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文档介绍
2020年四川省遂宁市中考数学试卷【含答案】
1 / 11 2020 年四川省遂宁市中考数学试卷 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分,在每个小题给出的四个选 项中,只有一个符合题目要求.) 1.−5的相反数是() A.5 B.−5 C.1 5 D.− 1 5 2.已知某新型感冒病毒直径约为0.000000823米,将0.000000823用科学记数法表示() A.8.23 × 10−6 B.8.23 × 10−7 C.8.23 × 106 D.8.23 × 107 3.下列计算正确的是() A.7푎푏 − 5푎=2푏 B.(푎 + 1 푎)2=푎2 + 1 푎2 C.(−3푎2푏)2=6푎4푏2 D.3푎2푏 ÷ 푏=3푎2 4.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是() A.等边三角形 B.平行四边形 C.矩形 D.正五边形 5.函数푦 = √푥+2 푥−1 中,自变量푥的取值范围是() A.푥 > −2 B.푥 ≥ −2 C.푥 > −2且푥 ≠ 1 D.푥 ≥ −2且푥 ≠ 1 6.关于푥的分式方程 푚 푥−2 − 3 2−푥 = 1有增根,则푚的值() A.푚=2 B.푚=1 C.푚=3 D.푚=−3 7.如图,在平行四边形퐴퐵퐶퐷中,∠퐴퐵퐶的平分线交퐴퐶于点퐸,交퐴퐷于点퐹,交퐶퐷的 延长线于点퐺,若퐴퐹=2퐹퐷,则퐵퐸 퐸퐺 的值为() A.1 2 B.1 3 C.2 3 D.3 4 8.二次函数푦=푎푥2 + 푏푥 + 푐(푎 ≠ 0)的图象如图所示,对称轴为直线푥=−1,下列结论 不正确的是() A.푏2 > 4푎푐 B.푎푏푐 > 0 C.푎 − 푐 < 0 D.푎푚2 + 푏푚 ≥ 푎 − 푏(푚为任意实数) 9.如图,在푅푡 △ 퐴퐵퐶中,∠퐶=90∘,퐴퐶=퐵퐶,点푂在퐴퐵上,经过点퐴的⊙ 푂与퐵퐶相 切于点퐷,交퐴퐵于点퐸,若퐶퐷 = √2,则图中阴影部分面积为() A.4 − 휋 2 B.2 − 휋 2 C.2 − 휋 D.1 − 휋 4 10.如图,在正方形퐴퐵퐶퐷中,点퐸是边퐵퐶的中点,连接퐴퐸、퐷퐸,分别交퐵퐷、퐴퐶于点 푃、푄,过点푃作푃퐹 ⊥ 퐴퐸交퐶퐵的延长线于퐹,下列结论: ①∠퐴퐸퐷 + ∠퐸퐴퐶 + ∠퐸퐷퐵=90∘, ②퐴푃=퐹푃, ③퐴퐸 = √10 2 퐴푂, ④若四边形푂푃퐸푄的面积为4,则该正方形퐴퐵퐶퐷的面积为36, ⑤퐶퐸 ⋅ 퐸퐹=퐸푄 ⋅ 퐷퐸. 其中正确的结论有() 2 / 11 A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.下列各数3.1415926,√9,1.212212221…,1 7 ,2 − 휋,−2020,√43 中,无理数的 个数有________个. 12.一列数4、5、4、6、푥、5、7、3中,其中众数是4,则푥的值是________. 13.已知一个正多边形的内角和为1440∘,则它的一个外角的度数为________度. 14.若关于푥的不等式组{ 푥−2 4 < 푥−1 3 2푥 − 푚 ≤ 2 − 푥 有且只有三个整数解,则푚的取值范围是 ________. 15.如图所示,将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形,第1幅图中 “▱”的个数为푎1,第2幅图中“▱”的个数为푎2,第3幅图中“▱”的个数为푎3,…, 以此类推,若 2 푎1 + 2 푎2 + 2 푎3 + ⋯ + 2 푎푛 = 푛 2020 .( 푛为正整数),则푛的值为________. 三、计算或解答题(本大题共 10 小题,共 90 分,解答应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤) 16.计算:√8 − 2sin30∘ − |1 − √2| + (1 2)−2 − (휋 − 2020)0. 17.先化简,(푥2+4푥+4 푥2−4 − 푥 − 2) ÷ 푥+2 푥−2 ,然后从−2 ≤ 푥 ≤ 2范围内选取一个合适的整数 作为푥的值代入求值. 18.如图,在△ 퐴퐵퐶中,퐴퐵=퐴퐶,点퐷、퐸分别是线段퐵퐶、퐴퐷的中点,过点퐴作퐵퐶的 平行线交퐵퐸的延长线于点퐹,连接퐶퐹. (1)求证:△ 퐵퐷퐸 ≅△ 퐹퐴퐸; (2)求证:四边形퐴퐷퐶퐹为矩形. 3 / 11 19.在数学实践与综合课上,某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼 进行测高实践,如图为实践时绘制的截面图.无人机从地面点퐵垂直起飞到达点퐴处, 测得1号楼顶部퐸的俯角为67∘,测得2号楼顶部퐹的俯角为40∘,此时航拍无人机的高度 为60米,已知1号楼的高度为20米,且퐸퐶和퐹퐷分别垂直地面于点퐶和퐷,点퐵为퐶퐷的 中点,求2号楼的高度.(结果精确到0.1) (参考数据sin40∘ ≈ 0.64,cos40∘ ≈ 0.77,tan40∘ ≈ 0.84,sin67∘ ≈ 0.92, cos67∘ ≈ 0.39,tan67∘ ≈ 2.36) 20.新学期开始时,某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化,打造温馨舒适的 学习环境,准备到一家植物种植基地购买퐴、퐵两种花苗.据了解,购买퐴种花苗3盆, 퐵种花苗5盆,则需210元;购买퐴种花苗4盆,퐵种花苗10盆,则需380元. (1)求퐴、퐵两种花苗的单价分别是多少元? (2)经九年级一班班委会商定,决定购买퐴、퐵两种花苗共12盆进行搭配装扮教 室.种植基地销售人员为了支持本次活动,为该班同学提供以下优惠:购买几盆퐵种 花苗,퐵种花苗每盆就降价几元,请你为九年级一班的同学预算一下,本次购买至少 准备多少钱?最多准备多少钱? 21.阅读以下材料,并解决相应问题: 小明在课外学习时遇到这样一个问题: 定义:如果二次函数푦=푎1푥2 + 푏1푥 + 푐1(푎1 ≠ 0,푎1、푏1、푐1是常数)与푦=푎2푥2 + 푏2푥 + 푐2(푎2 ≠ 0,푎2、푏2、푐2是常数)满足푎1 + 푎2=0,푏1=푏2,푐1 + 푐2=0,则这 两个函数互为“旋转函数”.求函数푦=2푥2 − 3푥 + 1的旋转函数,小明是这样思考的, 由函数푦=2푥2 − 3푥 + 1可知,푎1=2,푏1=−3,푐1=1,根据푎1 + 푎2=0,푏1=푏2, 푐1 + 푐2=0,求出푎2,푏2,푐2就能确定这个函数的旋转函数. 请思考小明的方法解决下面问题: (1)写出函数푦=푥2 − 4푥 + 3的旋转函数. 4 / 11 (2)若函数푦=5푥2 + (푚 − 1)푥 + 푛与푦=−5푥2 − 푛푥 − 3互为旋转函数,求(푚 + 푛)2020的值. (3)已知函数푦=2(푥 − 1)(푥 + 3)的图象与푥轴交于퐴、퐵两点,与푦轴交于点퐶,点퐴、 퐵、퐶关于原点的对称点分别是퐴1、퐵1、퐶1,试求证:经过点퐴1、퐵1、퐶1的二次函数 与푦=2(푥 − 1)(푥 + 3)互为“旋转函数”. 22.端午节是中国的传统节日.今年端午节前夕,遂宁市某食品厂抽样调查了河东某 居民区市民对퐴、퐵、퐶、퐷四种不同口味粽子样品的喜爱情况,并将调查情况绘制成 如图两幅不完整统计图: (1)本次参加抽样调查的居民有________人. (2)喜欢퐶种口味粽子的人数所占圆心角为________度.根据题中信息补全条形统计 图. (3)若该居民小区有6000人,请你估计爱吃퐷种粽子的有________人. (4)若有外型完全相同的퐴、퐵、퐶、퐷棕子各一个,煮熟后,小李吃了两个,请用列 表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是퐴种粽子的概率. 5 / 11 23.如图,在平面直角坐标系中,已知点퐴的坐标为(0, 2),点퐵的坐标为(1, 0),连结 퐴퐵,以퐴퐵为边在第一象限内作正方形퐴퐵퐶퐷,直线퐵퐷交双曲线푦 = 푘 푥 (푘 ≠ 0)于퐷、퐸 两点,连结퐶퐸,交푥轴于点퐹. (1)求双曲线푦 = 푘 푥 (푘 ≠ 0)和直线퐷퐸的解析式. (2)求△ 퐷퐸퐶的面积. 24.如图,在푅푡 △ 퐴퐵퐶中,∠퐴퐶퐵=90∘,퐷为퐴퐵边上的一点,以퐴퐷为直径的⊙ 푂交 퐵퐶于点퐸,交퐴퐶于点퐹,过点퐶作퐶퐺 ⊥ 퐴퐵交퐴퐵于点퐺,交퐴퐸于点퐻,过点퐸的弦퐸푃交 퐴퐵于点푄(퐸푃不是直径),点푄为弦퐸푃的中点,连结퐵푃,퐵푃恰好为⊙ 푂的切线. (1)求证:퐵퐶是⊙ 푂的切线. (2)求证:퐸퐹̂ = 퐸퐷̂ . (3)若sin∠퐴퐵퐶 = 3 5 ,퐴퐶=15,求四边形퐶퐻푄퐸的面积. 6 / 11 25.如图,抛物线푦=푎푥2 + 푏푥 + 푐(푎 ≠ 0)的图象经过퐴(1, 0),퐵(3, 0),퐶(0, 6)三点. (1)求抛物线的解析式. (2)抛物线的顶点푀与对称轴푙上的点푁关于푥轴对称,直线퐴푁交抛物线于点퐷,直线 퐵퐸交퐴퐷于点퐸,若直线퐵퐸将△ 퐴퐵퐷的面积分为1: 2两部分,求点퐸的坐标. (3)푃为抛物线上的一动点,푄为对称轴上动点,抛物线上是否存在一点푃,使퐴、퐷、 푃、푄为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点푃的坐标;若不存在,请说明理 由. 7 / 11 参考答案与试题解析 2020 年四川省遂宁市中考数学试卷 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分,在每个小题给出的四个选 项中,只有一个符合题目要求.) 1.A 2.B 3.D 4.C 5.D 6.D 7.C 8.C 9.B 10.B 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.3 12.4 13.36 14.1 < 푚 ≤ 4 15.4039 三、计算或解答题(本大题共 10 小题,共 90 分,解答应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤) 16.原式=2√2 − 2 × 1 2 − (√2 − 1) + 4 − 1 =2√2 − 1 − √2 + 1 + 4 − 1 = √2 + 3. 17.原式=[ (푥+2)2 (푥+2)(푥−2) − (푥 + 2)]•푥−2 푥+2 =(푥+2 푥−2 − 푥2−4 푥−2 ) ⋅ 푥−2 푥+2 = −푥2 + 푥 + 6 푥 − 2 ⋅ 푥 − 2 푥 + 2 = − (푥 + 2)(푥 − 3) 푥 − 2 ⋅ 푥 − 2 푥 + 2 =−(푥 − 3) =−푥 + 3, ∵푥 ≠ ±2, ∴可取푥=1, 则原式=−1 + 3=2. 18.∵퐴퐹 // 퐵퐶, ∴∠퐴퐹퐸=∠퐷퐵퐸, ∵퐸是线段퐴퐷的中点, ∴퐴퐸=퐷퐸, ∵∠퐴퐸퐹=∠퐷퐸퐵, ∴△ 퐵퐷퐸 ≅△ 퐹퐴퐸(퐴퐴푆); ∵△ 퐵퐷퐸 ≅△ 퐹퐴퐸, ∴퐴퐹=퐵퐷, ∵퐷是线段퐵퐶的中点, ∴퐵퐷=퐶퐷, ∴퐴퐹=퐶퐷, ∵퐴퐹 // 퐶퐷, ∴四边形퐴퐷퐶퐹是平行四边形, ∵퐴퐵=퐴퐶, ∴퐴퐷 ⊥ 퐵퐶, ∴∠퐴퐷퐶=90∘, ∴四边形퐴퐷퐶퐹为矩形. 19.2号楼的高度约为45.8米. 20.设퐴、퐵两种花苗的单价分别是푥元和푦元,则{ 3푥 + 5푦 = 210 4푥 + 10푦 = 380,解得{푥 = 20 푦 = 30, 8 / 11 答:퐴、퐵两种花苗的单价分别是20元和30元; 设购买퐵花苗푥盆,则购买퐴花苗为(12 − 푥)盆,设总费用为푤元, 由题意得:푤=20(12 − 푥) + (30 − 푥)푥=−푥2 + 10푥 + 240(0 ≤ 푥 ≤ 12), ∵1 < 0.故푤有最大值,当푥=5时,푤的最小值为290,当푥=0时,푤的最小值为240, 故本次购买至少准备240元,最多准备290元. 21.由푦=푥2 − 4푥 + 3函数可知,푎1=1,푏1=−4,푐1=3, ∵푎1 + 푎2=0,푏1=푏2,푐1 + 푐2=0, ∴푎2=−1,푏2=−4,푐2=−3, ∴函数푦=푥2 − 4푥 + 3的“旋转函数”为푦=−푥2 − 4푥 − 3; ∵푦=5푥2 + (푚 − 1)푥 + 푛与푦=−5푥2 − 푛푥 − 3互为“旋转函数”, ∴{푚 − 1 = −푛 푛 − 3 = 0 , 解得:{푚 = −2 푛 = 3 , ∴(푚 + 푛)2020=(−2 + 3)2020=1. 证明:当푥=0时,푦=2(푥 − 1)(푥 + 3))=−6, ∴点퐶的坐标为(0, −6). 当푦=0时,2(푥 − 1)(푥 + 3)=0, 解得:푥1=1,푥2=−3, ∴点퐴的坐标为(1, 0),点퐵的坐标为(−3, 0). ∵点퐴,퐵,퐶关于原点的对称点分别是퐴1,퐵1,퐶1, ∴퐴1(−1, 0),퐵1(3, 0),퐶1(0, 6). 设过点퐴1,퐵1,퐶1的二次函数解析式为푦=푎(푥 + 1)(푥 − 3), 将퐶1(0, 6)代入푦=푎(푥 + 1)(푥 − 3),得:6=−3푎, 解得:푎=−2, 过点퐴1,퐵1,퐶1的二次函数解析式为푦=−2(푥 + 1)(푥 − 3),即푦=−2푥2 + 4푥 + 6. ∵푦=2(푥 − 1)(푥 + 3)=2푥2 + 4푥 − 6, ∴푎1=2,푏1=4,푐1=−6,푎2=−2,푏2=4,푐2=6, ∴푎1 + 푎2=2 + (−2)=0,푏1=푏2=4,푐1 + 푐2=6 + (−6)=0, ∴经过点퐴1,퐵1,퐶1的二次函数与函数푦=2(푥 − 1)(푥 + 3)互为“旋转函数”. 22.600 72 2400 画树状图为: 共有12种等可能的结果数,其中他第二个吃的粽子恰好是퐴种粽子的结果数为3, 所以他第二个吃的粽子恰好是퐴种粽子的概率= 3 12 = 1 4 . 23.,点퐵的坐标为(1, 0), ∴푂퐴=2,푂퐵=1, 作퐷푀 ⊥ 푦轴于푀, ∵四边形퐴퐵퐶퐷是正方形, ∴∠퐵퐴퐷=90∘,퐴퐵=퐴퐷, ∴∠푂퐴퐵 + ∠퐷퐴푀=90∘, ∵∠푂퐴퐵 + ∠퐴퐵푂=90∘, ∴∠퐷퐴푀=∠퐴퐵푂, 在△ 퐴푂퐵和△ 퐷푀퐴中 { ∠퐴퐵푂 = ∠퐷퐴푀 ∠퐴푂퐵 = ∠퐷푀퐴 = 90 퐴퐵 = 퐷퐴 , ∴△ 퐴푂퐵 ≅△ 퐷푀퐴(퐴퐴푆), ∴퐴푀=푂퐵=1,퐷푀=푂퐴=2, 9 / 11 ∴퐷(2, , ∵双曲线푦 = 푘 푥 (푘 ≠ 0)经过퐷点, ∴푘=2 × 3=6, ∴双曲线为푦 = 6 푥 , 设直线퐷퐸的解析式为푦=푚푥 + 푛, 把퐵(1, 0),퐷(2,(1)代入得{ 푚 + 푛 = 0 2푚 + 푛 = 3,解得{ 푚 = 3 푛 = −3, ∴直线퐷퐸的解析式为푦=3푥 − 3; ((2)连接퐴퐶,交퐵퐷于푁, ∵四边形퐴퐵퐶퐷是正方形, ∴퐵퐷垂直平分퐴퐶,퐴퐶=퐵퐷, 解{ 푦 = 3푥 − 3 푦 = 6 푥 得{푥 = 2 푦 = 3或{푥 = −1 푦 = −6, ∴퐸(−1, −(3), ∵퐵(1, 0),퐷(2,(4), ∴퐷퐸 = √(2 + 1)2 + (3 + 6)2 = 3√10,퐷퐵 = √(2 − 1)2 + 32 = √10, ∴퐶푁 = 1 2 퐵퐷 = √10 2 , ∴푆△퐷퐸퐶 = 1 2 퐷퐸 ⋅ 퐶푁 = 1 2 × 3√10 × √10 2 = 15 2 . 24.证明:连接푂퐸,푂푃, ∵푃퐸 ⊥ 퐴퐵,点푄为弦퐸푃的中点, ∴퐴퐵垂直平分퐸푃, ∴푃퐵=퐵퐸, ∵푂퐸=푂푃,푂퐵=푂퐵, ∴△ 퐵퐸푂 ≅△ 퐵푃푂(푆푆푆), ∴∠퐵퐸푂=∠퐵푃푂, ∵퐵푃为⊙ 푂的切线, ∴∠퐵푃푂=90∘, ∴∠퐵퐸푂=90∘, ∴푂퐸 ⊥ 퐵퐶, ∴퐵퐶是⊙ 푂的切线. ∵∠퐵퐸푂=∠퐴퐶퐵=90∘, ∴퐴퐶 // 푂퐸, ∴∠퐶퐴퐸=∠푂퐸퐴, ∵푂퐴=푂퐸, ∴∠퐸퐴푂=∠퐴퐸푂, ∴∠퐶퐴퐸=∠퐸퐴푂, ∴퐸퐹̂ = 퐸퐷̂ . ∵퐴퐷为的⊙ 푂直径,点푄为弦퐸푃的中点, ∴퐸푃 ⊥ 퐴퐵, ∵퐶퐺 ⊥ 퐴퐵, ∴퐶퐺 // 퐸푃, ∵∠퐴퐶퐵=∠퐵퐸푂=90∘, ∴퐴퐶 // 푂퐸, ∴∠퐶퐴퐸=∠퐴퐸푂, 10 / 11 ∵푂퐴=푂퐸, ∴∠퐸퐴푄=∠퐴퐸푂, ∴∠퐶퐴퐸=∠퐸퐴푂, ∵∠퐴퐶퐸=∠퐴푄퐸=90∘,퐴퐸=퐴퐸, ∴△ 퐴퐶퐸 ≅△ 퐴푄퐸(퐴퐴푆), ∴퐶퐸=푄퐸, ∵∠퐴퐸퐶 + ∠퐶퐴퐸=∠퐸퐴푄 + ∠퐴퐻퐺=90∘, ∴∠퐶퐸퐻=∠퐴퐻퐺, ∵∠퐴퐻퐺=∠퐶퐻퐸, ∴∠퐶퐻퐸=∠퐶퐸퐻, ∴퐶퐻=퐶퐸, ∴퐶퐻=퐸푄, ∴四边形퐶퐻푄퐸是平行四边形, ∵퐶퐻=퐶퐸, ∴四边形퐶퐻푄퐸是菱形, ∵sin∠퐴퐵퐶 = sin∠퐴퐶퐺 = 퐴퐺 퐴퐶 = 3 5 , ∵퐴퐶=15, ∴퐴퐺=9, ∴퐶퐺 = √퐴퐶2 − 퐴퐺2 = 12, ∵△ 퐴퐶퐸 ≅△ 퐴푄퐸, ∴퐴푄=퐴퐶=15, ∴푄퐺=6, ∵퐻푄2=퐻퐺2 + 푄퐺2, ∴퐻푄2=(12 − 퐻푄)2 + 62, 解得:퐻푄 = 15 2 , ∴퐶퐻=퐻푄 = 15 2 , ∴四边形퐶퐻푄퐸的面积=퐶퐻 ⋅ 퐺푄 = 15 2 × 6=45. 25.∵抛物线푦=푎푥2 + 푏푥 + 푐(푎 ≠ 0)的图象经过퐴(1, 0),퐵(3, 0), ∴设抛物线解析式为:푦=푎(푥 − 1)(푥 − 3), ∵抛物线푦=푎(푥 − 1)(푥 − 3)(푎 ≠ 0)的图象经过点퐶(0, 6), ∴6=푎(0 − 1)(0 − 3), ∴푎=2, ∴抛物线解析式为:푦=2(푥 − 1)(푥 − 3)=2푥2 − 8푥 + 6; ∵푦=2푥2 − 8푥 + 6=2(푥 − 2)2 − 2, ∴顶点푀的坐标为(2, −2), ∵抛物线的顶点푀与对称轴푙上的点푁关于푥轴对称, ∴点푁(2, 2), 设直线퐴푁解析式为:푦=푘푥 + 푏, 由题意可得:{ 0 = 푘 + 푏 2 = 2푘 + 푏, 解得:{ 푘 = 2 푏 = −2, ∴直线퐴푁解析式为:푦=2푥 − 2, 联立方程组得:{ 푦 = 2푥 − 2 푦 = 2푥2 − 8푥 + 6, 11 / 11 解得:{푥1 = 1 푦1 = 0,{푥2 = 4 푦2 = 6, ∴点퐷(4, 6), ∴푆△퐴퐵퐷 = 1 2 × 2 × 6=6, 设点퐸(푚, 2푚 − 2), ∵直线퐵퐸将△ 퐴퐵퐷的面积分为1: 2两部分, ∴푆△퐴퐵퐸 = 1 3 푆△퐴퐵퐷=2或푆△퐴퐵퐸 = 2 3 푆△퐴퐵퐷=4, ∴1 2 × 2 × (2푚 − 2)=2或1 2 × 2 × (2푚 − 2)=4, ∴푚=2或3, ∴点퐸(2, 2)或(3, 4); 若퐴퐷为平行四边形的边, ∵以퐴、퐷、푃、푄为顶点的四边形为平行四边形, ∴퐴퐷=푃푄, ∴푥퐷 − 푥퐴=푥푃 − 푥푄或푥퐷 − 푥퐴=푥푄 − 푥푃, ∴푥푃=4 − 1 + 2=5或푥푃=2 − 4 + 1=−1, ∴点푃坐标为(5, 16)或(−1, 16); 若퐴퐷为平行四边形的对角线, ∵以퐴、퐷、푃、푄为顶点的四边形为平行四边形, ∴퐴퐷与푃푄互相平分, ∴푥퐴+푥퐷 2 = 푥푃+푥푄 2 , ∴푥푃=3, ∴点푃坐标为(3, 0), 综上所述:当点푃坐标为(5, 16)或(−1, 16)或(3, 0)时,使퐴、퐷、푃、푄为顶点的四边 形为平行四边形.查看更多