- 2021-10-27 发布 |
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文档介绍
2020-2021学年人教版初二数学上册期中考点专题06 全等三角形的判定
2020-2021学年人教版初二数学上册期中考点专题06 全等三角形的判定 重点突破 知识点一 全等三角形的判定(重点) 一般三角形 直角三角形 判定 边角边(SAS)、角边角(ASA) 角角边(AAS)、边边边(SSS) 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等(HL) 性质 对应边相等,对应角相等 对应中线相等,对应高相等,对应角平分线相等 备注: 1.判定两个三角形全等必须有一组边对应相等。 2.全等三角形周长、面积相等。 知识点二 证题的思路(难点) 考查题型一 利用SAS判断两个三角形全等 典例1(2020惠州市期末)如图,点E、F分别是矩形ABCD的边 AB、CD上的一点,且DF=BE. 求证:AF=CE. 【答案】证明见解析 【分析】 由SAS证明△ADF≌△CBE,即可得出AF=CE. 【详解】 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠D=∠B=90°,AD=BC, 在△ADF和△CBE中,, ∴△ADF≌△CBE(SAS), ∴AF=CE. 变式1-1(2018·丹江口市期末)如图,点E,F在AB上,. 求证:. 【答案】详见解析 【分析】 先将转化为AF=BE,再利用证明两个三角形全等. 【详解】 证明:因为AE=BF,所以,AE+EF=BF+EF,即AF=BE, 在△ADF和△BCE中, 所以, 变式1-2(2019·武汉市期中)已知:如图,点C为AB中点,CD=BE,CD∥BE.求证:△ACD≌△CBE. 【答案】证明见解析. 【解析】 证明:∵CD∥BE,∴∠ACD=∠B.. ∵点C为AB中点,∴AC=CB. 又∵CD=BE,∴△ACD≌△CBE(SAS) 变式1-3(2019·兰州市期末)如图,△ABC中,AB=AC,点E,F在边BC上,BE=CF,点D在AF的延长线上,AD=AC, (1)求证:△ABE≌△ACF; (2)若∠BAE=30°,则∠ADC= °. 【答案】(1)证明见解析;(2)75. 【分析】 (1)根据等边对等角可得∠B=∠ACF,然后利用SAS证明△ABE≌△ACF即可; (2)根据△ABE≌△ACF,可得∠CAF=∠BAE=30°,再根据AD=AC,利用等腰三角形的性质即可求得∠ADC的度数. 【详解】 (1)∵AB=AC, ∴∠B=∠ACF, 在△ABE和△ACF中, , ∴△ABE≌△ACF(SAS); (2)∵△ABE≌△ACF,∠BAE=30°, ∴∠CAF=∠BAE=30°, ∵AD=AC, ∴∠ADC=∠ACD, ∴∠ADC==75°, 故答案为75. 考查题型二 利用ASA判断两个三角形全等 典例2(2019·玉林市期中)如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在 AC 边上,∠1=∠2,AE和BD 相交于点O. 求证:△AEC≌△BED; 【答案】见解析 【分析】 根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED; 【详解】 ∵AE和BD相交于点O, ∴∠AOD=∠BOE. 在△AOD和△BOE中, ∠A=∠B,∴∠BEO=∠2. 又∵∠1=∠2, ∴∠1=∠BEO, ∴∠AEC=∠BED. 在△AEC和△BED中, ∴△AEC≌△BED(ASA). 变式2-1(2018·楚雄州期末)如图,完成下列推理过程: 如图所示,点E在△ABC外部,点D在BC边上,DE交AC于F,若∠1=∠3,∠E=∠C,AE=AC,求证:△ABC≌△ADE. 证明:∵∠E=∠C(已知), ∠AFE=∠DFC( ), ∴∠2=∠3( ), 又∵∠1=∠3( ), ∴∠1=∠2(等量代换), ∴__________+∠DAC=__________+∠DAC( ), 即∠BAC=∠DAE, 在△ABC和△ADE中 ∵ ∴△ABC≌△ADE( ). 【答案】对顶角相等;三角形内角和定理;已知;∠1;∠2;等式的性质;ASA 【详解】 解:∵∠E=∠C(已知), ∠AFE=∠DFC(对顶角相等), ∴∠2=∠3(三角形内角和定理). 又∵∠1=∠3(已知), ∴∠1=∠2(等量代换), ∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC(等式的性质), 即∠BAC=∠DAE. 在△ABC和△ADE中, ∵, ∴△ABC≌△ADE(ASA). 变式2-2(2019·德州市期末)如图,AB=AC,AB⊥AC,AD⊥AE,且∠ABD=∠ACE. 求证:BD=CE. 【答案】见解析. 【分析】 先求出∠CAE=∠BAD再利用ASA证明△ABD≌△ACE,即可解答 【详解】 ∵AB⊥AC,AD⊥AE, ∴∠BAE+∠CAE=90°,∠BAE+∠BAD=90°, ∴∠CAE=∠BAD. 又AB=AC,∠ABD=∠ACE, ∴△ABD≌△ACE(ASA). ∴BD=CE. 考查题型三 利用AAS判断两个三角形全等 典例3(2019·黄石市期中)如图,在ABCD中,经过A,C两点分别作AE⊥BD,CF⊥BD,E,F为垂足. (1)求证:△AED≌△CFB;(2)求证:四边形AFCE是平行四边形. 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【分析】 (1)根据平行四边形的性质可得AD=BC,∠CBF=∠ADE,再根据垂线的性质可得∠CFB=∠AED=90°,再根据全等三角形的判定(角角边)来证明即可; (2)根据全等三角形的性质可得AE=CF,再由AE⊥BD,CF⊥BD可得AE∥CF,根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可证明. 【详解】 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,AD∥BC, ∴∠CBF=∠ADE, ∵AE⊥BD,CF⊥BD, ∴∠CFB=∠AED=90°, ∴△AED≌△CFB(AAS). (2)证明:∵△AED≌△CFB, ∴AE=CF, ∵AE⊥BD,CF⊥BD, ∴AE∥CF, ∴四边形AFCE是平行四边形. 变式3-1(2019·兴义市期末)如图,已知在四边形ABCD中,点E在AD上,∠BCE=∠ACD=90°,∠BAC=∠D,BC=CE. (1)求证:AC=CD; (2)若AC=AE,求∠DEC的度数. 【答案】(1)证明见解析;(2)112.5°. 【分析】 根据同角的余角相等可得到结合条件,再加上 可证得结论; 根据 得到 根据等腰三角形的性质得到 由平角的定义得到 【详解】 证明: 在△ABC和△DEC中,, (2)∵∠ACD=90°,AC=CD, ∴∠1=∠D=45°, ∵AE=AC, ∴∠3=∠5=67.5°, ∴∠DEC=180°-∠5=112.5°. 变式3-2(2019·温州市期中)如图,已知,,,在同一直线上,,,.试说明:. 【答案】见解析; 【分析】 由AB∥CD可得∠BAC=∠DCA,由AF=CE可得AE=CF,由AAS可得△ABE≌△CDF. 【详解】 证明∵, ∴ ∵, ∴,即. 在和中, , ∴(AAS) 考查题型四 利用SSS判断两个三角形全等 典例4(2019·德州市期中)已知:如图,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB,垂足为E,DF⊥AC,垂足为F.求证:DE=DF. 【答案】见解析 【分析】 连接AD,利用“边边边”证明△ABD和△ACD全等,再根据全等三角形对应边上的高相等证明. 【详解】 证明:如图,连接AD, 在△ABD和△ACD中, , ∴△ABD≌△ACD(SSS), ∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE=DF(全等三角形对应边上的高相等). 变式4-1(2019·阳泉市期末)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上,求证:∠1=∠2. 【答案】证明见详解 【分析】 由AB=AC,AD=AD,BD=CD,可证得△ABD≌△ACD,得到∠BAE=∠CAE,再证明△ABE≌△ACE,即可得到结论. 【详解】 证明:AB=AC,AD=AD,BD=CD, 在△ABD和△ACD中, △ABD≌△ACD, ∠BAE=∠CAE, 在△ABE和△ACE中, △ABE≌△ACE ∠1=∠2. 变式4-2(2019·鄂州市期中)如图,点A、D、C、F在同一条直线上,AD=CF,AB=DE,BC=EF. (1)求证:ΔABC≌△DEF; (2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F的度数. 【答案】(1)证明见解析;(2)37° 【解析】 (1)∵AC=AD+DC, DF=DC+CF,且AD=CF ∴AC=DF 在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△DEF(SSS) (2)由(1)可知,∠F=∠ACB ∵∠A=55°,∠B=88° ∴∠ACB=180°-(∠A+∠B)=180°-(55°+88°)=37° ∴∠F=∠ACB=37° 变式4-3(2020·石家庄市期末)如图,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量),点A,D在l异侧,测得AB=DE,AC=DF,BF=EC. (1)求证:△ABC≌△DEF; (2)指出图中所有平行的线段,并说明理由. 【答案】(1)详见解析;(2)∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE,理由见解析. 【解析】 (1)证明:∵BF=EC, ∴BF+CF=CF+CE, ∴BC="EF" ∵AB=DE,AC="DF" ∴△ABC≌△DEF(SSS) (2)AB∥DE,AC∥DF,理由如下, ∵△ABC≌△DEF, ∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE, ∴AB∥DE,AC∥DF. 考查题型五 利用HL判断两个直角三角形全等 典例5(2019·云龙县期中)已知:如图,AC=BD,AD⊥AC,BC⊥BD.求证:AD=BC 【答案】见解析 【分析】 连接CD,利用HL定理得出Rt△ADC≌Rt△BCD进而得出答案. 【详解】 证明:如图,连接CD, ∵AD⊥AC,BC⊥BD,∴∠A=∠B=90°, 在Rt△ADC和Rt△BCD中 , ∴Rt△ADC≌Rt△BCD(HL), ∴AD=BC. 变式5-1(2019·开封市期中)已知:如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,. 求证:(1);(2). 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【分析】 (1)根据垂直的定义得到∠DEC=∠BFA=90°,推出Rt△DCE≌Rt△BFA(HL),由全等三角形的性质即可得到结论. (2)根据全等三角形的性质得到∠C=∠A,根据平行线的判定即可得到AB∥CD. 【详解】 证明: ∵ DE⊥ AC, BF⊥ AC ∴ ∠DEC=∠BFA=90° 在Rt△ DEC和Rt△ BFA中 AB=CD DE=BF ∴ Rt△ DCE≌Rt△ BFA(HL) ∴ AF=CE ∴ ∠C=∠A ∴ AB∥ CD 变式5-2(2018·开封市期末)如图,、、、四点在一条直线上,,,,垂足分别为点、点,. 求证: (1); (2). 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【分析】 (1)由垂直的定义,结合题目已知条件可利用HL证得结论; (2)由(1)中结论可得到∠D=∠B,则可证得结论. 【详解】 证明: (1)∵,, ∴和为直角三角形, ∵, ∴,即, 在和中, , ∴; (2)由(1)可知, ∴, ∴. 考查题型六 三角形全等判定的综合 典例6(2019·保定市期末)下列各图中a、b、c为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是( ) A.甲和乙 B.乙和丙 C.甲和丙 D.只有丙 【答案】B 【解析】 乙和△ABC全等;理由如下: 在△ABC和图乙的三角形中,满足三角形全等的判定方法:SAS, 所以乙和△ABC全等; 在△ABC和图丙的三角形中,满足三角形全等的判定方法:AAS, 所以丙和△ABC全等; 不能判定甲与△ABC全等; 故选B. 变式6-1(2019·武汉市期中)如图,在△ABC和△DEC中,已知AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC,不能添加的一组条件是( ) A.BC=EC,∠B=∠E B.BC=EC,AC=DC C.BC=DC,∠A=∠D D.∠B=∠E,∠A=∠D 【答案】C 【解析】 试题分析:根据全等三角形的判定方法分别进行判定: A、已知AB=DE,加上条件BC=EC,∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC,故此选项不合题意; B、已知AB=DE,加上条件BC=EC,AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC,故此选项不合题意; C、已知AB=DE,加上条件BC=DC,∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC,故此选项符合题意; D、已知AB=DE,加上条件∠B=∠E,∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC,故此选项不合题意. 故选C. 变式6-2(2020·杭州市期末)如图所示,在下列条件中,不能判断△ABD≌△BAC的条件是( ) A.∠D=∠C,∠BAD=∠ABC B.∠BAD=∠ABC,∠ABD=∠BAC C.BD=AC,∠BAD=∠ABC D.AD=BC,BD=AC 【答案】C 【解析】 解:A、符合AAS,能判断△ABD≌△BAC; B、符合ASA,能判断△ABD≌△BAC; C、符合SSA,不能判断△ABD≌△BAC; D、符合SSS,能判断△ABD≌△BAC. 所以根据全等三角形的判定方C、满足SSA不能判断两个三角形全等. 故选C. 变式6-3(2018·虹桥区期中)如图,在下列条件中,不能证明△ABD≌△ACD的是( ). A.BD=DC,AB=AC B.∠ADB=∠ADC,BD=DC C.∠B=∠C,∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C,BD=DC 【答案】D 【分析】 两个三角形有公共边AD,可利用SSS,SAS,ASA,AAS的方法判断全等三角形. 解答: 【详解】 分析: ∵AD=AD, A、当BD=DC,AB=AC时,利用SSS证明△ABD≌△ACD,正确; B、当∠ADB=∠ADC,BD=DC时,利用SAS证明△ABD≌△ACD,正确; C、当∠B=∠C,∠BAD=∠CAD时,利用AAS证明△ABD≌△ACD,正确; D、当∠B=∠C,BD=DC时,符合SSA的位置关系,不能证明△ABD≌△ACD,错误. 故选D.查看更多