2018年湖南省湘西州中考数学试卷

2018年湖南省湘西州中考数学试卷

‎2018年湖南省湘西州中考数学试卷 ‎　‎ 一、填空题（本大题8小题，每小题4分，共32分）‎ ‎1．（4.00分）﹣2018的绝对值是　 　．‎ ‎2．（4.00分）分解因式：a2﹣9=　 　．‎ ‎3．（4.00分）要使分式有意义，则x的取值范围为　 　．‎ ‎4．（4.00分）“可燃冰”作为新型能源，有着巨大的开发使用潜力，1千克“可燃冰”完全燃烧放出的热量约为420000000焦耳，数据420000000用科学记数法表示为　 　．‎ ‎5．（4.00分）农历五月初五为端午节，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．小明妈妈买了3个红豆粽、2个碱水粽、5个腊肉粽，粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小明随意吃了一个，则吃到腊肉棕的概率为　 　．‎ ‎6．（4.00分）按照如图的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值是　 　．（用科学计算器计算或笔算）‎ ‎7．（4.00分）如图，DA⊥CE于点A，CD∥AB，∠1=30°，则∠D=　 　．‎ ‎8．（4.00分）对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b=ab﹣a+b﹣2．例如，2※5=2×5﹣2+5﹣2=11．请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜2，则不等式的正整数解是　 　．‎ ‎　‎ 二、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分，每个小题所给四个选项只有一个正确选项）‎ ‎9．（4.00分）下列运算中，正确的是（　　）‎ A．a2•a3=a5 B．2a﹣a=2 C．（a+b）2=a2+b2 D．2a+3b=5ab ‎10．（4.00分）如图所示的几何体的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（4.00分）在某次体育测试中，九年级（1）班5位同学的立定跳远成绩（单位：m）分别为：1.8l，1.98，2.10，2.30，2.10．这组数据的众数为（　　）‎ A．2.30 B．2.10 C．1.98 D．1.81‎ ‎12．（4.00分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎13．（4.00分）一次函数y=x+2的图象与y轴的交点坐标为（　　）‎ A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（﹣2，0）‎ ‎14．（4.00分）下列四个图形中，是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎15．（4.00分）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（　　）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 ‎16．（4.00分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（　　）‎ A．1 B．﹣3 C．3 D．4‎ ‎17．（4.00分）下列说法中，正确个数有（　　）‎ ‎①对顶角相等；‎ ‎②两直线平行，同旁内角相等；‎ ‎③对角线互相垂直的四边形为菱形；‎ ‎④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎18．（4.00分）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD=8，则弦AC的长为（　　）‎ A．10 B．8 C．4 D．4‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题8小题，共78分，每个题目都要求写出计算或证明的主要步骤）‎ ‎19．（6.00分）计算：+（π﹣2018）0﹣2tan45°‎ ‎20．（6.00分）解方程组：‎ ‎21．（8.00分）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．‎ ‎（1）求证：△ADE≌△BCE；‎ ‎（2）若AB=6，AD=4，求△CDE的周长．‎ ‎22．（8.00分）中华文化源远流长，在文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中抽取n名学生进行调查．根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：‎ ‎（1）求n的值；‎ ‎（2）请将条形统计图补充完整；‎ ‎（3）若该校共有2000名学生，请估计该校四大古典名著均已读完的人数．‎ ‎23．（8.00分）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB=10km．‎ ‎（1）求景点B与C的距离；‎ ‎（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）‎ ‎24．（8.00分）反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象经过点A（1，3）、B（3，m）．‎ ‎（1）求反比例函数的解析式及B点的坐标；‎ ‎（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．‎ ‎25．（12.00分）某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．‎ ‎（1）求y关于x的函数关系式；‎ ‎（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？‎ ‎（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，且限定商店最多购进A型电脑60台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．‎ ‎26．（22.00分）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；‎ ‎（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；‎ ‎（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．‎ ‎　‎ ‎2018年湖南省湘西州中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（本大题8小题，每小题4分，共32分）‎ ‎1．（4.00分）﹣2018的绝对值是　2018　．‎ ‎【分析】根据绝对值的定义即可求得．‎ ‎【解答】解：﹣2018的绝对值是2018．‎ 故答案为：2018‎ ‎　‎ ‎2．（4.00分）分解因式：a2﹣9=　（a+3）（a﹣3）　．‎ ‎【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．‎ ‎【解答】解：a2﹣9=（a+3）（a﹣3）．‎ 故答案为：（a+3）（a﹣3）．‎ ‎　‎ ‎3．（4.00分）要使分式有意义，则x的取值范围为　x≠﹣2　．‎ ‎【分析】根据根式有意义的条件即可求出答案．‎ ‎【解答】解：由题意可知：x+2≠0，‎ ‎∴x≠﹣2‎ 故答案为：x≠﹣2‎ ‎　‎ ‎4．（4.00分）“可燃冰”作为新型能源，有着巨大的开发使用潜力，1千克“可燃冰”完全燃烧放出的热量约为420000000焦耳，数据420000000用科学记数法表示为　4.2×108　．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜‎ ‎10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：420000000=4.2×108．‎ 故答案为：4.2×108‎ ‎　‎ ‎5．（4.00分）农历五月初五为端午节，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．小明妈妈买了3个红豆粽、2个碱水粽、5个腊肉粽，粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小明随意吃了一个，则吃到腊肉棕的概率为　　．‎ ‎【分析】根据题意和题目中的数据可以求得小明随意吃了一个，则吃到腊肉棕的概率．‎ ‎【解答】解：由题意可得，‎ 小明随意吃了一个，则吃到腊肉棕的概率为：，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎6．（4.00分）按照如图的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值是　2　．（用科学计算器计算或笔算）‎ ‎【分析】将x=2代入程序框图中计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：将x=2代入得：3×（2）2﹣10=12﹣10=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎7．（4.00分）如图，DA⊥CE于点A，CD∥AB，∠1=30°，则∠D=　60°　．‎ ‎【分析】先根据垂直的定义，得出∠BAD=60°，再根据平行线的性质，即可得出∠D的度数．‎ ‎【解答】解：∵DA⊥CE，‎ ‎∴∠DAE=90°，‎ ‎∵∠EAB=30°，‎ ‎∴∠BAD=60°，‎ 又∵AB∥CD，‎ ‎∴∠D=∠BAD=60°，‎ 故答案为：60°．‎ ‎　‎ ‎8．（4.00分）对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b=ab﹣a+b﹣2．例如，2※5=2×5﹣2+5﹣2=11．请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜2，则不等式的正整数解是　1　．‎ ‎【分析】根据新定义可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的正整数即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵3※x=3x﹣3+x﹣2＜2，‎ ‎∴x＜，‎ ‎∵x为正整数，‎ ‎∴x=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ 二、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分，每个小题所给四个选项只有一个正确选项）‎ ‎9．（4.00分）下列运算中，正确的是（　　）‎ A．a2•a3=a5 B．2a﹣a=2 C．（a+b）2=a2+b2 D．2a+3b=5ab ‎【分析】根据合并同类项的法则，完全平方公式，同底数幂的乘法的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ ‎【解答】解：A、a2•a3=a5，正确；‎ B、2a﹣a=a，错误；‎ C、（a+b）2=a2+2ab+b2，错误；‎ D、2a+3b=2a+3b，错误；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．（4.00分）如图所示的几何体的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据圆锥体的三视图即可得．‎ ‎【解答】解：圆锥体的主视图是等腰三角形，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．（4.00分）在某次体育测试中，九年级（1）班5位同学的立定跳远成绩（单位：m）分别为：1.8l，1.98，2.10，2.30，2.10．这组数据的众数为（　　）‎ A．2.30 B．2.10 C．1.98 D．1.81‎ ‎【分析】根据众数的概念解答．‎ ‎【解答】解：在数据1.8l，1.98，2.10，2.30，2.10中，2.10出现2次，出现的次数最多，‎ ‎∴这组数据的众数是2.10，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．（4.00分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先定界点，再定方向即可得．‎ ‎【解答】解：不等式组的解集在数轴上表示如下：‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎13．（4.00分）一次函数y=x+2的图象与y轴的交点坐标为（　　）‎ A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（﹣2，0）‎ ‎【分析】代入x=0求出y值，进而即可得出发一次函数y=x+2的图象与y轴的交点坐标．‎ ‎【解答】解：当x=0时，y=x+2=0+2=2，‎ ‎∴一次函数y=x+2的图象与y轴的交点坐标为（0，2）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎14．（4.00分）下列四个图形中，是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据轴对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：D选项的图形是轴对称图形，A，B，C选项的图形不是轴对称图形．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎15．（4.00分）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（　　）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 ‎【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，则直线和圆相切．‎ ‎【解答】解：∵圆心到直线的距离5cm=5cm，‎ ‎∴直线和圆相切．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎16．（4.00分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+‎ m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（　　）‎ A．1 B．﹣3 C．3 D．4‎ ‎【分析】设方程的另一个解为x1，根据两根之和等于﹣，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设方程的另一个解为x1，‎ 根据题意得：﹣1+x1=2，‎ 解得：x1=3．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎17．（4.00分）下列说法中，正确个数有（　　）‎ ‎①对顶角相等；‎ ‎②两直线平行，同旁内角相等；‎ ‎③对角线互相垂直的四边形为菱形；‎ ‎④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【分析】根据对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质，可得答案．‎ ‎【解答】解：①对顶角相等，故①正确；‎ ‎②两直线平行，同旁内角互补，故②错误；‎ ‎③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故③错误；‎ ‎④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故④正确，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎18．（4.00分）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD=8，则弦AC的长为（　　）‎ A．10 B．8 C．4 D．4‎ ‎【分析】由AB是圆的切线知AO⊥AB，结合CD∥AB知AO⊥CD，从而得出CE=4，Rt△COE中求得OE=3及AE=8，在Rt△ACE中利用勾股定理可得答案．‎ ‎【解答】解：∵直线AB与⊙O相切于点A，‎ ‎∴OA⊥AB，‎ 又∵CD∥AB，‎ ‎∴AO⊥CD，记垂足为E，‎ ‎∵CD=8，‎ ‎∴CE=DE=CD=4，‎ 连接OC，则OC=OA=5，‎ 在Rt△OCE中，OE===3，‎ ‎∴AE=AO+OE=8，‎ 则AC===4，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题8小题，共78分，每个题目都要求写出计算或证明的主要步骤）‎ ‎19．（6.00分）计算：+（π﹣2018）0﹣2tan45°‎ ‎【分析】原式利用算术平方根定义，零指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：原式=2+1﹣2=1．‎ ‎　‎ ‎20．（6.00分）解方程组：‎ ‎【分析】①+②求出x，把x=2代入①求出y即可．‎ ‎【解答】解：①+②得：4x=8，‎ 解得：x=2，‎ 把x=2代入①得：2+y=3，‎ 解得：y=1，‎ 所以原方程组的解为．‎ ‎　‎ ‎21．（8.00分）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．‎ ‎（1）求证：△ADE≌△BCE；‎ ‎（2）若AB=6，AD=4，求△CDE的周长．‎ ‎【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS证得结论；‎ ‎（2）由（1）中全等三角形的对应边相等和勾股定理求得线段DE的长度，结合三角形的周长公式解答．‎ ‎【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠A=∠B=90°．‎ ‎∵E是AB的中点，‎ ‎∴AE=BE．‎ 在△ADE与△BCE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADE≌△BCE（SAS）；‎ ‎（2）由（1）知：△ADE≌△BCE，则DE=EC．‎ 在直角△ADE中，AE=4，AE=AB=3，‎ 由勾股定理知，DE===5，‎ ‎∴△CDE的周长=2DE+AD=2DE+AB=2×5+6=16．‎ ‎　‎ ‎22．（8.00分）中华文化源远流长，在文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中抽取n名学生进行调查．根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：‎ ‎（1）求n的值；‎ ‎（2）请将条形统计图补充完整；‎ ‎（3）若该校共有2000名学生，请估计该校四大古典名著均已读完的人数．‎ ‎【分析】（1）由读完3部的人数乘以占的百分比求出n的值即可；‎ ‎（2）求出读完2部的人数，补全条形统计图即可；‎ ‎（3）求出读完4部的百分比，乘以2000即可得到结果．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意得：30÷30%=100（人），‎ 则n的值为100；‎ ‎（2）四大古典名著你读完了2部的人数为100﹣（5+15+30+25）=25（人），‎ 补全条形统计图，如图所示：‎ ‎（3）根据题意得：25%×2000=500（人），‎ 则该校四大古典名著均已读完的人数为500人．‎ ‎　‎ ‎23．（8.00分）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB=10km．‎ ‎（1）求景点B与C的距离；‎ ‎（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）‎ ‎【分析】（1）先根据方向角的定义得出∠CAB=30°，∠ABC=120°，由三角形内角和定理求出∠C=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=30°，则∠CAB=∠C=30°，根据等角对等边求出BC=AB=10km．；‎ ‎（2）首先过点C作CE⊥AB于点E，然后在Rt△CBE中，求得答案．‎ ‎【解答】解：（1）如图，由题意得∠CAB=30°，∠ABC=90°+30°=120°，‎ ‎∴∠C=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=30°，‎ ‎∴∠CAB=∠C=30°，‎ ‎∴BC=AB=10km，‎ 即景点B、C相距的路程为10km．‎ ‎（2）过点C作CE⊥AB于点E，‎ ‎∵BC=10km，C位于B的北偏东30°的方向上，‎ ‎∴∠CBE=60°，‎ 在Rt△CBE中，CE=km．‎ ‎　‎ ‎24．（8.00分）反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象经过点A（1，3）、B（3，m）．‎ ‎（1）求反比例函数的解析式及B点的坐标；‎ ‎（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．‎ ‎【分析】（1）先把A点坐标代入y=求出k得到反比例函数解析式；然后把B（3，m）代入反比例函数解析式求出m得到B点坐标；‎ ‎（2）作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，则A′（1，﹣3），利用两点之间线段最短可判断此时此时PA+PB的值最小，再利用待定系数法求出直线BA′的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标．‎ ‎【解答】解：（1）把A（1，3）代入y=得k=1×3=3，‎ ‎∴反比例函数解析式为y=；‎ 把B（3，m）代入y=得3m=3，解得m=1，‎ ‎∴B点坐标为（3，1）；‎ ‎（2）作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，则A′（1，﹣3），‎ ‎∵PA+PB=PA′+PB=BA′，‎ ‎∴此时此时PA+PB的值最小，‎ 设直线BA′的解析式为y=mx+n，‎ 把A′（1，﹣3），B（3，1）代入得，解得，‎ ‎∴直线BA′的解析式为y=2x﹣5，‎ 当y=0时，2x﹣5=0，解得x=，‎ ‎∴P点坐标为（，0）．‎ ‎　‎ ‎25．（12.00分）某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．‎ ‎（1）求y关于x的函数关系式；‎ ‎（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？‎ ‎（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，且限定商店最多购进A型电脑60台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．‎ ‎【分析】（1）根据“总利润=A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式；‎ ‎（2）根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍且电脑数量为整数”求得x的范围，再结合（1）所求函数解析式及一次函数的性质求解可得；‎ ‎（3）据题意得y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，分三种情况讨论，①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，②a=100时，y=50000，③当100＜m＜200时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，y=400x+500（100﹣x）=﹣100x+50000；‎ ‎（2）∵100﹣x≤2x，‎ ‎∴x≥，‎ ‎∵y=﹣100x+50000中k=﹣100＜0，‎ ‎∴y随x的增大而减小，‎ ‎∵x为正数，‎ ‎∴x=34时，y取得最大值，最大值为46600，‎ 答：该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；‎ ‎（3）据题意得，y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，‎ ‎33≤x≤60‎ ‎①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，‎ ‎∴当x=34时，y取最大值，‎ 即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．‎ ‎②a=100时，a﹣100=0，y=50000，‎ 即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤60的整数时，均获得最大利润；‎ ‎③当100＜a＜200时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，‎ ‎∴当x=60时，y取得最大值．‎ 即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．‎ ‎　‎ ‎26．（22.00分）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；‎ ‎（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；‎ ‎（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．‎ ‎【分析】（1）应用待定系数法；‎ ‎（2）利用相似三角形性质分类讨论求解；‎ ‎（3）由已知直线l′与x轴所夹锐角为45°，△EMN为等腰直角三角形，当沿直线l′折叠时，四边形ENE′M为正方形，表示点N、E′坐标带入抛物线解析式，可解；‎ ‎（4）由（3）图形旋转可知，M′K′⊥直线l′，△M'FK′只能为等腰直角三角形，则分类讨论可求解．‎ ‎【解答】解：（1）由已知点B坐标为（5，5）‎ 把点B（5，5），A（3，0）代入y=ax2+bx，得 解得 ‎∴抛物线的解析式为：y=‎ ‎（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=，则点C坐标为（，）‎ ‎∴OC=，OB=5‎ 当△OBA∽△OCP时，‎ ‎∴‎ ‎∴OP=‎ 当△OBA∽△OPC时，‎ ‎∴‎ ‎∴OP=5‎ ‎∴点P坐标为（5，0）或（，0）‎ ‎（3）设点N坐标为（a，b），直线l′解析式为：y=x+c ‎∵直线l′y=x+c与x轴夹角为45°‎ ‎∴△MEN为等腰直角三角形．‎ 当把△MEN沿直线l′折叠时，四边形ENE′M为正方形 ‎∴点′E坐标为（a﹣b，b）‎ ‎∵EE′平行于x轴 ‎∴E、E′关于抛物线对称轴对称 ‎∵‎ ‎∴b=2a﹣3‎ 则点N坐标可化为（a，2a﹣3）‎ 把点N坐标带入y=‎ 得：‎ ‎2a﹣3=‎ 解得 a1=1，a2=6‎ ‎∵a=6时，b=2a﹣3=﹣9＜0‎ ‎∴a=6舍去 则点N坐标为（1，﹣1）‎ 把N坐标带入y=x+c 则c=﹣2‎ ‎∴直线l′的解析式为：y=x﹣2‎ ‎（4）由（3）K点坐标为（0，﹣2）‎ 则△MOK为等腰直角三角形 ‎∴△M′OK′为等腰直角三角形，M′K′⊥直线l′‎ ‎∴当M′K′=M′F时，△M'FK′为等腰直角三角形 ‎∴F坐标为（1，0）或（﹣1，﹣2）‎ ‎　‎