2020九年级数学上册第2章对称图形——圆

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2020九年级数学上册第2章对称图形——圆

第2章 对称图形——圆 ‎2.5 第3课时 三角形的内切圆 知识点 1 三角形内切圆的概念 图2-5-21‎ ‎1.[2017·广州] 如图2-5-21,⊙O是△ABC的内切圆,则点O是△ABC的(  )‎ A.三条边的垂直平分线的交点 ‎ B.三条角平分线的交点 ‎ C.三条中线的交点 ‎ D.三条高的交点 知识点 2 三角形内切圆的应用 ‎2.教材练习第1题变式如图2-5-22,点O是△ABC的内心,∠A=62°,则∠BOC=(  )‎ A.59° B.31° C.124° D.121°‎ 图2-5-22‎ ‎   ‎ 图2-5-23‎ ‎3.如图2-5-23,⊙O是△ABC的内切圆,与AB,BC,CA分别切于点D,E,F,∠DOE=120°,∠EOF=110°,则∠A=______°,∠B=______°,∠C=______°.‎ ‎4.教材例4变式如图2-5-24,⊙O是△ABC的内切圆,与边BC,CA,AB的切点分别为D,E,F.若∠A=70°,则∠EDF的度数为________.‎ ‎5.△ABC的三边长分别为a,b,c,⊙I是△ABC的内切圆,半径为r,则S△ABC=______________.‎ ‎6.已知直角三角形的三边长分别为3,4,5,则这个三角形的内切圆半径是________.‎ 7‎ 图2-5-24‎ ‎  ‎ 图2-5-25‎ ‎7.如图2-5-25,已知⊙O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆,则⊙O的半径为________.‎ ‎8.如图2-5-26,点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BAC=80°,求∠BOC的度数.‎ 图2-5-26‎ ‎9.如图2-5-27,I是△ABC的内心,∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D,BD与ID相等吗?为什么?‎ 图2-5-27‎ ‎ ‎ 7‎ 图2-5-28‎ ‎10.[2016·河北] 如图2-5-28为4×4的网格图,点A,B,C,D,O均在格点上,点O是(  )‎ A.△ACD的外心 B.△ABC的外心 C.△ACD的内心 D.△ABC的内心 ‎11.[2017·武汉] 已知一个三角形的三边长分别为5,7,8,则其内切圆的半径为(  )‎ A. B. C. D.2 ‎12.如图2-5-29,在△ABC中,AB=AC,⊙O是△ABC的内切圆,它与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F.‎ ‎(1)求证:BE=CE;‎ ‎(2)若∠A=90°,AB=AC=2,求⊙O的半径.‎ 图2-5-29‎ ‎13.如图2-5-30,在等腰三角形ABC中,AE是底边BC上的高,点O在AE上,⊙O与AB,BC分别相切于点D,E.‎ ‎(1)⊙O是否为△ABC的内切圆?请说明理由;‎ ‎(2)若AB=5,BC=4,求⊙O的半径.‎ 7‎ 图2-5-30‎ ‎14.已知任意三角形的三边长,如何求三角形的面积?‎ 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题,在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式S=(其中a,b,c是三角形的三边长,p=,S为三角形的面积),并给出了证明.‎ 例如:在Rt△ABC中,a=3,b=4,c=5,那么它的面积可以这样计算:‎ ‎∵a=3,b=4,c=5,‎ ‎∴p==6,‎ ‎∴S===6.‎ 事实上,对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题,还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决.‎ 如图2-5-31,在△ABC中,BC=5,AC=6,AB=9.‎ ‎(1)用海伦公式求△ABC的面积;‎ ‎(2)求△ABC的内切圆半径r.‎ 图2-5-31‎ 7‎ 详解详析 ‎1.B 2.D ‎3.50 60 70‎ ‎4.55° [解析] 连接OE,OF.∵∠A=70°,⊙O与边BC,CA,AB的切点分别为D,E,F,‎ ‎∴∠EOF=180°-70°=110°,‎ ‎∴∠EDF=∠EOF=55°.‎ ‎5.r(a+b+c)‎ ‎6.1‎ ‎7. ‎[解析] 设⊙O与BC的切点为D.连接OC,OD.‎ ‎∵CA,CB都与⊙O相切,‎ ‎∴∠OCD=∠OCA=30°.‎ 在Rt△OCD中,CD=BC=1,∠OCD=30°,‎ ‎∴OD=.‎ ‎8.解:∵∠BAC=80°,‎ ‎∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°.‎ ‎∵点O是△ABC的内切圆的圆心,‎ ‎∴BO,CO分别平分∠ABC,∠BCA,‎ ‎∴∠OBC+∠OCB=50°,‎ ‎∴∠BOC=130°.‎ ‎9.解:BD=ID.‎ 理由:连接BI.‎ ‎∵点I是△ABC的内心,‎ ‎∴∠BAI=∠CAI,∠ABI=∠CBI,‎ ‎∴=,‎ ‎∴∠BAD=∠DBC.‎ ‎∵∠BID=∠BAI+∠ABI,∠IBD=∠CBI+∠DBC,∴∠IBD=∠BID,‎ ‎∴BD=ID.‎ ‎10.B [解析] 由图可得OA=OB=OC,所以点O是△ABC的外心.故选B.‎ ‎11.C ‎12.解:(1)证明:如图,连接OB,OC,OE.‎ ‎∵⊙O是△ABC的内切圆,‎ ‎∴BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,‎ 7‎ ‎∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB.‎ ‎∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,‎ ‎∴∠OBC=∠OCB,∴OB=OC,‎ 又∵⊙O与BC相切于点E,‎ ‎∴OE⊥BC,∴BE=CE.‎ ‎(2)如图,连接OD,OF.‎ ‎∵⊙O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,‎ ‎∴∠ODA=∠OFA=∠A=90°.‎ 又∵OD=OF,∴四边形ODAF是正方形.‎ 在Rt△OBD和Rt△OBE中, ‎∴△OBD≌△OBE,‎ ‎∴BD=BE,同理CE=CF.‎ 设OD=AD=AF=r,‎ 则BE=BD=CF=CE=2-r.‎ 在△ABC中,∠A=90°,‎ ‎∴BC==2 .‎ 又∵BC=BE+CE,∴(2-r)+(2-r)=2 ,解得r=2-,‎ ‎∴⊙O的半径是2-.‎ ‎13.解:(1)⊙O是△ABC的内切圆.‎ 理由:∵⊙O与AB相切于点D,‎ 连接OD,则OD⊥AB于点D,过点O作OF⊥AC于点F.‎ ‎∵AE是底边BC上的高,‎ ‎∴AE也是顶角∠BAC的平分线,‎ ‎∴OF=OD,∴⊙O与AC相切于点F.‎ 又∵⊙O与BC相切,‎ ‎∴⊙O是△ABC的内切圆.‎ ‎(2)连接OB,OC,设⊙O的半径为r.‎ ‎∵D,E,F是切点,∴OD=OE=OF=r.‎ 由题意得AB=AC=5,EC=BE=AB=2.‎ 在Rt△ABE中 ,AE==,‎ ‎∴r(AC+BC+AB)=AE·BC,‎ 解得r=.‎ ‎14.解:(1)∵BC=5,AC=6,AB=9,‎ ‎∴p===10,‎ ‎∴S===10 ,‎ 故△ABC的面积10 .‎ ‎(2)∵S=r(BC+AC+AB),‎ 7‎ ‎∴10 =r(5+6+9),解得r=,‎ 故△ABC的内切圆半径r=. ‎ 7‎
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