2020-2021学年人教版初二数学上册期中考点专题01 三角形的基础

2020-2021学年人教版初二数学上册期中考点专题01 三角形的基础

‎2020-2021学年人教版初二数学上册期中考点专题01 三角形的基础 重点突破 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。‎ 三角形特性 三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。‎ 三角形按边分类：‎ 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。‎ 等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等。‎ 三角形三边的关系（重点 ‎（1）三角形的任意两边之和大于第三边。 ‎ 三角形的任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可） ‎ 用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。‎ ‎（2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b ‎ 三角形的分类：‎ 三角形按边的关系分类如下：‎ 三角形按角的关系分类如下：‎ ‎ ‎ 三角形的稳定性 Ø 三角形具有稳定性 ‎ Ø 四边形及多边形不具有稳定性 ‎ 要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。‎ 考查题型 考查题型一 三角形的个数问题 典例1．（2019·西林县期中）如图所示，其中三角形的个数是（　　）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎【答案】D ‎【提示】根据三角形的定义解答即可，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.‎ ‎【详解】图中的三角形有：△ABC，△BCD，△BCE，△ABE，△CDE共5个.‎ 故选D.‎ ‎【名师点拨】本题考查了三角形的概念，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻边的公共端点叫做三角形的顶点.相邻两条边组成的角，叫做三角形的内角，简称为三角形的角.‎ 变式1-1．（2017·秦皇岛市期中）图中三角形的个数是（ ）‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 图中的三角形有: △ABD, △ADE, △AEC, △ABE, △ADC, △ABC,共6个.‎ 故选D.‎ 变式1-2．（2018·洛阳市期末）图中三角形的个数是（ ）‎ A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 ‎【答案】C ‎【提示】根据三角形的定义即可得．‎ ‎【详解】图中的三角形是，共8个 故选：C．‎ ‎【名师点拨】本题考查了三角形的定义，掌握理解三角形的概念是解题关键．‎ 变式1-3．（2018·恩施市期中）如图，图中三角形的个数有 （　　）‎ A．6个 B．8个 C．10个 D．12个 ‎【答案】B ‎【解析】试题解析：以O为一个顶点的有△CBO、△CDO、△ABO、△ADO，不以O为顶点的三角形有△CAD、△CBA、△BCD、△BAD，共有8个．‎ 故选B.‎ 考查题型二 三角形的分类 典例2（2020·石家庄市期末）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（ ）‎ A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】试题提示：根据三角形的内角和定理求出∠C，即可判定△ABC的形状．‎ 解：∵∠A=20°，∠B=60°，‎ ‎∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，‎ ‎∴△ABC是钝角三角形．‎ 故选D．‎ 变式2-1．（2019·黄冈市期中）一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（ ）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 ‎ C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】试题提示：根据三角形的内角和为180°，可知最大角为90°，因式这个三角形是直角三角形.故选B.‎ 变式2-2．（2020·深圳市期中）在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：3：5，则△ABC是（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状不确定 ‎【答案】C ‎【提示】根据∠A：∠B：∠C=1：3：5，可设∠A=x°，∠B=3x°，∠C=5x°，再根据三角形内角和为180°可得方程x+3x+5x=180，解方程算出x的值，即可判断出△ABC的形状．‎ ‎【详解】解：∵∠A：∠B：∠C=1：3：5， ∴设∠A=x°，∠B=3x°，∠C=5x°， ∴x+3x+5x=180， 解得：x=20， ∴∠C=5×20°=100°， ∴△ABC是钝角三角形． 故选：C．‎ ‎【名师点拨】本题考查三角形内角和定理，关键是利用方程思想列出三个角的关系式．‎ 变式2-3．（2020·石家庄市期末）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能确定三角形类型的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【提示】根据三角形按角分类的方法一一判断即可．‎ ‎【详解】观察图象可知：选项B，D的三角形是钝角三角形，选项C中的三角形是锐角三角形，选项A中的三角形无法判定三角形的类型．‎ 故选A．‎ ‎【名师点拨】本题考查了三角形的分类，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．‎ 考查题型三 构成三角形的条件 典例3．（2019·宜兴市期末）下列各组线段不能组成三角形的是 ( )‎ A．4cm、4cm、5cm B．4cm、6cm、11cm C．4cm、5cm、6cm D．5cm、12cm、13cm ‎【答案】B ‎【提示】根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项提示判断后利用排除法求解.‎ ‎【详解】、，能组成三角形，故本选项错误；‎ ‎、，不能组成三角形，故本选项正确；‎ ‎、，能组成三角形，故本选项错误；‎ ‎、，能组成三角形，故本选项错误.‎ 故选：.‎ ‎【名师点拨】本题考查了三角形的三边关系，是基础题，熟记三边关系是解题的关键.‎ 变式3-1．（2020·太仓市）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（　　）‎ A．12 B．15 C．12或15 D．18‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题提示：根据题意，要分情况讨论：①、3是腰；②、3是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边．‎ 解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，∴不构成三角形，舍去．‎ ‎②若3是底，则腰是6，6．‎ ‎3+6＞6，符合条件．成立．‎ ‎∴C=3+6+6=15．‎ 故选B．‎ 变式3-2．（2020·兰州市期末）等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则这个三角形的周长为( )‎ A．22 B．17 C．13 D．17或22‎ ‎【答案】A ‎【提示】分4是腰长和底边两种情况讨论求解即可．‎ ‎【详解】解：4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9，‎ ‎∵4+4=8＜9，‎ ‎∴不能组成三角形，‎ ‎4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9，‎ 能组成三角形，‎ 周长=4+9+9=22，‎ 综上所述，该等腰三角形的周长为22．‎ 故选A．‎ ‎【名师点拨】‎ 本题主要考查了三角形三边关系，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．‎ 变式3-3．（2019·哈尔滨市期中）下列长度的四根木棒中，能与长的两根木棒首尾相接成一个三角形的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【提示】根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，逐一判断选项，即可.‎ ‎【详解】∵4+4<9，‎ ‎∴，长的木棒首尾相接，不能组成三角形，‎ ‎∴A错误；‎ ‎∵5+4=9，‎ ‎∴，长的木棒首尾相接，不能组成三角形，‎ ‎∴B错误；‎ ‎∵9+4>9，‎ ‎∴，长的木棒能组成三角形，‎ ‎∴C正确；‎ ‎∵4+9=13，‎ ‎∴，长的木棒，不能组成三角形，‎ ‎∴D错误；‎ 故选C.‎ ‎【名师点拨】本题主要考查三角形的三边关系，掌握“三角形任意两边之和大于第三边”，是解题的关键.‎ 变式3-4．（2020·濮阳市期末）若实数m，n满足，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是(     )‎ A．12 B．8 C．10 D．10或8‎ ‎【答案】C ‎【提示】根据非负数的性质求出的值，根据等腰三角形的性质求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 当三角形的腰长为2时，，构不成三角形；‎ 当三角形的腰长为4时，三角形的周长为：.‎ 故答案选：C.‎ ‎【名师点拨】考查非负数的性质以及等腰三角形的性质，掌握三角形的三边关系是解题的关键.‎ 考查题型四 三角形第三边的取值范围 典例4．（2020·三明市期末）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ）‎ A．1 B．2 C．8 D．11‎ ‎【答案】C ‎【提示】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可确定出第三边的范围，据此根据选项即可判断.‎ ‎【详解】设第三边长为x，则有 ‎7-30，b -a -c <0. ∴原式= a+b-c −(a +c−b)= .故选择B项.‎ ‎【名师点拨】本题考查三角形三边关系和绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系.‎ 变式5-2．（2018·保定市期末）如图，为估计池塘岸边A，B的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A，B间的距离可能是（   ）‎ A．30米 B．25米 C．20米 D．5米 ‎【答案】C ‎【解析】设A，B间的距离为x．‎ 根据三角形的三边关系定理，得：15-10＜x＜15+10，‎ 解得：5＜x＜25，‎ 所以，A，B之间的距离可能是20m．‎ 故选C．‎ 变式5-3．（2019·滨州市期末）若（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（　　）‎ A．12 B．15 C．12或15 D．18‎ ‎【答案】B ‎【提示】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a、b的值，根据等腰三角形的判定，可得三角形的腰，根据三角形的周长公式，可得答案．‎ ‎【详解】由（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，得a﹣3＝0，b﹣6＝0．‎ 则以a、b为边长的等腰三角形的腰长为6，底边长为3，‎ 周长为6+6+3＝15，‎ 故选B．‎ ‎【名师点拨】本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键．‎ 变式5-4．（2018·南开区期末）如果一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，则这个等腰三角形的腰长为（　　）‎ A．13 B．5 C．5或13 D．1‎ ‎【答案】A ‎【详解】设等腰三角形的腰长为x，则底边长为x﹣12或x+12，‎ 当底边长为x﹣12时，根据题意，2x+x﹣12=27，‎ 解得x=13，‎ ‎∴腰长为13；‎ 当底边长为x+12时，根据题意，2x+x+12=27，‎ 解得x=5，‎ 因为5+5＜17，所以构不成三角形，‎ 故这个等腰三角形的腰的长为13，‎ 故选A．‎ 考查题型六 三角形的稳定性 典例6．（2019·路北区期中）下列图形具有稳定性的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【提示】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断即可得．‎ ‎【详解】A、具有稳定性，符合题意；‎ B、不具有稳定性，故不符合题意；‎ C、不具有稳定性，故不符合题意；‎ D、不具有稳定性，故不符合题意，‎ 故选A．‎ ‎【名师点拨】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键．‎ 变式6-1．（2020·乌鲁木齐市期末）为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是（   ） ‎ A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．两直线平行，内错角相等 ‎【答案】C ‎【解析】试题提示：三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．‎ 解：这样做的道理是三角形具有稳定性． ‎ 故选：C．‎ 变式6-2．（2020·安阳市期末）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（ ）．‎ A．0根 B．1根 C．2根 D．3根 ‎【答案】B ‎【解析】三角形具有稳定性，连接一条对角线，即可得到两个三角形，故选B 变式6-3．（2020·济南市期末）如图，窗户打开后，用窗钩可将其固定，其所运用的几何原理是（ ）‎ A．三角形的稳定性 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 ‎【答案】A ‎【提示】根据点A、B、O组成一个三角形，利用三角形的稳定性解答．‎ ‎【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形状， 所以，主要运用的几何原理是三角形的稳定性．‎ 故答案选A.‎ ‎【名师点拨】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用．‎ 变式6-4．（2019·深圳市期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是( )‎ A．两点之间的线段最短 B．长方形的四个角都是直角 C．三角形有稳定性 D．长方形是轴对称图形 ‎【答案】C ‎【详解】用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形的根据是三角形具有稳定性．‎ 故选：C．‎ ‎【名师点拨】本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用，是基础题．‎ 变式6-5．（2019·抚顺市期中）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）‎ A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性 ‎【答案】D ‎【提示】根据三角形的稳定性解答即可．‎ ‎【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，‎ 故选：D．‎ ‎【名师点拨】此题考查三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答．‎