2020全国中考数学试卷分类汇编(2)专题38 方案设计

2020全国中考数学试卷分类汇编(2)专题38 方案设计

方案设计一.选择题 ‎1.‎ 二.填空题 ‎ ‎1.‎ 三.解答题 ‎ 1. （2020•四川省乐山市•10分）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：‎ 车型 每车限载人数（人）‎ 租金（元/辆）‎ 商务车 ‎6‎ ‎300‎ 轿 车 ‎4‎ ‎（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？‎ ‎（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？‎ ‎【答案】（1）租用一辆轿车的租金为元．（2）租用商务车辆和轿车辆时，所付租金最少为元．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）本题可假设轿车的租金为x元，并根据题意列方程求解即可．‎ ‎（2）本题可利用两种方法求解，核心思路均是分类讨论，讨论范围分别是两车各租其一以及两车混合租赁，方法一可利用一次函数作为解题工具，根据函数特点求解本题；方法二则需要利用枚举法求解本题．‎ ‎【详解】解：（1）设租用一辆轿车的租金为元．‎ 由题意得：．‎ 解得 ，‎ 答：租用一辆轿车的租金为元．‎ ‎（2）方法1：①若只租用商务车，∵，‎ ‎∴只租用商务车应租6辆，所付租金为（元）；‎ ‎②若只租用轿车，∵，‎ ‎∴只租用轿车应租9辆，所付租金为（元）；‎ ‎③若混和租用两种车，设租用商务车辆，租用轿车辆，租金为元．‎ 由题意，得 ‎ 由，得 ，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，且为整数，‎ ‎∵随的增大而减小，‎ ‎∴当时，有最小值，此时，‎ 综上，租用商务车辆和轿车辆时，所付租金最少为元．‎ 方法2：设租用商务车辆，租用轿车辆，租金为元．‎ 由题意，得 ‎ 由，得 ，∴，‎ ‎∵为整数，∴只能取0，1，2，3，4，5，故租车方案有：‎ 不租商务车，则需租9辆轿车，所需租金为（元）；‎ 租1商务车，则需租7辆轿车，所需租金为（元）；‎ 租2商务车，则需租6辆轿车，所需租金为（元）；‎ 租3商务车，则需租4辆轿车，所需租金为（元）；‎ 租4商务车，则需租3辆轿车，所需租金（元）；‎ 租5商务车，则需租1辆轿车，所需租金为（元）；‎ 由此可见，最佳租车方案是租用商务车辆和轿车辆，‎ 此时所付租金最少，为元．‎ ‎【点睛】本题考查一次函数的实际问题以及信息提取能力，此类型题目需要根据题干所求列一次函数，并结合题目限制条件对函数自变量进行限制，继而利用函数单调性以及分类讨论思想解答本题．‎ ‎2.（2020•四川省泸州市•7分）某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．‎ ‎（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？‎ ‎（2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍．如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？‎ ‎【分析】（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，利用购买甲、乙两种奖品共花费了800元列方程30x+20（30﹣x）＝800，然后解方程求出x，再计算30﹣x即可；‎ ‎（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，设购买两种奖品的总费用为w元，由购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再由总价＝单价×数量，可得出w关于x的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．‎ ‎【解答】解：（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，‎ 根据题意得30x+20（30﹣x）＝800，‎ 解得x＝20，‎ 则30﹣x＝10，‎ 答：甲种奖品购买了20件，乙种奖品购买了10件；‎ ‎（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，设购买两种奖品的总费用为w元，‎ 根据题意得 30﹣x≤3x，解得x≥7.5，‎ w＝30x+20（30﹣x）＝10x+600，‎ ‎∵10＞0，‎ ‎∴w随x的增大而减小，‎ ‎∴x＝8时，w有最小值为：w＝10×8+600＝680．‎ 答：当购买甲种奖品8件、乙种奖品22件时，总花费最小，最小费用为680元．‎ ‎【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用：对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解；一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，‎ ‎3.（2020•内蒙古包头市•10分）某商店销售两种商品，A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元，2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元．‎ ‎（1）求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元？‎ ‎（2）该商店计划购进两种商品共60件，且两种商品的进价总额不超过7800元，已知A种商品和B种商品的每件进价分别为110元和140元，应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多？‎ ‎【答案】（1）A种商品和B种商品的销售单价分别为140元和180元．（2）A进20件，B进40件时获得利润最大．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设A和B的销售单价分别是x和y，根据题意列出二元一次方程组即可求解；‎ ‎（2）设A进货m件，根据题意可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得到结果．‎ ‎【详解】（1）设A种商品和B种商品的销售单价分别为x元和y元，‎ 根据题意可得，‎ 解得，‎ ‎∴A种商品和B种商品的销售单价分别为140元和180元．‎ ‎（2）设购进A商品m件，则购进B商品件，‎ 根据题意可得：，‎ 解得：，‎ 令总利润为w，则，‎ ‎，‎ ‎∴当时，获得利润最大，此时，‎ ‎∴A进20件，B进40件时获得利润最大．‎ ‎【点睛】本题主要考查了一元一次不等式与二元一次方程组的实际应用，准确计算是解题的关键．‎ ‎4.（2020•山东菏泽市•10分）今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．‎ ‎（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？‎ ‎（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．‎ ‎【分析】（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，根据“购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；‎ ‎（2）设购买m根跳绳，则购买（54﹣m）个毽子，根据购买的总费用不能超过260元且购买跳绳的数量多于20根，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出各购买方案．‎ ‎【解答】解：（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，‎ 依题意，得：，‎ 解得：．‎ 答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元．‎ ‎（2）设购买m根跳绳，则购买（54﹣m）个毽子，‎ 依题意，得：，‎ 解得：20＜m≤22．‎ 又∵m为正整数，‎ ‎∴m可以为21，22．‎ ‎∴共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子．‎ ‎【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．‎ ‎5.（2020•山东济宁市•8分）为加快复工复产，某企业需运输批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．‎ ‎(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；‎ ‎(2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5 000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元，请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？‎ ‎【答案】（1）1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输150箱，100箱物资；（2）共有3种方案，6辆大货车和6辆小货车，7辆大货车和5辆小货车；8辆大货车和4辆小货车，当安排6辆大货车和6辆小货车时，总费用最少，为48000元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x箱，y箱物资，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；‎ ‎（2）设安排m辆大货车，则小货车（12-m）辆，总费用为W，根据运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元分别得出不等式，求解即可得出结果.‎ 详解】解：（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x箱，y箱物资，‎ 根据题意，得：，‎ 解得：，‎ 答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输150箱，100箱物资；‎ ‎（2）设安排m辆大货车，则小货车（12-m）辆，总费用为W，‎ 则150m+（12-m）×100≥1500，‎ 解得：m≥6，‎ 而W=5000m+3000×（12-m）=2000m+36000＜54000，‎ 解得：m＜9，‎ 则6≤m＜9，‎ 则运输方案有3种：‎ ‎6辆大货车和6辆小货车；‎ ‎7辆大货车和5辆小货车；‎ ‎8辆大货车和4辆小货车；‎ ‎∵2000＞0，‎ ‎∴当m=6时，总费用最少，且为2000×6+36000=48000元.‎ ‎∴共有3种方案，当安排6辆大货车和6辆小货车时，总费用最少，为48000元.‎ ‎【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系和不等关系，列出式子.‎ ‎6.（2020•四川省泸州市•7分）某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．‎ ‎（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？‎ ‎（2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍．如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？‎ ‎【分析】（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，利用购买甲、乙两种奖品共花费了800元列方程30x+20（30﹣x）＝800，然后解方程求出x，再计算30﹣x即可；‎ ‎（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，设购买两种奖品的总费用为w元，由购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再由总价＝单价×数量，可得出w关于x的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．‎ ‎【解答】解：（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，‎ 根据题意得30x+20（30﹣x）＝800，‎ 解得x＝20，‎ 则30﹣x＝10，‎ 答：甲种奖品购买了20件，乙种奖品购买了10件；‎ ‎（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，设购买两种奖品的总费用为w元，‎ 根据题意得 30﹣x≤3x，解得x≥7.5，‎ w＝30x+20（30﹣x）＝10x+600，‎ ‎∵10＞0，‎ ‎∴w随x的增大而减小，‎ ‎∴x＝8时，w有最小值为：w＝10×8+600＝680．‎ 答：当购买甲种奖品8件、乙种奖品22件时，总花费最小，最小费用为680元．‎ ‎【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用：对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解；一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，‎ ‎7.（2020•四川省自贡市•10分）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销，甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折.‎ ‎⑴.以（单位：元）表示商品原价，（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出关于的函数关系式；‎ ‎⑵.新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？；‎ ‎【解析】（1）；当在乙商场购买商品未超过100元时，乙商场按照原价售卖，即；当在乙商场购买物品超过100元时，超过部分按8折，‎ ‎∴，化简得；‎ ‎∴；‎ ‎（2）由题意可知，当购买商品原价小于等于100时，甲商场打9折，乙商场不打折，所以甲商场购物更加划算；‎ 当购买商品原价超过100元时，‎ 若，即此时甲商场花费更低，购物选择甲商场；‎ 若，即，此时甲乙商场购物花费一样；‎ 若，即时，此时乙商场花费更低，购物选择乙商场；‎ 综上所述：当购买商品原价金额小于200时，选择甲商场更划算；当购买商品原价金额等于200时，选择甲商场和乙商场购物一样划算；当购买商品原价金额大于200时，选择乙商场更划算.‎ ‎8.（2020•山东菏泽市•10分）今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．‎ ‎（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？‎ ‎（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．‎ ‎【分析】（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，根据“购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；‎ ‎（2）设购买m根跳绳，则购买（54﹣m）个毽子，根据购买的总费用不能超过260元且购买跳绳的数量多于20根，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出各购买方案．‎ ‎【解答】解：（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，‎ 依题意，得：，‎ 解得：．‎ 答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元．‎ ‎（2）设购买m根跳绳，则购买（54﹣m）个毽子，‎ 依题意，得：，‎ 解得：20＜m≤22．‎ 又∵m为正整数，‎ ‎∴m可以为21，22．‎ ‎∴共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子．‎ ‎【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．‎ ‎9.（2020•山东济宁市•8分）为加快复工复产，某企业需运输批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．‎ ‎(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；‎ ‎(2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5 000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元，请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？‎ ‎【答案】（1）1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输150箱，100箱物资；（2）共有3种方案，6辆大货车和6辆小货车，7辆大货车和5辆小货车；8辆大货车和4辆小货车，当安排6辆大货车和6辆小货车时，总费用最少，为48000元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x箱，y箱物资，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；‎ ‎（2）设安排m辆大货车，则小货车（12-m）辆，总费用为W，根据运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元分别得出不等式，求解即可得出结果.‎ 详解】解：（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x箱，y箱物资，‎ 根据题意，得：，‎ 解得：，‎ 答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输150箱，100箱物资；‎ ‎（2）设安排m辆大货车，则小货车（12-m）辆，总费用为W，‎ 则150m+（12-m）×100≥1500，‎ 解得：m≥6，‎ 而W=5000m+3000×（12-m）=2000m+36000＜54000，‎ 解得：m＜9，‎ 则6≤m＜9，‎ 则运输方案有3种：‎ ‎6辆大货车和6辆小货车；‎ ‎7辆大货车和5辆小货车；‎ ‎8辆大货车和4辆小货车；‎ ‎∵2000＞0，‎ ‎∴当m=6时，总费用最少，且为2000×6+36000=48000元.‎ ‎∴共有3种方案，当安排6辆大货车和6辆小货车时，总费用最少，为48000元.‎ ‎【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系和不等关系，列出式子.‎