ 所以AM=10﹣2=8，‎ 由平行投影可知，=，即=，‎ 解得CD=7，即电线杆的高度为7米．‎ ‎【点评】本题考查了平行投影，相似三角形的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．‎ ‎　‎ ‎22．（1）如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的直线距离．‎ ‎（2）列方程（组）或不等式（组）解应用题：‎ ‎2015年的5月20日是第15个中国学生营养日，我市某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如表）． ‎ ‎ 信息 ‎1、快餐成分：蛋白质、脂肪、碳水化合物和其他 ‎2、快餐总质量为400克 ‎3、碳水化合物质量是蛋白质质量的4倍 若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，求这份快餐最多含有多少克的蛋白质？‎ ‎【考点】相似三角形的应用；一元一次不等式的应用． ‎ ‎【分析】（1）先根据相似三角形的判定得出△ABC相似与△AMN，再利用相似三角形的性质解答即可；‎ ‎（2）设这份快餐含有x克的蛋白质，根据所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，列出不等式，求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）在△ABC与△AMN中，‎ ‎∠A=∠A，，‎ ‎∴△ABC∽△AMN，‎ ‎∴，即，‎ 解得：MN=1.5千米，‎ 答：M、N两点之间的直线距离是1.5千米；‎ ‎（2）设这份快餐含有x克的蛋白质，‎ 根据题意可得：x+4x≤400×70%，‎ 解不等式，得x≤56．‎ 答：这份快餐最多含有56克的蛋白质．‎ ‎【点评】此题考查相似三角形和一元一次不等式的应用，关键是根据相似三角形的判定和性质解答问题，读懂题意，找出题目中的数量关系，列出不等式，本题的数量关系是所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%．‎ ‎　‎ ‎23．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．‎ ‎（1）求证：△AEF∽△ABC；‎ ‎（2）求这个正方形零件的边长；‎ ‎（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？‎ ‎【考点】相似三角形的应用；二次函数的应用． ‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】（1）根据矩形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可．‎ ‎（2）设正方形零件的边长为x mm，则KD=EF=x，AK=80﹣x，根据EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果；‎ ‎（3）根据矩形面积公式得到关于x的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形EGFH为矩形，‎ ‎∴BC∥EF，‎ ‎∴△AEF∽△ABC；‎ ‎（2）设正方形零件的边长为x mm，则KD=EF=x，AK=80﹣x，‎ ‎∵EF∥BC，‎ ‎∴△AEF∽△ABC，‎ ‎∵AD⊥BC，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得x=48．‎ 答：正方形零件的边长为48mm．‎ ‎（3）设EF=x，EG=y，‎ ‎∵△AEF∽△ABC ‎∴，‎ ‎∴=‎ ‎∴y=80﹣x ‎∴矩形面积S=xy=﹣x2+80x=﹣（x﹣60）2+2400（0＜x＜120）‎ 故当x=60时，此时矩形的面积最大，最大面积为2400mm2．‎ ‎【点评】本题考查了正方形以及矩形的性质，结合了平行线的比例关系求解，注意数形结合的运用．‎ ‎　‎ ‎24．某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）．‎ ‎①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；‎ ‎②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米．‎ 根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？‎ ‎【考点】相似三角形的应用． ‎ ‎【专题】几何图形问题．‎ ‎【分析】根据题意求出∠BAD=∠BCE，然后根据两组角对应相等，两三角形相似求出△BAD和△BCE相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．‎ ‎【解答】解：由题意得，∠BAD=∠BCE，‎ ‎∵∠ABD=∠CBE=90°，‎ ‎∴△BAD∽△BCE，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ 解得BD=13.6．‎ 答：河宽BD是13.6米．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息得到两三角形相等的角并确定出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．‎ ‎　‎ ‎25．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯CD的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．‎ ‎【考点】相似三角形的应用． ‎ ‎【专题】应用题．‎ ‎【分析】根据AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA得到MA∥CD∥BN，从而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．‎ ‎【解答】方法一：‎ 解：设CD长为x米，‎ ‎∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA ‎∴MA∥CD∥BN ‎∴EC=CD=x ‎∴△ABN∽△ACD，‎ ‎∴‎ 即 解得：x=6.125≈6.1．‎ 经检验，x=6.125是原方程的解，‎ ‎∴路灯高CD约为6.1米．‎ 方法二：‎ 解：连接MN，并延长交CD于点F，设DF=xm，‎ 则MN∥AB，AB=MN=1.25m，MF=AC，‎ ‎∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA ‎∴∠EMA=∠MDF=45°‎ ‎∴DF=MF=AC=xm，‎ DC=DF+AM=x+1.75m，‎ ‎∵MF∥AC ‎∴==，‎ 即=，‎ 解得：x=4.375m，‎ ‎∴DC=4.375+1.75=6.125m≈6.1m，‎ ‎∴路灯高CD约为6.1米．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形．‎ ‎　‎ ‎26．如图，是一个照相机成像的示意图．‎ ‎（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？‎ ‎（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？‎ ‎【考点】相似三角形的应用． ‎ ‎【分析】（1）利用相似三角形对应边上的高等于相似比即可列出比例式求解；‎ ‎（2）和上题一样，利用物体的高和拍摄点距离物体的距离及像高表示求相机的焦距即可．‎ ‎【解答】解：根据物体成像原理知：△LMN∽△LBA，‎ ‎∴．‎ ‎（1）∵像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，‎ ‎∴，‎ 解得：LD=7，‎ ‎∴拍摄点距离景物7米；‎ ‎（2）拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，‎ ‎∴，‎ 解得：LC=70，‎ ‎∴相机的焦距应调整为70mm．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据题意得到相似三角形，并熟知相似三角形对应边上的高的比等于相似比．‎ ‎　‎ ‎27．某兴趣小组开展课外活动．如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C，E，G在一条直线上）．‎ ‎（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；‎ ‎（2）求小明原来的速度．‎ ‎【考点】相似三角形的应用；中心投影． ‎ ‎【分析】（1）利用中心投影的定义画图；‎ ‎（2）设小明原来的速度为xm/s，则CE=2xm，AM=AF﹣MF=（4x﹣1.2）m，EG=2×1.5x=3xm，BM=AB﹣AM=12﹣（4x﹣1.2）=13.2﹣4x，根据相似三角形的判定方法得到△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，则=，=，所以=，即=，然后解方程解决．‎ ‎【解答】解：（1）如图，‎ ‎（2）设小明原来的速度为xm/s，则CE=2xm，AM=AF﹣MF=（4x﹣1.2）m，EG=2×1.5x=3xm，BM=AB﹣AM=12﹣（4x﹣1.2）=13.2﹣4x，‎ ‎∵点C，E，G在一条直线上，CG∥AB，‎ ‎∴△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，‎ ‎∴=，=，‎ ‎∴=，即=，解得x=1.5，‎ 经检验x=1.5为方程的解，‎ ‎∴小明原来的速度为1.5m/s．‎ 答：小明原来的速度为1.5m/s．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的应用：从实际问题中抽象出几何图形，然后利用相似比计算相应线段的长．也考查了中心投影．‎ ‎　‎ ‎28．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．‎ ‎（1）求证：△BEF∽△CDF；‎ ‎（2）求CF的长．‎ ‎【考点】相似三角形的应用． ‎ ‎【专题】几何综合题．‎ ‎【分析】（1）利用“两角法”证得这两个三角形相似；‎ ‎（2）由（1）中相似三角形的对应边成比例来求线段CF的长度．‎ ‎【解答】（1）证明：如图，在矩形ABCD中：∠DFC=∠EFB，∠EBF=∠FCD=90°，‎ ‎∴△BEF∽△CDF；‎ ‎（2）解：∵由（1）知，△BEF∽△CDF．‎ ‎∴=，即=，‎ 解得：CF=169．‎ 即：CF的长度是169cm．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的应用．此题利用了“相似三角形的对应边成比例”推知所求线段CF与已知线段间的数量关系的．‎ ‎　‎ ‎29．课本中有一道作业题：‎ 有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm ‎．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？‎ 小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．‎ ‎（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．‎ ‎（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．‎ ‎【考点】相似三角形的应用；二次函数的最值． ‎ ‎【专题】几何综合题．‎ ‎【分析】（1）设PN=2y（mm），则PQ=y（mm），然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可；‎ ‎（2）设PN=x，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答．‎ ‎【解答】解：（1）设矩形的边长PN=2y（mm），则PQ=y（mm），由条件可得△APN∽△ABC，‎ ‎∴=，‎ 即=，‎ 解得y=，‎ ‎∴PN=×2=（mm），‎ 答：这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm；‎ ‎（2）设PN=x（mm），矩形PQMN的面积为S（mm2），‎ 由条件可得△APN∽△ABC，‎ ‎∴=，‎ 即=，‎ 解得PQ=80﹣x．‎ ‎∴S=PN•PQ=x（80﹣x）=﹣x2+80x=﹣（x﹣60）2+2400，‎ ‎∴S的最大值为2400mm2，此时PN=60mm，PQ=80﹣×60=40（mm）．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题的关键，此题规律性较强，是道好题．‎ ‎　‎ ‎30．为了测量旗杆AB的高度．甲同学画出了示意图1，并把测量结果记录如下，BA⊥EA于A，DC⊥EA于C，CD=a，CA=b，CE=c；乙同学画出了示意图2，并把测量结果记录如下，DE⊥AE于E，BA⊥AE于A，BA⊥CD于C，DE=m，AE=n，∠BDC=α．‎ ‎（1）请你帮助甲同学计算旗杆AB的高度（用含a、b、c的式子表示）；‎ ‎（2）请你帮助乙同学计算旗杆AB的高度（用含m、n、α的式子表示）．‎ ‎【考点】相似三角形的应用；解直角三角形的应用． ‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】（1）根据DC⊥AE，BA⊥AE判定△ECD∽△EAB，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式，从而用含有a、b、c的式子表示AB即可；‎ ‎（2）首先在直角三角形DBC中用n和α表示出线段BC，然后再表示出AB即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵DC⊥AE，BA⊥AE ‎∴△ECD∽△EAB，‎ ‎∴‎ 即：‎ ‎∴；‎ ‎（2）∵AE⊥AB，DC⊥AB，DE⊥AE ‎∴DC=AE=n，AC=DE=m 在Rt△DBC中，=tanα，‎ ‎∴BC=n•tanα ‎∴AB=BC+AC=n•tanα+m ‎【点评】本题考查了相似三角形的应用及解直角三角形的应用，解决本题的关键是根据题目的条件判定相似三角形．‎ 湘教版九年级数学上册第4单元测试题 ‎（时间：90分钟 分值：120分）‎ 一．选择题（共10小题）‎ ‎1．利用计算器求sin30°时，依次按键，则计算器上显示的结果是（ ）‎ A．0.5 B．0.707 C．0.866 D．1‎ ‎2．Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA=，那么tanA等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知sinα•cosα=，45°＜α＜90°，则cosα﹣sinα=（ ）‎ A． B．﹣ C． D．±‎ ‎4．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（ ）‎ A．bcosB=c B．csinA=a C．atanA=b D．‎ ‎7．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是（ ）‎ A．b=atanB B．a=ccosB C． D．a=bcosA ‎8．如果∠A为锐角，且sinA=0.6，那么（ ）‎ A．0°＜A≤30° B．30°＜A＜45° C．45°＜A＜60° D．60°＜A≤90°‎ ‎9．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（ ）‎ A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°‎ ‎10．下面四个数中，最大的是（ ）‎ A． B．sin88° C．tan46° D．‎ 二．填空题（共8小题）‎ ‎11．用“＞”或“＜”填空：sin50°×cos40°﹣ 0．（可用计算器计算）‎ ‎12．已知∠A为锐角，且，那么∠A的范围是 ．‎ ‎13．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA= ．‎ ‎14．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是 ．‎ ‎ ‎ ‎15．如图，当小杰沿坡度i=1：5的坡面由B到A行走了26米时，小杰实际上升高度AC= ‎ ‎ 米．（可以用根号表示）‎ ‎ ‎ ‎16．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是 ．‎ ‎ ‎ ‎17．如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为 cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．‎ ‎ ‎ ‎18．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为 m（结果保留根号）．‎ ‎ ‎ 三．解答题（共8小题）‎ ‎19．在△ABC中，∠B、∠C 均为锐角，其对边分别为b、c，求证：=．‎ ‎20．计算：﹣2sin45°﹣32．‎ 温馨提示：你只需选择下列一种方式来解答本题．如果两种方式都做，我们将根据做得较好的一种来评分，但你有可能会浪费一部分时间！‎ 方式一：（用计算器计算）计算的结果是 ﹣9 ．‎ 按键顺序为：‎ 方式二：（不用计算器计算）‎ ‎21．计算：6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°‎ ‎22．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；‎ ‎（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；‎ ‎（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“=”）‎ 若∠α=45°，则sinα = cosα；若∠α＜45°，则sinα ＜ cosα；若∠α＞45°，则sinα ＞ cosα；‎ ‎（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：‎ sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．‎ ‎ ‎ ‎23．如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（6，y），且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是，求角α的正弦值．‎ ‎ ‎ ‎24．如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：‎ ‎（1）BC的长；‎ ‎（2）sin∠ADC的值．‎ ‎ ‎ ‎25．为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为m．‎ ‎（1）求BT的长（不考虑其他因素）．‎ ‎（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．某人以20km/h的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理由．‎ ‎（参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin31°≈，tan31°≈）‎ ‎26．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i=：3．若新坡角外需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）‎ ‎ ‎ 参考答案：‎ 一．选择题（共10小题）‎ ‎1．利用计算器求sin30°时，依次按键，则计算器上显示的结果是（ ）‎ A．0.5 B．0.707 C．0.866 D．1‎ ‎【考点】计算器—三角函数．‎ ‎【分析】本题要求同学们能熟练应用计算器．‎ ‎【解答】解：依次按键，显示的是sin30°的值，即0.5．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题结合计算器的用法，旨在考查特殊角三角函数值，需要同学们熟记有关特殊角的三角函数值．‎ ‎ ‎ ‎2．Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA=，那么tanA等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】同角三角函数的关系．‎ ‎【分析】根据cosA=设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出tanA的值．‎ ‎【解答】解：∵cosA=知，设b=3x，则c=5x，根据a2+b2=c2得a=4x．‎ ‎∴tanA===．‎ 故选A．‎ ‎【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．‎ ‎ ‎ ‎3．已知sinα•cosα=，45°＜α＜90°，则cosα﹣sinα=（ ）‎ A． B．﹣ C． D．±‎ ‎【考点】同角三角函数的关系．‎ ‎【分析】利用完全平方公式将原式转化为关于同角的三角函数的关系cos2α+sin2α=1来进行解答．‎ ‎【解答】解：∵45°＜α＜90°，‎ ‎∴cosα﹣sinα＜0‎ 又∵（cosα﹣sinα）2=cos2α+sin2α﹣2sinα•cosα=1﹣=，‎ ‎∴cosα﹣sinα=﹣=﹣．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题利用了同角的三角函数的关系cos2α+sin2α=1来进行变形，注意角的范围，cosα﹣sinα的结果是小于0的．‎ ‎ ‎ ‎4．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】互余两角三角函数的关系．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B．‎ ‎【解答】解：∵sinA=，‎ ‎∴设BC=5x，AB=13x，‎ 则AC==12x，‎ 故tan∠B==．‎ 故选：D．‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．‎ ‎ ‎ ‎5．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】互余两角三角函数的关系．‎ ‎【分析】根据三角函数定义解答．‎ ‎【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，‎ 设BC=3x，则AB=5x，‎ ‎∴AC=4x．‎ ‎∴cosB==．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题可以考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．‎ ‎ ‎ ‎6．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（ ）‎ A．bcosB=c B．csinA=a C．atanA=b D．‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理．‎ ‎【分析】由于a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠C=90°，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项．‎ ‎【解答】解：∵a2+b2=c2，‎ ‎∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，‎ ‎∴sinA=，‎ 即csinA=a，‎ ‎∴B选项正确．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理．‎ ‎ ‎ ‎7．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是（ ）‎ A．b=atanB B．a=ccosB C． D．a=bcosA ‎【考点】锐角三角函数的定义．‎ ‎【专题】应用题．‎ ‎【分析】根据三角函数的定义就可以解决．‎ ‎【解答】解：∵∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，‎ ‎∴A、tanB=，则b=atanB，故本选项正确，‎ B、cosB=，故本选项正确，‎ C、sinA=，故本选项正确，‎ D、cosA=，故本选项错误，‎ 故选D．‎ ‎【点评】此题考查直角三角形中两锐角的三角函数之间的关系，难度适中．‎ ‎ ‎ ‎8．如果∠A为锐角，且sinA=0.6，那么（ ）‎ A．0°＜A≤30° B．30°＜A＜45° C．45°＜A＜60° D．60°＜A≤90°‎ ‎【考点】锐角三角函数的增减性．‎ ‎【分析】由sin30°==0.5，sin45°=≈0.707，sinA=0.6，且sinα随α的增大而增大，即可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵sin30°==0.5，sin45°=≈0.707，sinA=0.6，且sinα随α的增大而增大，‎ ‎∴30°＜A＜45°．‎ 故选B．‎ ‎【点评】此题考查了正弦函数的增减性与特殊角的三角函数值．此题难度不大，注意掌握sinα随α的增大而增大．‎ ‎ ‎ ‎9．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（ ）‎ A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°‎ ‎【考点】锐角三角函数的增减性． ‎ ‎【专题】应用题．‎ ‎【分析】先由特殊角的三角函数值及余弦函数随锐角的增大而减小，得出45°＜α＜90°；再由特殊角的三角函数值及正切函数随锐角的增大而增大，得出0＜α＜60°；从而得出45°＜α＜60°．‎ ‎【解答】解：∵α是锐角，‎ ‎∴cosα＞0，‎ ‎∵cosα＜，‎ ‎∴0＜cosα＜，‎ 又∵cos90°=0，cos45°=，‎ ‎∴45°＜α＜90°；‎ ‎∵α是锐角，‎ ‎∴tanα＞0，‎ ‎∵tanα＜，‎ ‎∴0＜tanα＜，‎ 又∵tan0°=0，tan60°=，‎ ‎0＜α＜60°；‎ 故45°＜α＜60°．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．‎ ‎ ‎ ‎10．下面四个数中，最大的是（ ）‎ A． B．sin88° C．tan46° D．‎ ‎【考点】计算器—三角函数；无理数．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用计算器求出数值，再计算即可．‎ ‎【解答】解：A、﹣≈2.236﹣1.732≈0.504；‎ B、sin88°≈0.999；‎ C、tan46°≈1.036；‎ D、≈≈0.568．‎ 故tan46°最大，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题结合计算器的用法，旨在考查对基本概念的应用能力．‎ ‎ ‎ 二．填空题（共8小题）‎ ‎11．用“＞”或“＜”填空：sin50°×cos40°﹣ ＞ 0．（可用计算器计算）‎ ‎【考点】计算器—三角函数．‎ ‎【分析】熟练应用计算器，对计算器给出的结果，精确到千分位，再根据有理数的大小比较，可得答案．‎ ‎【解答】解：sin50°×cos40°﹣=0.766×0.766﹣=0.586﹣0.5=0.086＞0，‎ 故答案为：＞．‎ ‎【点评】本题考查了计算器，结合算器的用法，再取近似数．‎ ‎ ‎ ‎12．已知∠A为锐角，且，那么∠A的范围是 60°≤A＜90° ．‎ ‎【考点】锐角三角函数的增减性．‎ ‎【专题】常规题型．‎ ‎【分析】首先明确cos60°=，再根据余弦函数值随角增大而减小进行分析．‎ ‎【解答】解：∵cos60°=，余弦函数值随角增大而减小，‎ ‎∴当cosA≤时，∠A≥60°．‎ 又∵∠A是锐角，‎ ‎∴60°≤∠A＜90°．‎ 故答案为：60°≤A＜90°．‎ ‎【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性．熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．‎ ‎ ‎ ‎13．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA= ．‎ ‎【考点】同角三角函数的关系．‎ ‎【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答．‎ ‎【解答】解：由sinA==知，可设a=3x，则c=5x，b=4x．‎ ‎∴tanA===．‎ ‎【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．‎ ‎ ‎ ‎14．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是 ．‎ ‎ ‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理．‎ ‎【分析】首先连接AB，由勾股定理易求得OA2=12+32=10，AB2=12+32=10，OB2=22+42=20，然后由勾股定理的逆定理，可证得△AOB是等腰直角三角形，继而可求得cos∠AOB的值．‎ ‎【解答】解：连接AB，‎ ‎∵OA2=12+32=10，AB2=12+32=10，OB2=22+42=20，‎ ‎∴OA2+AB2=OB2，OA=AB，‎ ‎∴△AOB是等腰直角三角形，即∠OAB=90°，‎ ‎∴∠AOB=45°，‎ ‎∴cos∠AOB=cos45°=．‎ 故答案为：．‎ ‎ ‎ ‎【点评】此题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理以及勾股定理的逆定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．‎ ‎ ‎ ‎15．如图，当小杰沿坡度i=1：5的坡面由B到A行走了26米时，小杰实际上升高度AC= 米．（可以用根号表示）‎ ‎ ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题． ‎ ‎【专题】数形结合．‎ ‎【分析】由坡度易得AC与BC的比为1：5，设出相应未知数，利用勾股定理可得AC的长度．‎ ‎【解答】解：∵坡度i=1：5，‎ ‎∴AC与BC的比为1：5，‎ 设AC为x，则BC为5x，‎ ‎∴x2+（5x）2=262，‎ ‎∵x＞0，‎ ‎∴x=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形及勾股定理；理解坡度的意义是解决本题的关键．‎ ‎ ‎ ‎16．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是 4.8 ．‎ ‎ ‎ ‎【考点】解直角三角形；菱形的性质．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x﹣2，解直角△ABE即可求得x的值，即可求得BE、AE的值，根据AB、PE的值和△ABE的面积，即可求得PE的最小值．‎ ‎【解答】解：设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x﹣2，‎ 因为AE⊥BC于E，‎ 所以在Rt△ABE中，cosB=，又cosB=，‎ 于是，‎ 解得x=10，即AB=10．‎ 所以易求BE=8，AE=6，‎ 当EP⊥AB时，PE取得最小值．‎ 故由三角形面积公式有：AB•PE=BE•AE，‎ 求得PE的最小值为4.8．‎ 故答案为 4.8．‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查了余弦函数在直角三角形中的运用、三角形面积的计算和最小值的求值问题，求PE的值是解题的关键．‎ ‎ ‎ ‎17．如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为 14.1 cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．‎ ‎ ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用．‎ ‎【分析】作BE⊥CD于E，根据等腰三角形的性质和∠CBD=40°，求出∠CBE的度数，根据余弦的定义求出BE的长．‎ ‎【解答】解：如图2，作BE⊥CD于E，‎ ‎∵BC=BD，∠CBD=40°，‎ ‎∴∠CBE=20°，‎ 在Rt△CBE中，cos∠CBE=，‎ ‎∴BE=BC•cos∠CBE ‎=15×0.940‎ ‎=14.1cm．‎ 故答案为：14.1．‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，作出合适的辅助线构造直角三角形是解题的重要环节．‎ ‎ ‎ ‎18．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为 10 m（结果保留根号）．‎ ‎ ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ ‎【分析】由题意得，在直角三角形ACB中，知道了已知角的邻边求对边，用正切函数计算即可．‎ ‎【解答】解：∵自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，‎ ‎∴∠ABC=30°，‎ ‎∴AC=AB•tan30°=30×=10（米）．‎ ‎∴楼的高度AC为10米．‎ 故答案为：10．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．‎ ‎ ‎ 三．解答题（共8小题）‎ ‎19．在△ABC中，∠B、∠C 均为锐角，其对边分别为b、c，求证：=．‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】如图，过A作AD⊥BC于D，如果利用三角函数可以分别在△ABD和△ADC中可以得到sinsB，sinC的表达式，由此即可证明题目的结论．‎ ‎【解答】证明：过A作AD⊥BC于D，‎ 在Rt△ABD中，sinB=，‎ ‎∴AD=ABsinB，‎ 在Rt△ADC中，sinC=，‎ ‎∴AD=ACsinC，‎ ‎∴ABsinB=ACsinC，‎ 而AB=c，AC=b，‎ ‎∴csinB=bsinC，‎ ‎∴=．‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．解题的关键是作辅助线把普通三角形转化为直角三角形解决问题．‎ ‎ ‎ ‎20．计算：﹣2sin45°﹣32．‎ 温馨提示：你只需选择下列一种方式来解答本题．如果两种方式都做，我们将根据做得较好的一种来评分，但你有可能会浪费一部分时间！‎ 方式一：（用计算器计算）计算的结果是 ﹣9 ．‎ 按键顺序为：‎ 方式二：（不用计算器计算）‎ ‎【考点】计算器—三角函数；特殊角的三角函数值．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】选择不用计算器计算，简便且节约时间．‎ ‎【解答】方式一：（用计算器计算）‎ 计算的结果是﹣9．‎ 按键顺序为：（以卡西欧计算器为例）‎ ‎ ‎ 方式二：（不用计算器计算）‎ 原式=﹣9‎ ‎=﹣9‎ ‎=﹣9．‎ ‎【点评】主要考查特殊三角函数值和二次根式的运算，比较容易．‎ ‎ ‎ ‎21．计算：6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°‎ ‎【考点】特殊角的三角函数值．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】分别把tan30°=，sin60°=，sin45°=代入原式计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°‎ ‎=‎ ‎=﹣．‎ 故答案为﹣．‎ ‎【点评】本题主要考查的是特殊角的三角函数值的知识点，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．‎ ‎ ‎ ‎22．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；‎ ‎（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；‎ ‎（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“=”）‎ 若∠α=45°，则sinα = cosα；若∠α＜45°，则sinα ＜ cosα；若∠α＞45°，则sinα ＞ cosα；‎ ‎（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：‎ sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．‎ ‎ ‎ ‎【考点】锐角三角函数的增减性．‎ ‎【专题】探究型．‎ ‎【分析】（1）根据锐角三角函数的概念，即可发现随着一个锐角的增大，它的对边在逐渐增大，它的邻边在逐渐减小，故正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小．‎ ‎（2）根据上述规律，要比较锐角三角函数值的大小，只需比较角的大小．‎ ‎（3）根据概念以及等腰三角形的性质，显然45°的正弦值和余弦值是相等的，再根据锐角三角函数值的变化规律，即可得到结论．‎ ‎（4）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较．‎ ‎【解答】解：（1）在图（1）中，令AB1=AB2=AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，‎ 显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．‎ ‎∵sin∠B1AC=，sin∠B2AC=，sin∠B3AC=，‎ 而＞＞．‎ ‎∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．‎ 在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C=90°，‎ cos∠B1AC=，cos∠B2AC=，cos∠B3AC=，‎ ‎∵AB3＞AB2＞AB1，‎ ‎∴＜＜．‎ 即cos∠B3AC＜cos∠B2AC＜cos∠B1AC．‎ ‎ ‎ ‎（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；‎ cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．‎ ‎ ‎ ‎（3）若∠α=45°，则sinα=cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．‎ ‎ ‎ ‎（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．‎ ‎【点评】理解锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数值的变化规律以及正余弦的转换方法．‎ ‎ ‎ ‎23．如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（6，y），且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是，求角α的正弦值．‎ ‎ ‎ ‎【考点】同角三角函数的关系．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】首先由点P向x轴引垂线，结合锐角三角函数值和点P的横坐标，求得点P的纵坐标；‎ 再根据勾股定理求得构造的直角三角形的斜边，从而求得该角的正弦值．‎ ‎【解答】解：作PC⊥x轴于C．‎ ‎∵tanα=，OC=6‎ ‎∴PC=8．‎ 则OP=10．‎ 则sinα=．‎ ‎ ‎ ‎【点评】综合运用了点的坐标、勾股定理以及锐角三角函数的概念．‎ ‎ ‎ ‎24．如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：‎ ‎（1）BC的长；‎ ‎（2）sin∠ADC的值．‎ ‎ ‎ ‎【考点】解直角三角形．‎ ‎【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，根据cosC=，求出∠C=45°，求出AE=CE=1，根据tanB=，求出BE的长即可；‎ ‎（2）根据AD是△ABC的中线，求出BD的长，得到DE的长，得到答案．‎ ‎【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，‎ ‎∵cosC=，‎ ‎∴∠C=45°，‎ 在Rt△ACE中，CE=AC•cosC=1，‎ ‎∴AE=CE=1，‎ 在Rt△ABE中，tanB=，即=，‎ ‎∴BE=3AE=3，‎ ‎∴BC=BE+CE=4；‎ ‎（2）∵AD是△ABC的中线，‎ ‎∴CD=BC=2，‎ ‎∴DE=CD﹣CE=1，‎ ‎∵AE⊥BC，DE=AE，‎ ‎∴∠ADC=45°，‎ ‎∴sin∠ADC=．‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．‎ ‎ ‎ ‎25．为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为m．‎ ‎（1）求BT的长（不考虑其他因素）．‎ ‎（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．某人以20km/h的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理由．‎ ‎（参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin31°≈，tan31°≈）‎ ‎ ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用． ‎ ‎【分析】（1）在直角△ACT中，根据三角函数的定义，若AT=3x，则CT=5x，在直角△‎ ABT中利用三角函数即可列方程求解；‎ ‎（2）求出正常人作出反应过程中电动车行驶的路程，加上刹车距离，然后与BT的长进行比较即可．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意及图知：∠ACT=31°，∠ABT=22°‎ ‎∵AT⊥MN ‎∴∠ATC=90°‎ 在Rt△ACT中，∠ACT=31°‎ ‎∴tan31°=‎ 可设AT=3x，则CT=5x 在Rt△ABT中，∠ABT=22°‎ ‎∴tan22°=‎ 即：‎ 解得：‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎∴该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形，正确利用三角函数列出方程进行求解，正确理解方程思想是关键．‎ ‎ ‎ ‎26．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i=：3．若新坡角外需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）‎ ‎ ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．‎ ‎【专题】应用题．‎ ‎【分析】需要拆除，理由为：根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，求出AB的长，在直角三角形BCD中，根据新坡面的坡度求出∠‎ BDC的度数为30，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出DC的长，再利用勾股定理求出DB的长，由DB﹣AB求出AD的长，由AD+3与10比较即可得到结果．‎ ‎【解答】解：需要拆除，理由为：‎ ‎∵CB⊥AB，∠CAB=45°，‎ ‎∴△ABC为等腰直角三角形，‎ ‎∴AB=BC=10米，‎ 在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i=：3，即∠CDB=30°，‎ ‎∴DC=2BC=20米，BD==10米，‎ ‎∴AD=BD﹣AB=（10﹣10）米≈7.32米，‎ ‎∵3+7.32=10.32＞10，‎ ‎∴需要拆除．‎ ‎【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，涉及的知识有：勾股定理，等腰直角三角形的性质，含30度直角三角形的性质，坡角与坡度之间的关系，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．‎ ‎ ‎