2020九年级数学上册第2章对称图形——圆

2020九年级数学上册第2章对称图形——圆

第2章 对称图形——圆 ‎2.5　第3课时　三角形的内切圆 知识点 1　三角形内切圆的概念 图2－5－21‎ ‎1．[2017·广州] 如图2－5－21，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(　　)‎ A．三条边的垂直平分线的交点 ‎ B．三条角平分线的交点 ‎ C．三条中线的交点 ‎ D．三条高的交点 知识点 2　三角形内切圆的应用 ‎2．教材练习第1题变式如图2－5－22，点O是△ABC的内心，∠A＝62°，则∠BOC＝(　　)‎ A．59° B．31° C．124° D．121°‎ 图2－5－22‎ ‎　　　‎ 图2－5－23‎ ‎3．如图2－5－23，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，∠DOE＝120°，∠EOF＝110°，则∠A＝______°，∠B＝______°，∠C＝______°.‎ ‎4．教材例4变式如图2－5－24，⊙O是△ABC的内切圆，与边BC，CA，AB的切点分别为D，E，F.若∠A＝70°，则∠EDF的度数为________．‎ ‎5．△ABC的三边长分别为a，b，c，⊙I是△ABC的内切圆，半径为r，则S△ABC＝______________．‎ ‎6．已知直角三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形的内切圆半径是________．‎ 7‎ 图2－5－24‎ ‎　　‎ 图2－5－25‎ ‎7．如图2－5－25，已知⊙O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．‎ ‎8．如图2－5－26，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，求∠BOC的度数．‎ 图2－5－26‎ ‎9．如图2－5－27，I是△ABC的内心，∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D，BD与ID相等吗？为什么？‎ 图2－5－27‎ ‎ ‎ 7‎ 图2－5－28‎ ‎10．[2016·河北] 如图2－5－28为4×4的网格图，点A，B，C，D，O均在格点上，点O是(　　)‎ A．△ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的内心 ‎11．[2017·武汉] 已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为(　　)‎ A. B. C. D．2 ‎12．如图2－5－29，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F.‎ ‎(1)求证：BE＝CE；‎ ‎(2)若∠A＝90°，AB＝AC＝2，求⊙O的半径．‎ 图2－5－29‎ ‎13．如图2－5－30，在等腰三角形ABC中，AE是底边BC上的高，点O在AE上，⊙O与AB，BC分别相切于点D，E.‎ ‎(1)⊙O是否为△ABC的内切圆？请说明理由；‎ ‎(2)若AB＝5，BC＝4，求⊙O的半径．‎ 7‎ 图2－5－30‎ ‎14．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？‎ 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式S＝(其中a，b，c是三角形的三边长，p＝，S为三角形的面积)，并给出了证明．‎ 例如：在Rt△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：‎ ‎∵a＝3，b＝4，c＝5，‎ ‎∴p＝＝6，‎ ‎∴S＝＝＝6.‎ 事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．‎ 如图2－5－31，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9.‎ ‎(1)用海伦公式求△ABC的面积；‎ ‎(2)求△ABC的内切圆半径r.‎ 图2－5－31‎ 7‎ 详解详析 ‎1．B　2.D ‎3．50　60　70‎ ‎4．55°　[解析] 连接OE，OF.∵∠A＝70°，⊙O与边BC，CA，AB的切点分别为D，E，F，‎ ‎∴∠EOF＝180°－70°＝110°，‎ ‎∴∠EDF＝∠EOF＝55°.‎ ‎5.r(a＋b＋c)‎ ‎6．1‎ ‎7． ‎[解析] 设⊙O与BC的切点为D.连接OC，OD.‎ ‎∵CA，CB都与⊙O相切，‎ ‎∴∠OCD＝∠OCA＝30°.‎ 在Rt△OCD中，CD＝BC＝1，∠OCD＝30°，‎ ‎∴OD＝.‎ ‎8．解：∵∠BAC＝80°，‎ ‎∴∠ABC＋∠ACB＝180°－80°＝100°.‎ ‎∵点O是△ABC的内切圆的圆心，‎ ‎∴BO，CO分别平分∠ABC，∠BCA，‎ ‎∴∠OBC＋∠OCB＝50°，‎ ‎∴∠BOC＝130°.‎ ‎9．解：BD＝ID.‎ 理由：连接BI.‎ ‎∵点I是△ABC的内心，‎ ‎∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴∠BAD＝∠DBC.‎ ‎∵∠BID＝∠BAI＋∠ABI，∠IBD＝∠CBI＋∠DBC，∴∠IBD＝∠BID，‎ ‎∴BD＝ID.‎ ‎10．B　[解析] 由图可得OA＝OB＝OC，所以点O是△ABC的外心．故选B.‎ ‎11．C ‎12．解：(1)证明：如图，连接OB，OC，OE.‎ ‎∵⊙O是△ABC的内切圆，‎ ‎∴BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，‎ 7‎ ‎∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB.‎ ‎∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，‎ ‎∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，‎ 又∵⊙O与BC相切于点E，‎ ‎∴OE⊥BC，∴BE＝CE.‎ ‎(2)如图，连接OD，OF.‎ ‎∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，‎ ‎∴∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°.‎ 又∵OD＝OF，∴四边形ODAF是正方形．‎ 在Rt△OBD和Rt△OBE中， ‎∴△OBD≌△OBE，‎ ‎∴BD＝BE，同理CE＝CF.‎ 设OD＝AD＝AF＝r，‎ 则BE＝BD＝CF＝CE＝2－r.‎ 在△ABC中，∠A＝90°，‎ ‎∴BC＝＝2 .‎ 又∵BC＝BE＋CE，∴(2－r)＋(2－r)＝2 ，解得r＝2－，‎ ‎∴⊙O的半径是2－.‎ ‎13．解：(1)⊙O是△ABC的内切圆．‎ 理由：∵⊙O与AB相切于点D，‎ 连接OD，则OD⊥AB于点D，过点O作OF⊥AC于点F.‎ ‎∵AE是底边BC上的高，‎ ‎∴AE也是顶角∠BAC的平分线，‎ ‎∴OF＝OD，∴⊙O与AC相切于点F.‎ 又∵⊙O与BC相切，‎ ‎∴⊙O是△ABC的内切圆．‎ ‎(2)连接OB，OC，设⊙O的半径为r.‎ ‎∵D，E，F是切点，∴OD＝OE＝OF＝r.‎ 由题意得AB＝AC＝5，EC＝BE＝AB＝2.‎ 在Rt△ABE中 ，AE＝＝，‎ ‎∴r(AC＋BC＋AB)＝AE·BC，‎ 解得r＝.‎ ‎14．解：(1)∵BC＝5，AC＝6，AB＝9，‎ ‎∴p＝＝＝10，‎ ‎∴S＝＝＝10 ，‎ 故△ABC的面积10 .‎ ‎(2)∵S＝r(BC＋AC＋AB)，‎ 7‎ ‎∴10 ＝r(5＋6＋9)，解得r＝，‎ 故△ABC的内切圆半径r＝. ‎ 7‎