初中数学动点问题及练习题附参考答案

初中数学动点问题及练习题附参考答案

初中数学动点问题及练习题附参考答案 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射 线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用 有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查。 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对 称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解 题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过 程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图 形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况， 才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题 的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手 操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生 的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从 数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4） 分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考 数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把 握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确 地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和 区分度小题处理手法提出自己的观点． 专题一：建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容. 动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化, 引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关 系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式。 二、应用比例式建立函数解析式。 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把 握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图 形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动 中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊 角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解 题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题。 （一）点动问题。 （二）线动问题。 （三）面动问题。 二、解决动态几何问题的常见方法有: 1、特殊探路，一般推证。2、动手实践，操作确认。3、建立联系，计算说明。 三、专题二总结，本大类习题的共性： 1．代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查; 四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数． 2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊 情况下的函数值。 专题三：双动点问题 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载 体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综 合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及 分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年 中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏. 1 以双动点为载体，探求函数图象问题。 2 以双动点为载体，探求结论开放性问题。 3 以双动点为载体，探求存在性问题。 4 以双动点为载体，探求函数最值问题。 双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大, 对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光 去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变 量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动。 专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题 专题五：以圆为载体的动点问题 动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未 说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问 题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。 例 1.如图，已知在矩形 ABCD 中，AD=8，CD=4，点 E 从点 D 出发，沿线段 DA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 方向移动，同时点 F 从点 C 出发，沿射线 CD 方向以每秒 2 个单位 长的速度移动，当 B，E，F 三点共线时，两点同时停止运动．设点 E 移动的时间为 t（秒）． （1）求当 t 为何值时，两点同时停止运动； （2）设四边形 BCFE 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围； （3）求当 t 为何值时，以 E，F，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形； （4）求当 t 为何值时，∠BEC=∠BFC． A B C DE FO 例 2. 正方形 ABCD 边长为 4， M 、 N 分别是 BC 、CD 上的两个动点， 当 M 点 在 BC 上运动时，保持 AM 和 MN 垂直， （1）证明： Rt RtABM MCN△ ∽ △ ； （2）设 BM x ，梯形 ABCN 的面积为 y ，求 y 与 x 之间的函数关系式；当 M 点运动到 什么位置时，四边形 ABCN 面积最大，并求出最大面积； （3）当 M 点运动到什么位置时 Rt RtABM AMN△ ∽ △ ，求此时 x 的值． 例 3.如图，在梯形 ABCD 中， 3 5 4 2 45AD BC AD DC AB B    ∥ ， ， ， ，∠ ．动 点 M 从 B 点出发沿线段 BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点C 运动；动点 N 同时从C 点 出发沿线段CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动．设运动的时间为t 秒． （09 年济南中考） （1）求 BC 的长。 （2）当 MN AB∥ 时，求t 的值． （3）试探究：t 为何值时， MNC△ 为等腰三角形． 例 4.如图，在 Rt△AOB 中，∠AOB＝90°，OA＝3cm，OB＝4cm，以点 O 为坐标原点建 立坐标系，设 P、Q 分别为 AB、OB 边上的动点它们同时分别从点 A、O 向 B 点匀速运动， 速度均为 1cm/秒，设 P、Q 移动时间为 t（0≤t≤4） （1）求 AB 的长，过点 P 做 PM⊥OA 于 M，求出 P 点的坐标（用 t 表示） （2）求△OPQ 面积 S（cm2），与运动时间 t（秒）之间的函数关 系式，当 t 为何值时，S 有最大值？最大是多少？ （3）当 t 为何值时，△OPQ 为直角三角形？ （4）若点 P 运动速度不变，改变 Q 的运动速度，使△OPQ 为正 三角形，求 Q 点运动的速度和此时 t 的值. 动点练习题答案 例 1. 解：（1）当 B，E，F 三点共线时，两点同时停止运动，如图 2 所示．………（1 分） 由题意可知：ED=t，BC=8，FD= 2t-4，FC= 2t． ∵ED∥BC，∴△FED∽△FBC．∴ FD ED FC BC  ． ∴ 2 4 2 8 t t t   ．解得 t=4． ∴当 t=4 时，两点同时停止运动；……（3 分） y A O M Q P B x A D CB M N D M A B C N 图 2 A B C DE F （2）∵ED=t，CF=2t， ∴S=S△BCE+ S△BCF= 1 2 ×8×4+ 1 2 ×2t×t=16+ t2． 即 S=16+ t2．（0 ≤t ≤4）；………………………………………………………（6 分） （3）①若 EF=EC 时，则点 F 只能在 CD 的延长线上， ∵EF2= 2 2 2(2 4) 5 16 16t t t t     ， EC2= 2 2 24 16t t   ，∴ 25 16 16t t  = 2 16t  ．∴t=4 或 t=0（舍去）； ②若 EC=FC 时，∵EC2= 2 2 24 16t t   ，FC2=4t2，∴ 2 16t  =4t2．∴ 4 33t  ； ③若 EF=FC 时，∵EF2= 2 2 2(2 4) 5 16 16t t t t     ，FC2=4t2， ∴ 25 16 16t t  =4t2．∴t1=16 8 3 （舍去），t2=16 8 3 ． ∴当 t 的值为 4， 4 33 ，16 8 3 时，以 E，F，C 三点为顶点的三角形是等腰三 角形；………………………………………………………………………………（9 分） （4）在 Rt△BCF 和 Rt△CED 中，∵∠BCD=∠CDE=90°， 2BC CF CD ED   ， ∴Rt△BCF∽Rt△CED．∴∠BFC=∠CED．………………………………………（10 分） ∵AD∥BC，∴∠BCE=∠CED．若∠BEC=∠BFC，则∠BEC=∠BCE．即 BE=BC． ∵BE2= 2 16 80t t  ，∴ 2 16 80t t  =64． ∴t1=16 8 3 （舍去），t2=16 8 3 ． ∴当 t=16 8 3 时，∠BEC=∠BFC．……………………………………………（12 分） 例 2. 解：（1）在正方形 ABCD 中， 4 90AB BC CD B C      ， °， AM MN ⊥ ， 90AMN  °， 90CMN AMB    °， 在 Rt ABM△ 中， 90MAB AMB    °， CMN MAB   ， Rt RtABM MCN △ ∽ △ ， （2） Rt RtABM MCN △ ∽ △ ， 4 4 AB BM x MC CN x CN     ， ， 2 4 4 x xCN    ，   2 221 4 1 14 4 2 8 2 102 4 2 2ABCN x xy S x x x               梯形 · ， N DA C D B M 当 2x  时， y 取最大值，最大值为 10． （3） 90B AMN    °， 要使 ABM AMN△ ∽△ ，必须有 AM AB MN BM  ， 由（1）知 AM AB MN MC  ， BM MC  ， 当点 M 运动到 BC 的中点时， ABM AMN△ ∽△ ，此时 2x  ． 例 3.解：（1）如图①，过 A 、D 分别作 AK BC 于 K ，DH BC 于 H ，则四边形 ADHK 是矩形 ∴ 3KH AD  ． 在 Rt ABK△ 中， 2sin 45 4 2 42AK AB    ． 2cos45 4 2 42BK AB     在 Rt CDH△ 中，由勾股定理得， 2 25 4 3HC    ∴ 4 3 3 10BC BK KH HC       （2）如图②，过 D 作 DG AB∥ 交 BC 于G 点，则四边形 ADGB 是平行四边形 ∵ MN AB∥ ∴ MN DG∥ ∴ 3BG AD  ∴ 10 3 7GC    由题意知，当 M 、 N 运动到t 秒时， 10 2CN t CM t  ， ． ∵ DG MN∥ ∴ NMC DGC∠ ∠ 又 C C∠ ∠ ∴ MNC GDC△ ∽△ ∴ CN CM CD CG  （图①） A D CB K H （图②） A D CB G M N 即 10 2 5 7 t t 解得， 50 17t  （3）分三种情况讨论： ①当 NC MC 时，如图③，即 10 2t t  ∴ 10 3t  ②当 MN NC 时，如图④，过 N 作 NE MC 于 E ∵ 90C C DHC NEC     ∠ ∠ ， ∴ NEC DHC△ ∽△ ∴ NC EC DC HC  即 5 5 3 t t ∴ 25 8t  ③当 MN MC 时，如图⑤，过 M 作 MF CN 于 F 点. 1 1 2 2FC NC t  ∵ 90C C MFC DHC     ∠ ∠ ， ∴ MFC DHC△ ∽△ ∴ FC MC HC DC  即 1 10 22 3 5 t t ∴ 60 17t  综上所述，当 10 3t  、 25 8t  或 60 17t  时， MNC△ 为等腰三角形 例 4.（1）由题意知：BD=5，BQ=t，QC=4-t，DP=t，BP=5-t ∵PQ⊥BC ∴△BPQ∽△BDC ∴ BC BQ BD BP  即 45 5 tt  ∴ 9 20t A D CB M N （图③） （图④） A D CB M N H E （图⑤） A D CB H N M F 当 9 20t 时，PQ⊥BC……………………………………………………………………3 分 （2）过点 P 作 PM⊥BC，垂足为 M ∴△BPM∽△BDC ∴ 35 5 PMt  ∴ )5(5 3 tPM  ……………………4 分 ∴  tS 2 1 )5(5 3 t = 8 15)2 5(10 3  t …………………………………………5 分 ∴当 5 2t  时，S 有最大值 15 8 ．……………………………………………………6 分 （3）①当 BP=BQ 时， tt 5 ， ∴ 2 5t ……………………………………7 分 ②当 BQ=PQ 时，作 QE⊥BD，垂足为 E，此时 ，BE= 2 5 2 1 tBP  ∴△BQE∽△BDC ∴ BD BQ BC BE  即 54 2 5 t t   ∴ 13 25t ……………………9 分 ③当 BP=PQ 时，作 PF⊥BC，垂足为 F, 此时，BF= 22 1 tBQ  ∴△BPF∽△BDC ∴ BD BP BC BF  即 5 5 4 2 t t  ∴ 13 40t ……………………11 分 ∴ 1 40 13t  ， 2 5 2t  ， 3 25 13t  ，均使△PBQ 为等腰三角形． …………………………12 分