人教版八年级数学上册第十四章14.3因式分解

人教版八年级数学上册第十四章14.3因式分解

第十四章 整式的乘法与因式分解 14.3因式分解 第2课时 1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化 思想．（重点） 2.能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进 行因式分解．（难点） 学习目标 导入新课 a米 b米 b米a米 (a-b) 情境引入 如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米 的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此 图形变换，你能得到什么公式？ a2- b2=(a+b)(a-b) 讲授新课 想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解 因式吗？ 是a,b两数的平方差的形式 ))(( b a ba -+=22 ba - ))(( 22baba ba-+ = - 整式乘法 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 平方差公式： 用平方差公式进行因式分解 √ √ × × 辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式， 为什么？ √ √ ★符合平方差的形式 的多项式才能用平方 差公式进行因式分解， 即能写成: ( ) 2 - ( )2的形式. （1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2-y2 -(x2+y2) y2-x2（4）-x2+y2 （5）x2-25y2 (x+5y)(x-5y) （6）m2-1 (m+1)(m-1) 2(1) 4 9;x  例1 分解因式： 2 2(2 ) 3x  (2 3)(2 3);x x   2 2(2)( ) ( ) .x p x q   a ab b( + )( - )a2 - b2 = 解:(1)原式= 2x 3 2x 2x3 3    ( ) ( ) ( ) ( )x p x q x p x q       (2)原式 (2 )( ).x p q p q    2 2( ) ( )x p x q  a b 典例精析 方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、 还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方 差的形式，就能用平方差公式因式分解. 分解因式： (1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2. 针对训练 ＝(2m＋4n)(4m＋2n) 解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a) ＝(b－a)(3a＋b)； (2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n) ＝4(m＋2n)(2m＋n)． 若用平方差公式分解后的结 果中有公因式，一定要再用 提公因式法继续分解. ))((22 bababa -+=- 20152－20142 =（2mn）2 - ( 3xy)2 =(x+z)2 - (y+p)2 = 例2 分解因式： 4 4 3(1) ; (2) .x y a b ab  解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2 ＝(x2+y2)(x2-y2) 分解因式后，一定要检查是 否还有能继续分解的因式， 若有，则需继续分解. ＝(x2+y2)(x+y)(x-y); (2)原式＝ab(a2-1) 分解因式时，一般先用提公 因式法进行分解，然后再用 公式法.最后进行检查. ＝ab(a+1)(a-1). 方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点， 一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必 须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止． 分解因式： (1)5m2a4－5m2b4； (2)a2－4b2－a－2b. 针对训练 ＝(a＋2b)(a－2b－1). ＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b)； 解：(1)原式＝5m2(a4－b4) ＝5m2(a2＋b2)(a2－b2) (2)原式＝(a2－4b2)－(a＋2b) ＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b) 例3 已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值． ∴x－y＝－2②. 解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2， x＋y＝1①， 联立①②组成二元一次方程组， 解得 1 ,2 3 .2 x y      方法总结：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或 未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然 后整体代入或联立方程组求值. 例4 计算下列各题： (1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4. 解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400； (2)原式＝4(53.52－46.52) =4(53.5＋46.5)(53.5－46.5) ＝4×100×7=2800. 方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用 因式分解对其进行变形，使运算得以简化. 例5 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2 一定能被8整除． 即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除． 证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n•2=8n， ∵n为整数， ∴8n被8整除， 方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整 式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除． 1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　) A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn C．－x2－y2 D．－x2＋9 当堂练习 D 2.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（　　） A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3) C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3) D 3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（　　） A．-21 B．21 C．-10 D．10 A (4a+3b)(4a-3b) 4ab 9xy(y+2x)(y-2x) (4+a2)(2+a)(2-a) 4 原式=-40×5=-200． 当4m+n=40，2m-3n=5时， 7.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长 为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积． 解：根据题意，得 6.82－4×1.62 ＝6.82－ (2×1.6)2 ＝6.82－3.22 ＝(6.8＋3.2)(6.8 － 3.2) ＝10×3.6 ＝36 (cm2) 答：剩余部分的面积为36 cm2. 8. (1)992-1能否被100整除吗？ 解：(1)因为 992-1=(99+1)(99-1)=100×98， 所以，(2n+1)2-25能被4整除. (2)n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？ 所以992-1能否被100整除. (2)原式=(2n+1+5)(2n+1-5) =(2n+6)(2n-4) =2(n+3) ×2(n-2)=4(n+3)(n-2). 课堂小结 平 方 差 公 式 分 解 因 式 公 式 a2-b2=(a+b)(a-b) 步 骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没 有分解到不能再分解为止.