2020-2021学年人教版初二数学上册期中考点专题03 三角形有关的角

2020-2021学年人教版初二数学上册期中考点专题03 三角形有关的角

‎2020-2021学年人教版初二数学上册期中考点专题03 三角形有关的角 重点突破 知识点一 三角形的内角 内角和定理：三角形三个内角和等于180°。‎ 推论：‎ ‎①直角三角形的两个锐角互余。‎ ‎②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。‎ ‎③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。‎ ‎【备注】‎ ‎1.在同一个三角形中：等角对等边；‎ ‎2.等边对等角；大角对大边；‎ ‎3.大边对大角。‎ ‎4.等角的补角相等，等角的余角相等。‎ 三角形的内角构成：‎ 知识点二 三角形的外角 概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角 性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。‎ 三角形的外角与内角的关系：‎ ‎1、三角形的一个外角与它相邻的内角互补；‎ ‎2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；‎ ‎3、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。‎ 考查题型 考查题型一 三角形内角和定理 典例1．（2020·毕节市期末）在三角形中，最大的内角不小于（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：∵三角形的内角和等于180°，180°÷3=60°，∴最大的角不小于60°．故选C．‎ 变式1-1．（2020·阳新县陶港镇陶港中学初一期中）三角形的三个内角( ) ‎ A．至少有两个锐角 B．至少有一个直角 C．至多有两个钝角 D．至少有一个钝角 ‎【答案】A ‎【提示】根据三角形的内角和是180°判断即可．‎ ‎【详解】解：根据三角形的内角和是180°，知：三个内角可以都是60°，排除B；‎ 三个内角可以都是锐角，排除C和D；‎ 三角形的三个内角中至少有两个锐角，不可能有两个钝角或两个直角．‎ 故选A．‎ ‎【名师点拨】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的三个内角和是180°．‎ 变式1-2．（2020·毕节市期末）如图，点D在△ABC内，且∠BDC=120°，∠1+∠2=55°，则∠A的度数为（ ）‎ A．50° B．60° C．65° D．75°‎ ‎【答案】C ‎【提示】根据三角形的内角和即可求出.‎ ‎【详解】在△BCD中，∠BDC=120°，∴∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=60°，‎ ‎∵∠1+∠2=55°，∴∠ABC+∠ACB=∠1+∠2+∠DBC+∠DCB=115°，‎ ‎∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=65°.‎ 故选C.‎ ‎【名师点拨】此题主要考查三角形的内角和，解题的关键是熟知三角形的内角和的性质.‎ 变式1-3．（2020·黄冈市期末）等腰三角形的一个内角为50°，它的顶角的度数是（ ）‎ A．40° B．50° C．50°或40° D．50°或80°‎ ‎【答案】D ‎【提示】根据50°是顶角的度数或底角的度数分类讨论，然后结合三角形的内角和定理即可得出结论．‎ ‎【详解】解：①若顶角的度数为50°时，此时符合题意；‎ ‎②若底角的度数为50°时，‎ 则等腰三角形的顶角为：180°－50°－50°=80°‎ 综上所述：它的顶角的度数是50°或80°‎ 故选D．‎ ‎【名师点拨】此题考查的是等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，掌握等边对等角和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．‎ 变式1-4．（2019·益阳市期中）如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（）‎ A．360º B．250º C．180º D．140º ‎【答案】B ‎【提示】【提示】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=110°，进而利用四边形内角和定理得出答案．‎ ‎【详解】∵△ABC中，∠C=70°，‎ ‎∴∠A+∠B=180°-∠C =110°，‎ ‎∴∠1+∠2=360°-110°=250°，‎ 故选B．‎ ‎【名师点拨】本题主要考查了多边形内角和定理，根据题意得出∠A+∠B的度数是解题关键.‎ 考查题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 典例2．（2019·渭南市期末）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE,若∠ABC=30°，则∠D为（　　）‎ A．85° B．75° C．60° D．30°‎ ‎【答案】B ‎【解析】详解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠C=∠ABC=30°，‎ 又∵CD=CE，‎ ‎∴∠D=∠CED，‎ ‎∵∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，‎ ‎∴∠D=75°．‎ 故选B．‎ 变式2-1．（2020·沈阳市期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（　　）‎ A．15° B．55° C．65° D．75°‎ ‎【答案】D ‎【提示】根据邻补角定义可得∠ADE=15°，由平行线的性质可得∠A=∠ADE=15°，再根据三角形内角和定理即可求得∠B=75°．‎ ‎【详解】解：∵∠CDE=165°，∴∠ADE=15°，‎ ‎∵DE∥AB，∴∠A=∠ADE=15°，‎ ‎∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°，‎ 故选D．‎ ‎【名师点拨】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．‎ 变式2-2．（2018定西市期末）如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B=65°，则∠2的度数为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【提示】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3=∠1+∠B，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．‎ ‎【详解】解：如图， ‎ 由三角形的外角性质可得，∠3=∠1+∠B=65°，‎ ‎∵a∥b，∠DCB=90°，‎ ‎∴∠2=180°-∠3-90°=180°-65°-90°=25°．‎ 故选：B．‎ ‎【名师点拨】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．‎ 变式2-3．（2020·金昌市期中）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B＝55°，则∠1等于（　　）‎ A．35° B．45° C．55° D．65°‎ ‎【答案】A ‎【详解】试题提示：利用“直角三角形的两个锐角互余”的性质求得∠A=35°，然后利用平行线的性质得到∠1=∠A=35°．‎ 解：如图，∵BC⊥AE，‎ ‎∴∠ACB=90°．‎ ‎∴∠A+∠B=90°．‎ 又∵∠B=55°，‎ ‎∴∠A=35°．‎ 又CD∥AB，‎ ‎∴∠1=∠A=35°．‎ 故选A．‎ 变式2-4．（2020·吕梁市期中）如图，直线被直线所截，且，过上的点A作AB⊥交于点B，其中∠1＜30°，则下列一定正确的是( )‎ A．∠2＞120° B．∠3＜60° C．∠4－∠3＞90° D．2∠3＞∠4‎ ‎【答案】D ‎【提示】根据三角形内角和定理求出∠ACB，再根据平行线的性质逐个判断即可．‎ ‎【详解】解：∵AB⊥l3，‎ ‎∴∠ABC=90°，‎ ‎∵∠1＜30°‎ ‎∴∠ACB=90°-∠1＞60°，‎ ‎∴∠2＜120°，‎ ‎∵直线l1∥l2，‎ ‎∴∠3=∠ABC＞60°，‎ ‎∴∠4-∠3=180°-∠3-∠3=180°-2∠3＜60°，‎ ‎2∠3＞∠4，‎ 故选D．‎ 名师点拨：本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，能求出各个角的度数是解此题的关键．‎ 考查题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 典例3．（2019·大石桥市期末）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC的度数为(　　)‎ A．118° B．119° C．120° D．121°‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分线的性质得∠CBE+∠BCD=60°，再利用三角形的内角和定理得结果．‎ 解：∵∠A=60°，‎ ‎∴∠ABC+∠ACB=120°，‎ ‎∵BE，CD是∠B、∠C的平分线，‎ ‎∴∠CBE=∠ABC，∠BCD=∠BCA，‎ ‎∴∠CBE+∠BCD=（∠ABC+∠BCA）=60°，‎ ‎∴∠BFC=180°﹣60°=120°，‎ 故选C．‎ 变式3-1．（2019·河东区期中）如图，BO、CO是∠ABC、∠ACB的平分线，∠BOC=120°，则∠A=( )‎ A．60° B．120° C．110° D．40°‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题解析：因为OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，‎ 所以∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，‎ 所以∠ABO+∠ACO=∠CBO+∠BCO=180°﹣120°=60°，‎ 所以∠ABC+∠ACB=60°×2=120°，‎ 于是∠A=180°﹣120°=60°．‎ 故选A．‎ 变式3-2．（2018·赣州市期中）如图，△ABC中，∠A＝46°，∠C＝74°，BD平分∠ABC，交AC于点D，那么∠BDC的度数是（ ） ‎ A．76° B．81° C．92° D．104°‎ ‎【答案】A ‎【提示】根据三角形的内角和为180°，可得∠A+∠C+∠ABC=180°，然后根据△ABC中，∠A＝46°，∠C＝74°，求得∠ABC=60°，然后根据角平分线的性质，可得∠ABD=30°，再根据三角形的外角性质，可得∠BDC=∠A+∠ABD=76°.‎ ‎【详解】∵△ABC中，∠A=46°，∠C=74°，‎ ‎∴∠ABC=60°，‎ ‎∵BD为∠ABC平分线，‎ ‎∴∠ABD=∠CBD=30°，‎ ‎∵∠BDC为△ABD外角，‎ ‎∴∠BDC=∠A+∠ABD=76°，‎ 故选A ‎【名师点拨】此题主要考查了三角形的内角和外角的性质，解题关键是构造合适的角的和差关系，然后根据角平分线的性质求解即可.‎ 变式3-3．（2018·达州市期末）已知AD、AE分别为△ABC的角平分线、高线，若∠B=40°，∠C=60°，则∠ADB的度数为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【提示】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线定义求出∠BAD，根据三角形内角和定理求出即可．‎ ‎【详解】∵∠B=40°，∠C=60°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°， ∵AD、AE分别为△ABC的角平分线、高线， ∴∠BAD=∠BAC=40°， ∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-40°=100°， 故选D．‎ ‎【名师点拨】考查了三角形内角和定理的应用，能求出∠BAD的度数是解此题的关键．‎ 变式3-4．（2019·重庆市期中）如图，∠A＝120°，且∠1＝∠2＝∠3和∠4＝∠5＝∠6，则∠BDC＝（　　）‎ A．120° B．60° C．140° D．无法确定 ‎【答案】C ‎【提示】根据三角形内角和定理，即可得到∠ABC+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，再根据∠1＝∠2＝∠3，∠4＝∠5＝∠6，即可得到∠DBC+∠DCB的度数，最后利用三角形内角和定理可得∠BDC的度数．‎ ‎【详解】解：在△ABC中，‎ ‎∵∠A＝120°，‎ ‎∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，‎ 又∵∠1＝∠2＝∠3，∠4＝∠5＝∠6，‎ ‎∴∠DBC+∠DCB＝×60°＝40°，‎ ‎∴∠BDC＝180°﹣40°＝140°.‎ 故选C．‎ ‎【名师点拨】此题考查三角形的内角和，解题时注意：三角形内角和是180°．‎ 考查题型四 三角形内角和定理的应用 典例4．（2020·怀集县期末）一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得∠A＝60°，∠B＝75°，则这个三角形残缺前的∠C的度数为（　　）‎ A．75° B．60° C．45° D．40°‎ ‎【答案】C ‎【提示】利用三角形内角和定理求解即可.‎ ‎【详解】因为三角形内角和为180°，且∠A = 60°，∠B = 75°，所以∠C=180°–60°–75°=45°.‎ ‎【名师点拨】三角形内角和定理是常考的知识点.‎ 变式4-1．（2019·淄博市期中）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处， 它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到 达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的 距离为 A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里 ‎【答案】D ‎【解析】提示：依题意，知MN＝40海里/小时×2小时＝80海里，‎ ‎∵根据方向角的意义和平行的性质，∠M＝70°，∠N＝40°，‎ ‎∴根据三角形内角和定理得∠MPN＝70°．∴∠M＝∠MPN＝70°．‎ ‎∴NP＝NM＝80海里．故选D．‎ 变式4-2．（2020·玉林市期末）如图所示，一个60o角的三角形纸片，剪去这个600角后，得到 一个四边形，则么的度数为（ ）‎ A．120O B．180O. C．240O D．3000‎ ‎【答案】C ‎【详解】如图，根据三角形内角和定理，得∠3+∠4+600=1800，‎ 又根据平角定义，∠1+∠3=1800，∠2+∠4=1800，‎ ‎∴1800－∠1+1800－∠2+600=1800.‎ ‎∴∠1+∠2=240O.‎ 故选C.‎ 变式4-3．（2019·黄石市期中）适合条件∠A＝∠B＝∠C的△ABC是( )‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 ‎【答案】B ‎【提示】此题隐含的条件是三角形的内角和为180，列方程，根据题中角的关系求解，再判断三角形的形状．‎ ‎【详解】∵∠A=∠B=∠C，‎ ‎∴∠B=2∠A，∠C=3∠A，‎ ‎∵∠A+∠B+∠C=180，即6∠A=180，‎ ‎∴∠A=30，‎ ‎∴∠B=60，∠C=90，‎ ‎∴△ABC为直角三角形.‎ 故选B.‎ ‎【名师点拨】本题考查三角形内角和定理：三角形的内角和为180.‎ 变式4-4．（2020株洲市期中）在中，若一个内角等于另外两个角的差，则（ ）‎ A．必有一个角等于 B．必有一个角等于 C．必有一个角等于 D．必有一个角等于 ‎【答案】D ‎【提示】先设三角形的两个内角分别为x，y，则可得(180°－x－y)，再分三种情况讨论，即可得到答案.‎ ‎【详解】设三角形的一个内角为x，另一个角为y，则三个角为(180°－x－y)，则有三种情况：‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ 综上所述，必有一个角等于90°‎ 故选D.‎ ‎【名师点拨】本题考查三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质，分情况讨论.‎ 考查题型五 直角三角形的两个锐角互余 典例5．（2018·奉化市期中）已知直角三角形ABC，有一个锐角等于50°，则另一个锐角的度数是（　　）‎ A．30° B．40° C．45° D．50°‎ ‎【答案】B ‎【提示】由直角三角形的两锐角互余，可得另一个角的度数.‎ ‎【详解】另一个锐角的度数为 90°-50°=40°.，‎ 故选B.‎ ‎【名师点拨】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，熟练掌握这一性质是解答本题的关键.‎ 变式5-1．（2019·重庆市期中）在△ABC中，已知∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，∠EHF的度数是（　　）‎ A．50° B．40° C．130° D．120°‎ ‎【答案】D ‎【提示】先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再根据CF是AB上的高得出∠ACF的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．‎ ‎【详解】∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，‎ ‎∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=60°，‎ ‎∵CF是AB上的高，∴∠AFC=90°，‎ ‎∴∠ACF=90°﹣∠A=30°，‎ 在△CEH中，∠ACF=30°，∠CEH=90°，‎ ‎∴∠EHF=∠ACF+∠CEH=30°+90°=120°，‎ 故选D．‎ ‎【名师点拨】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、直角三角形两锐角互余等，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.‎ 变式5-2．（2018·龙岩市期末）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠2=50°，则∠1的度数是（　　）‎ A．40° B．50° C．60° D．140°‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题提示：根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等解答．‎ 解：∵DB⊥BC，∠2=50°，‎ ‎∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣50°=40°，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠1=∠3=40°．‎ 故选A．‎ 考查题型六 三角形外角性质 典例6．（2020·泰安市期中）如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若，则的大小为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】详解：如图，∵矩形的对边平行，∴∠2=∠3=44°，根据三角形外角性质，可得：∠3=∠1+30°，∴∠1=44°﹣30°=14°．故选A．‎ ‎ ‎ 名师点拨：本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．‎ 变式6-1．（2020·鸡东县期中）已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角板（∠C=90°）按如图所示的位置摆放，若∠1=55°，则∠2的度数为（　　）‎ A．80° B．70° C．85° D．75°‎ ‎【答案】A ‎【提示】如图，先根据三角形外角的性质求出∠4的度数，再根据平行线的性质求出∠5的度数，最后根据邻补角的定义进行求解即可得.‎ ‎【详解】如图，‎ ‎∵∠1=∠3=55°，∠B=45°，‎ ‎∴∠4=∠3+∠B=100°，‎ ‎∵a∥b，‎ ‎∴∠5=∠4=100°，‎ ‎∴∠2=180°﹣∠5=80°，‎ 故选A．‎ ‎【名师点拨】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，结合图形灵活运用相关的知识解决问题是关键.‎ 变式6-2．（2018·鸡西市期末）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A在四边形BCDE的外部时，记∠AEB为∠1，∠ADC为∠2，则∠A、∠1与∠2的数量关系，结论正确的是（ ）‎ A．∠1＝∠2＋∠A B．∠1＝2∠A＋∠2‎ C．∠1＝2∠2＋2∠A D．2∠1＝∠2＋∠A ‎【答案】B ‎【解析】试题提示：如图在ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，折叠之后在ADF中，∠A+∠2+∠3=180°，∴∠B+∠C=∠2+∠3，∠3=180°-∠A-∠2，又在四边形BCFE中∠B+∠C+∠1+∠3=360°，∴∠2+∠3+∠1+∠3=360°∴∠2+∠1+2∠3=∠2+∠1+2（180°-∠A-∠2）=360°，∴∠2+∠1-2∠A-2∠2=0，∴∠1＝2∠A＋∠2.故选B 名师点拨：本题主要考查考生对三角形内角和，四边形内角和以及三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和的理解及掌握。在求∠A、∠1与∠2的数量关系时，，用到了等量代换的思想，进行角与角之间的转换。‎ 变式6-3．（2019·许昌市期中）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，则等于　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【提示】根据三角形的内角和定理和三角形外角性质进行解答即可．‎ ‎【详解】如图：‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=，‎ 故选C．‎ ‎【名师点拨】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、熟练掌握相关定理及性质以及一副三角板中各个角的度数是解题的关键.‎ 变式6-4．（2019·临沂市期中）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则的度数是（ ）‎ A．165° B．120° C．150° D．135°‎ ‎【答案】A ‎【提示】先根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再由邻补角的定义求得∠2的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求得的度数．‎ ‎【详解】∵图中是一副三角板，‎ ‎∴∠1=45°，‎ ‎∴∠2=180°-∠1=180°-45°=135°，‎ ‎∴ =∠2+30°=135°+30°=165°．‎ 故选A．‎ ‎【名师点拨】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．‎