2020九年级数学上册 第二十四章 圆 为判定切线支招同步辅导素材 （新版）新人教版

2020九年级数学上册 第二十四章 圆 为判定切线支招同步辅导素材 （新版）新人教版

为判定切线支招 同学们，证明直线是圆的切线的问题，你会感到困难吗？这里，为大家支个招，介绍两种通过添加辅助线证明圆的切线的方法：一是如果欲证的切线已知与圆有公共点，则经过这个公共点作圆的半径（或直径），然后证明该半径（或直径）与该直线垂直，简称“作半径，证垂直”；二是如果欲证的切线与圆无公共点，则经过圆心作该直线的垂线，然后证明圆心到该直线的距离等于圆的半径，简称“作垂直，证相等”.‎ 这两种切线的证明方法分别适用于两种不同的条件，在运用是要注意正确选择．下面举例说明，供同学们学习时参考．‎ 一、“连半径，证垂直”‎ 例1（2016•南宁）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D．求证：AC是⊙O的切线．‎ 分析：由已知条件可知欲证的切线AC与⊙O有公共点D，因此，连接OD，再证明OD⊥AC即可．‎ 证明：如图1，连接OD．‎ ‎∵OB＝OD，‎ ‎∴∠ODB＝∠OBD.‎ ‎∵BD为∠ABC平分线，‎ ‎∴∠OBD＝∠CBD.，‎ ‎∴∠CBD＝∠ODB.‎ ‎∴OD∥BC.‎ ‎∵∠C＝90°，‎ ‎∴∠ODA＝∠C＝90°，即OD⊥AC.‎ ‎∴AC是⊙O的切线．‎ 二、“作垂直，证相等”‎ 例2(2015∙黔东南)如图2，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A，B两点.求证：PN与⊙O相切.‎ 分析：已知条件中没有说明直线PN与⊙O有无公共点，可由圆心O向PN作垂线OF，通过证明OF与⊙O的半径相等，得出PN与⊙O相切.‎ 证明：如图2，连接OE，过点O作OF⊥PN于点F.‎ ‎∵⊙O与PM相切于点E，‎ ‎∴OE⊥PM.‎ 又∵PC平分∠MPN ，OF⊥PN，OE⊥PM，‎ ‎∴OF=OE，‎ ‎∴PN与⊙O相切.‎ 1‎