初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第24讲 几何的定值与最值

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第24讲 几何的定值与最值

1 第二十四讲 几何的定值与最值 几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间 的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定 量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明． 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、 角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有： 1．特殊位置与极端位置法； 2．几何定理(公理)法； 3．数形结合法等． 注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题 具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、 逻辑推理与合情想象相结合等思想方法． 【例题就解】 【例 1】 如图，已知 AB=10，P 是线段 AB 上任意一点，在 AB 的同侧分别以 AP 和 PB 为 边作等边△APC 和等边△BPD，则 CD 长度的最小值为 ． 思路点拨 如图，作 CC′⊥AB 于 C，DD′⊥AB 于 D′，DQ⊥CC′，CD2=DQ2+CQ2，DQ= 2 1 AB 一常数，当 CQ 越小，CD 越小，本例也可设 AP= x ，则 PB= x10 ，从代数角度探求 CD 的 最小值． 注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位 置是指： (1)中点处、垂直位置关系等； (2)端点处、临界位置等． 【例 2】 如图，圆的半径等于正三角形 ABC 的高，此圆在沿底边 AB 滚动，切点为 T，圆 交 AC、BC 于 M、N，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN 为的度数（ ） A．从 30°到 60°变动 B．从 60°到 90°变动 C．保持 30°不变 D．保持 60°不变 思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点 C 时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作 出判断． 注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题 ⌒ 2 中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得 定值与最值． 【例 3】 如图，已知平行四边形 ABCD，AB= a ，BC=b ( a >b )，P 为 AB 边上的一动点， 直线 DP 交 CB 的延长线于 Q，求 AP+BQ 的最小值． 思路点拨 设 AP= x ，把 AP、BQ 分别用 x 的代数式表示，运用不等式 abba 222  (当 且仅当 ba  时取等号)来求最小值． 【例 4】 如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧 AB 上取异于 A、B 的点 M，设直线 AC 与 BM 相交于 K，直线 CB 与 AM 相交于点 N，证明：线段 AK 和 BN 的乘积与 M 点的选 择无关． 思路点拨 即要证 AK·BN 是一个定值，在图形中△ABC 的边长是一个定值，说明 AK·BN 与 AB 有关，从图知 AB 为△ABM 与△ANB 的公共边，作一个大胆的猜想，AK·BN=AB2， 从而我们的证明目标更加明确． 注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题． 【例 5】 已知△XYZ 是直角边长为 1 的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三个顶点分别在 等腰 Rt△ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC 直角边长的最大可能值． 思路点拨 顶点 Z 在斜边上或直角边 CA(或 CB)上，当顶点 Z 在斜边 AB 上时，取 xy 的中点， 通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点 Z 在(AC 或 CB)上时，设 CX= ，CZ= y ， 建立 ， y 的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值． 注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等 式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是： (1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值； (2)构造二次函数求几何最值． ⌒ 3 学力训练 1．如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 为边 BC 上任意一点（可与 B 点或 C 点重合）， 分别过 B、C、D 作射线 AP 的垂线，垂足分别是 B′、C′、D′，则 BB′+CC′+DD′ 的最大值为 ，最小值为 ． 2．如图，∠AOB=45°，角内有一点 P，PO=10，在角的两边上有两点 Q，R(均不同于点 O)，则△PQR 的周长的最小值为 ． 3．如图，两点 A、B 在直线 MN 外的同侧，A 到 MN 的距离 AC=8，B 到 MN 的距离 BD=5， CD=4，P 在直线 MN 上运动，则 PBPA  的最大值等于 ． 4．如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是弧 AN 的中点，P 点是直径 MN 上一动点， ⊙O 的半径为 1，则 AP+BP 的最小值为( ) A．1 B． 2 2 C． 2 D． 13  5．如图，圆柱的轴截面 ABCD 是边长为 4 的正方形，动点 P 从 A 点出发，沿看圆柱的侧 面移动到 BC 的中点 S 的最短距离是( ) A． 212  B． 2412  C． 214  D． 242  6．如图、已知矩形 ABCD，R，P 户分别是 DC、BC 上的点，E，F 分别是 AP、RP 的中点， 当 P 在 BC 上从 B 向 C 移动而 R 不动时，那么下列结论成立的是( ) A．线段 EF 的长逐渐增大 B．线段 EF 的长逐渐减小 C．线段 EF 的长不改变 D．线段 EF 的长不能确定 4 7．如图，点 C 是线段 AB 上的任意一点(C 点不与 A、B 点重合)，分别以 AC、BC 为边在 直线 AB 的同侧作等边三角形 ACD 和等边三角形 BCE，AE 与 CD 相交于点 M，BD 与 CE 相交于点 N． (1)求证：MN∥AB； (2)若 AB 的长为 l0cm，当点 C 在线段 AB 上移动时，是否存在这样的一点 C，使线段 MN 的长度最长?若存在，请确定 C 点的位置并求出 MN 的长；若不存在，请说明理由． (2002 年云南省中考题) 8．如图，定长的弦 ST 在一个以 AB 为直径的半圆上滑动，M 是 ST 的中点，P 是 S 对 AB 作垂线的垂足，求证：不管 ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角． 9．已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，BT 为⊙O 的切线，B 为切点，P 为直线 AB 上一点， 过点 P 作 BC 的平行线交直线 BT 于点 E，交直线 AC 于点 F． (1)当点 P 在线段 AB 上时(如图)，求证：PA·PB=PE·PF； (2)当点 P 为线段 BA 延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明，如果 不成立，请说明理由． 10．如图，已知；边长为 4 的正方形截去一角成为五边形 ABCDE，其中 AF=2，BF=l，在 AB 上的一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积，则矩形 PNDM 的面积最大值是( ) A．8 B．12 C． 2 25 D．14 5 11．如图，AB 是半圆的直径，线段 CA 上 AB 于点 A，线段 DB 上 AB 于点 B，AB=2；AC=1， BD=3，P 是半圆上的一个动点，则封闭图形 ACPDB 的最大面积是( ) A． 22 B． 21 C． 23 D． 23  12．如图，在△ABC 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边 AB、AC 上分别取点 D、E，使线 段 DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度． 13．如图，ABCD 是一个边长为 1 的正方形，U、V 分别是 AB、CD 上的点，AV 与 DU 相 交于点 P，BV 与 CU 相交于点 Q．求四边形 PUQV 面积的最大值． 14．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水．已知每个喷水器 的喷水区域是半径为 l0 米的圆，问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽)，才 能使矩形花坛的面积最大? 15．某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场(平面图如图 所示)．其中，正方形 MNPQ 与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为 800 平方米． (1)设矩形的边 AB= x (米)，AM= y (米)，用含 x 的代数式表示 y 为 ． (2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为 2100 元；在四个相同的矩形 区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为 105 元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均 每平方米造价为 40 元． ①设该工程的总造价为 S(元)，求 S 关于工的函数关系式． ②若该工程的银行贷款为 235000 元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能， 请列出设计方案；若不能，请说明理由． ③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金 73000 元，问能否完成该工程的建设任务? 若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由． 16．某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地 ABCDE，边长和方向如图，欲在这块地上建 一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积(精确到 1m2)． 6 参考答案 7 8