中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义19 轴对称与等腰三角形（学生版）

中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义19 轴对称与等腰三角形（学生版）

专题 19 轴对称与等腰三角形 考点总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点 1 图形的轴对称 轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这 条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫 做轴对称． 轴对称的性质： 1、 关于某条直线对称的两个图形是全等形。 2、 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所在连线段的垂直平分线。 轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称 图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线） 轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂 直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应 点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 轴对称与轴对称图形的联系与区别 画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤： 1. 找到关键点，画出关键点的对应点， 2. 按照原图顺序依次连接各点。 用坐标表示轴对称： 1、点（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标为（-x，y）； 2、点（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标为（x，-y）； 1．（2017·重庆中考模拟）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是( ) A． B． C． D． 2．（2018·河北中考真题）图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（ ） A．l1 B．l2 C．l3 D．l4 3．（2019·内蒙古中考真题）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对 称的是（ ） A． B． C． D． 4．（2018·重庆中考真题）下列图形中一定是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 5．（2019·山东中考真题）下列图形： 其中是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 考查题型一 画对称轴的方法 1．（2016·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点 A（0，1），B（3，2），C（1，4）均 在正方形网格的格点上． （1）画出△ABC 关于 x 轴的对称图形△A1B1C1； （2）将△A1B1C1 沿 x 轴方向向左平移 3 个单位后得到△A2B2C2，写出顶点 A2，B2，C2 的坐标． 2．（2019·广西中考模拟）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，格点三角形（顶点是网格线 的交点的三角形）ABC 的顶点 A，B 的坐标分别为（－4，5），（－2，1）． （1）写出点 C 及点 C 关于 y 轴对称的点 C′的坐标； （2）请作出△ABC 关于 y 轴对称的△A′B′C′； （3）求△ABC 的面积． 3．（2019·甘肃中考模拟）在3 3 的正方形格点图中，有格点 ABC 和 DEF ，且 ABC 和 DEF 关于某 直线成轴对称，请在备用图中画出 4 个这样的 DEF ． 考查题型二 根据轴对称求坐标或字母的取值范围 1．（2013·江苏中考真题）已知点 P（3，2），则点 P 关于 y 轴的对称点 P1 的坐标是 ，点 P 关于原点 O 的对称点 P2 的坐标是 ． 2．在直角坐标系中，已知点 P（-4a，7），Q（8，b+2）根据条件，求 a，b 值 1）P,Q 关于 x 轴对称 2）P,Q 关于 y 轴对称 考查题型三 利用轴对称解决折叠问题 1．（2018·黑龙江中考模拟）如图，将一个矩形纸片 ABCD，沿着 BE 折叠，使 C、D 两点分别落在点 1C 、 1D 处.若 1C BA 50   ，则 ABE 的度数为 ( ) A．10 B． 20 C．30 D． 40 2．（2019·山东中考真题）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时(机 翼间无缝隙)， AOB 的度数是________. 3．（2017·内蒙古中考模拟）把一张长方形纸条按如图所示折叠后，若∠AOB′＝70°，则∠B′OG＝_____． 4．（2012·江苏中考模拟）如图，△ABC 中，AC＝BC，把△ABC 沿 AC 翻折，点 B 落在点 D 处，连接 BD， 若∠ACB＝100°，则∠CBD＝_________° 考查题型四 利用轴对称解决几何最值问题 1．（2019·吉林东北师大附中中考模拟）图①、图②均是 6 6 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点。 点 A 、 B 、 M 、 N 均落在格点上.在图①、图②给定的网格中按要求作图. （1）在图①中的格线 MN 上确定一点 P ，使 PA 与 PB 的长度之和最小; （2）在图②中的格线 MN 上确定一点Q ，使 AQM BQM   . 要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出做法. 2．（2019·余干县瑞洪中学中考模拟）如图,根据要求画图(保留画图的痕迹,可以不写结论) (1)画线段 AB； (2)画射线 BC； (3)在线段 AB 上找一点 P，使点 P 到 A．B．C 三点的距离和最小,并简要说明理由． 3．（2019·天津中考模拟）如图， 是等边三角形， 是 边上的高，点 E 是 边的中点，点 P 是 上的一个动点，当 最小时， 的度数是（ ） A． B． C． D． 知识点 2 线段的垂直平分线 概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线） 性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，到一条线段两个端点距离相等 的点在这条线段的垂直平分线上． 三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边垂直平分线相交于一点，这点到三个顶点的距离相等。交点 叫做三角形的外心。 考查题型五 利用线段的垂直平分线性质解题 1．（2019·北京市通州区姚村中学中考模拟）已知如图，在△ABC 中，∠B＝45°，点 D 是 BC 边的中点，DE ⊥BC 于点 D，交 AB 于点 E，连接 CE． （1）求∠AEC 的度数； （2）请你判断 AE、BE、AC 三条线段之间的等量关系，并证明你的结论． 2．（2017·福建中考模拟）如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线交 BC 于点 D，交 AB 延长线于点 E,连接 CE。 求证：∠BCE=∠A+∠ACB． 3．（2014·福建中考模拟）如图，已知 DE 是 AC 的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，则△ABD 的周长为 __cm． 考查题型六 证明某直线是一条线段的垂直平分线 1．（2019·上饶市第二中学初二期中）如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于 E． （1）若∠BAC=50°，求∠EDA 的度数； （2）求证：直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线． 2．（2018·广东初二期中）如图，已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D 是垂 足，连接 CD，且交 OE 于点 F． （1）求证：OD=OC； （2）求证：OE 是 CD 的垂直平分线； （3）若∠AOB=60°，请你探究 OE，EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论． 考查题型七 垂直平分线与角平分线相结合解题 1．（2019·河北锦玉中学初二期中）如图，在△ABC 中，BC 边上的垂直平分线 DE 与∠BAC 的平分线交于 点 E，EF⊥AB 交 AB 的延长线于点 F，EG⊥AC 于点 G． 求证：（1）BF＝CG； （2）AB+AC＝2AF． 2．如图，已知在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，DE 是 BC 的垂直平分线．试说明 BC ＝2AB． 知识点 3 等腰三角形 等腰三角形概念：有两边相等的三角形角等腰三角形。 等腰三角形性质： 1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一） 等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. 考查题型八 利用等腰三角形的概念解题 1．（2018·辽宁中考模拟）若等腰三角形的一个外角等于 140°，则这个等腰三角形的顶角度数为（ ） A．40° B．100° C．40°或 70° D．40°或 100° 2．（2018·陕西中考模拟）等腰三角形的周长为 16，其一边长为 6，那么它的底边长为（ ） A．4 或 6 B．4 C．6 D．5 3．（2018·湖南中考模拟）一个等腰三角形的两边长分别为 4，8，则它的周长为（ ） A．12 B．16 C．20 D．16 或 20 4．（2017·湖北中考模拟）等腰三角形的一个角是 80°，则它的顶角的度数是（ ） A．80° B．80°或 20° C．80°或 50° D．20° 5．（2016·贵州中考真题）已知 x，y 满足 4 8 0x y    ，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长 是（ ） A．20 或 16 B．20 C．16 D．以上答案都不对 考查题型九 利用等腰三角形的性质求角的度数 1．（2017·山东中考真题）如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 上一点，且 DA＝DC，BD＝BA，则∠B 的大小为( ) A．40° B．36° C．30° D．25° 2．（2019·新疆中考模拟）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC 关于直线 EF 对称， ∠CAF=10°，连接 BB′，则∠ABB′的度数是（ ） A．30° B．35° C．40° D．45° 3．（2015·广西中考真题）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=100°，AB 的垂直平分线 DE 分别交 AB、 BC 于点 D、E，则∠BAE=（ ） A．80° B．60° C．50° D．40° 4．（2018·内蒙古中考真题）如图，在△ABC 中，AB=AC，△ADE 的顶点 D，E 分别在 BC，AC 上，且∠DAE=90°， AD=AE，若∠C+∠BAC=145°，则∠EDC 的度数为（ ） A．17.5° B．12.5° C．12° D．10° 5．（2019·北京中考模拟）如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D，点 E 分别是 BC，AC 上一点，且 DE⊥AD．若 ∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC 的度数． 考查题型十 利用等腰三角形性质定理证明角度相等的方法 1．（2016·广东中考模拟）如图，在∆ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线，BE⊥AC 于点 E. 求证：∠CBE=∠BAD． 2．（2019·四川中考真题）如图，在四边形 ABCD 中， / /AB DC ，点 E 是 CD 的中点， AE BE ．求证： D C   ． 考查题型十一 利用等角对等边证明线段/角度相等 1．（2019·陕西中考模拟）如图，∠AEF＝∠AFE，AC＝AD，CE＝DF，求证：∠C＝∠D． 考查题型十二 等腰三角形与角平分线、平行线相结合解题 1．（2018·靖远县靖安中学中考模拟）如图，BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，且 MN∥BC，设 AB＝12， BC＝24，AC＝18，则△AMN 的周长为（ ） A．30 B．36 C．42 D．18 2．（2018·广西中考模拟）如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC，ED∥BC，若 AB=4，AD=2，则△AED 的周 长是（ ） A．6 B．7 C．8 D．10 3.（2019·重庆中考真题）如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 边上的中点，连结 AD，BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E，过点 E 作 EF∥BC 交 AB 于点 F． （1）若∠C=36°，求∠BAD 的度数． （2）若点 E 在边 AB 上，EF//AC 叫 AD 的延长线于点 F．求证：FB=FE． 4．（2018·浙江中考模拟）如图，在△ABC 中，AB=AC，CD 是∠ACB 的平分线，DE∥BC，交 AC 于点 E． （1）求证：DE=CE． （2）若∠CDE=35°，求∠A 的度数． 等边三角形概念：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。 等边三角形性质和判定： （1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60º。 （2）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （3）有一个角是 60º的等腰三角形是等边三角形。 （ 4）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （补充： （1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。 （2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线 考查题型十三 利用等边三角形性质进行计算 1．（2018·山东中考模拟）如图：已知等边 ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BC 延长线上的一点， 且 CE CD ， DM BC ，垂足为 M ， 求证： M 是 BE 的中点． 2．（2019·太仓市陆渡中学中考模拟）如图，△ABC 是等腰三角形，AB＝AC，点 D 是 AB 上一点，过点 D 作 DE⊥BC 交 BC 于点 E，交 CA 延长线于点 F． （1）证明：△ADF 是等腰三角形； （2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求 EC 的长， 3．（2016·宁夏中考真题）在等边△ABC 中，点 D，E 分别在边 BC、AC 上，若 CD=2，过点 D 作 DE∥AB， 过点 E 作 EF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F，求 EF 的长． 考查题型十四 等边三角形性质在全等证明中的应用 1．（2018·西安电子科技大学附属中学太白校区中考模拟）已知：如图,点 D 在等边△ABC 的边 AB 上，作 DG∥BC，交 AC 于点 G，点 F 在边 AC 上，连接 DF 并延长，交 BC 的延长线于点 E，FE=FD．求证：AD=CE. 2．（2013·江苏中考模拟）如图，等边△ABC 中，D 是 AB 边上的一动点，以 CD 为一边，向上作等边△EDC， 连接 AE． (1)求证：△ACE≌△BCD； (2)判断 AE 与 BC 的位置关系，并说明理由． 3．（2018·浙江师范大学附属秀洲实验学校中考模拟）如图，等边△ABC 中，点 P 在△ABC 内，点 Q 在△ ABC 外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ． （1）求证：△ABP≌△ACQ. （2）判断△APQ 的形状，并说明理由．