2018年山西省中考数学试卷含答案

2018年山西省中考数学试卷含答案

‎2018年山西省中考数学试卷 第Ⅰ卷 选择题（共30分）‎ 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑）‎ ‎1.下面有理数比较大小，正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书，这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果.下列四部著作中，不属于我国古代数学著作的是（ ）‎ ‎ ‎ A．《九章算术》 B．《几何原本》 C．《海岛算经》 D．《周髀算经》‎ ‎3.下列运算正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.近年来快递业发展迅速，下表是年月份我省部分地市邮政快递业务量的统计结果（单位：万件）：‎ 太原市 大同市 长治市 晋中市 运城市 临汾市 吕梁市 月份我省这七个地市邮政快递业务量的中位数是（ ）‎ A．万件 B．万件 C．万件 D．万件 ‎6.黄河是中华民族的象征，被誉为母亲河，黄河壶口瀑布位于我省吉县城西千米处，是黄河上最具气势的自然景观.其落差约米，年平均流量立方米/秒.若以小时作时间单位，则其年平均流量可用科学记数法表示为（ ）‎ A．立方米/时 B．立方米/时 C．立方米/时 D．立方米/时 ‎7.在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球.两次都摸到黄球的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点之间的距离为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.用配方法将二次函数化为的形式为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.如图，正方形内接于，的半径为，以点为圆心，以长为半径画弧交的延长线于点，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）‎ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）‎ ‎11.计算： ．‎ ‎12.图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则 度．‎ ‎13.年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高之和不超过.某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的宽为，长与宽的比为，则符合此规定的行李箱的高的最大值为 ．‎ ‎14.如图，直线，直线分别与，相交于点，.小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交于点；②分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点.若，，则线段的长为 ．‎ ‎15.如图，在中，，，，点是的中点，以为直径作，分别与，交于点，，过点作的切线，交于点，则的长为 ．‎ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） ‎ ‎16.计算：（1）.‎ ‎（2）.‎ ‎17.如图，一次函数的图象分别与轴，轴相交于点，，与反比例函数的图象相交于点，.‎ ‎（1）求一次函数和反比例函数的表达式；‎ ‎（2）当为何值时，；‎ ‎（3）当为何值时，，请直接写出的取值范围.‎ ‎18.在“优秀传统文化进校园”活动中，学校计划每周二下午第三节课时间开展此项活动，拟开展活动项目为：剪纸，武术，书法，器乐，要求七年级学生人人参加，并且每人只能参加其中一项活动.教务处在该校七年级学生中随机抽取了名学生进行调查，并对此进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）.‎ 请解答下列问题：‎ ‎（1）请补全条形统计图和扇形统计图；‎ ‎（2）在参加“剪纸”活动项目的学生中，男生所占的百分比是多少？‎ ‎（3）若该校七年级学生共有人，请估计其中参加“书法”项目活动的有多少人？‎ ‎（4）学校教务处要从这些被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况，那么正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率是多少？‎ ‎19.祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征.某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量.测量结果如下表.‎ 项目 内 容 课题 测量斜拉索顶端到桥面的距离 测量示意图 说明：两侧最长斜拉索，相交于点，分别与桥面交于，两点，且点，，在同一竖直平面内.‎ 测量数据 的度数 的度数 的长度 米 ‎…‎ ‎…‎ ‎（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点到的距离（参考数据：，，，，，）‎ ‎（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）.‎ ‎20.年月日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好.已知“太原南—北京西”全程大约千米，“复兴号”次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶千米，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的（两列车中途停留时间均除外）.经查询，“复兴号”次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留分钟.求乘坐“复兴号”次列车从太原南到北京西需要多长时间.‎ ‎21.请阅读下列材料，并完成相应的任务：‎ 在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办消去.著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子：请问如何在一个三角形的和两边上分别取一点和，使得.（如图）解决这个问题的操作步骤如下：‎ 第一步，在上作出一点，使得，连接.第二步，在上取一点，作，交于点，并在上取一点，使.第三步，过点作，交于点.第四步，过点作，交于点，再过点作，交于点.‎ 则有.‎ 下面是该结论的部分证明：‎ 证明：∵，∴，‎ 又∵.∴.‎ ‎∴.‎ 同理可得.∴.‎ ‎∵，∴.‎ 任务：（1）请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形的形状，并加以证明；‎ ‎（2）请再仔细阅读上面的操作步骤，在（1）的基础上完成的证明过程；‎ ‎（3）上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形放大得到四边形，从而确定了点，的位置，这里运用了下面一种图形的变化是________.‎ A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 ‎ ‎22.综合与实践 问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形中，，是延长线上一点，且，连接，交于点，以为一边在的左下方作正方形，连接.试判断线段与的位置关系.‎ 探究展示：勤奋小组发现，垂直平分，并展示了如下的证明方法：‎ 证明：∵，∴.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∵四边形是矩形，∴.‎ ‎∴.（依据1）‎ ‎∵，∴.∴.‎ 即是的边上的中线，‎ 又∵，∴.（依据2）‎ ‎∴垂直平分.‎ 反思交流：‎ ‎（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？‎ ‎②试判断图1中的点是否在线段的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；‎ ‎（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接，以为一边在的左下方作正方形，发现点在线段的垂直平分线上，请你给出证明；‎ 探索发现：‎ ‎（3）如图3，连接，以为一边在的右上方作正方形，可以发现点，点都在线段的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形和正方形的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明.‎ ‎ ‎ ‎23.综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，.点是第四象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为点，交于点，过点作交轴于点，交于点.‎ ‎（1）求，，三点的坐标；‎ ‎（2）试探究在点运动的过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）请用含的代数式表示线段的长，并求出为何值时有最大值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BBDCC 6-10: CADBA 二、填空题 ‎11. 12. 13. 14. 15. ‎ 三、解答题 ‎16.（1）解：原式.‎ ‎（2）解：原式 ‎.‎ ‎17. 解：（1）∵一次函数的图象经过点，，‎ ‎∴，‎ 解得.‎ ‎∴一次函数的表达式为.‎ ‎∵反比例函数的图象经过点，∴.∴.‎ ‎∴反比例函数的表达式为.‎ ‎（2）由,得.‎ ‎∴.∴当时，.‎ ‎（3）或.‎ ‎18.解：（1）‎ ‎（2）.‎ 答：男生所占的百分比为.‎ ‎（3）（人）.‎ 答：估计其中参加“书法”项目活动的有人.‎ ‎（4）.‎ 答：正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率为.‎ ‎19.解：（1）过点作于点.‎ 设米，在中，，.‎ ‎∵，∴.‎ 在中，，.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∵，∴.‎ 解得.‎ 答：斜拉索顶端点到的距离为米.‎ ‎（2）答案不唯一，还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等.‎ ‎20.解法一：设乘坐“复兴号”次列车从太原南到北京西需要小时，‎ 由题意，得.‎ 解得.‎ 经检验，是原方程的根.‎ 答：乘坐“复兴号”次列车从太原南到北京西需要小时.‎ 解法二：设“复兴号”次列车从太原南到北京西的行驶时间需要小时，‎ 由题意，得.‎ 解得.‎ 经检验，是原方程的根.‎ ‎（小时）.‎ 答：乘坐“复兴号”次列车从太原南到北京西需要小时.‎ ‎21.解：（1）四边形是菱形.‎ 证明：∵，，∴四边形是平行四边形.‎ ‎∵，∴是菱形.‎ ‎（2）证明：∵，∴.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴.∴.‎ ‎∵四边形是菱形，∴.‎ ‎∴.‎ ‎（3）（或位似）.‎ ‎22.（1）①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（或平行线分线段成比例）.‎ 依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合（或等腰三角形的“三线合一”）.‎ ‎②答：点在线段的垂直平分线上.‎ ‎（2）证明：过点作于点，‎ ‎∵四边形是矩形，点在的延长线上，‎ ‎∴，∴.‎ ‎∵四边形为正方形，‎ ‎∴，，∴.∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴，∵四边形是矩形，∴.‎ ‎∵，，∴，∴.‎ ‎∴垂直平分.∴点在的垂直平分线上.‎ ‎（3）答：点在边的垂直平分线上（或点在边的垂直平分线上）.‎ 证法一：过点作于点，过点作于点.‎ ‎∴。‎ ‎∵四边形是矩形，点在的延长线上，‎ ‎∴，∴四边形为矩形.‎ ‎∴，.∴.‎ ‎∵四边形为正方形，‎ ‎∴，.∴.‎ ‎∴.∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴.∴.‎ ‎∵四边形是矩形，∴.‎ ‎∵，.∴.∴.‎ ‎∴垂直平分.∴点在边的垂直平分线上.‎ 证法二：过作交的延长线于点，连接，.‎ ‎∵四边形是矩形，点在的延长线上，‎ ‎∴.∴.‎ ‎∵四边形为正方形，∴，.∴.∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴，.‎ ‎∵四边形是矩形，∴.‎ ‎∵，.∴设，则，，‎ ‎∴.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎∴.∴点在边的垂直平分线上.‎ ‎23.解：（1）由，得.‎ 解得，.‎ ‎∴点，的坐标分别为，.‎ 由，得.∴点的坐标为.‎ ‎（2）答：，.‎ ‎（3）解：过点作于点，‎ 则轴.由，，得为等腰直角三角形.‎ ‎∴.∴.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∵轴，∴.∴.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴，即.‎ ‎∴.‎ ‎∴.∴.‎ ‎∵轴，点的横坐标为，，‎ ‎∴，.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴有最大值.∴当时，有最大值.‎ 解法二：提示，先分别求出和关于的代数式，再由得到关于的代数式.‎