重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）14

重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）14

14.1 整式的乘法 第十四章 整式的乘法与因式分解 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 14.1.1 同底数幂的乘法 八年级数学上（RJ） 学习目标 1. 理解并掌握同底数幂的乘法法则 . （重点） 2. 能够运用同底数幂的乘法法则进行相关计算 . （难点） 3. 通过对同底数幂的乘法运算法则的推导与总结，提升自身的推理能力 . 导入新课 问题引入 神威·太湖之光超级计算机是由国家并行计算机工程技术研究中心研制的超级计算机 . 北京时间2016年6月20日，在法兰克福世界超算大会（ISC）上，“神威·太湖之光”超级计算机系统登顶榜单之首，成为世界上首台每秒运算速度超过十亿亿次 (10 17 次 ) 的超级计算机 . 它工作 10 3 s 可进行多少次运算？ 讲授新课 同底数幂相乘 一 互动探究 神威·太湖之光超级计算机是世界上首台每秒运算速度超过十亿亿次 (10 17 次 ) 的超级计算机 . 它工作 10 3 s 可进行多少次运算？ 问题 1 怎样列式？ 10 17 ×10 3 问题 2 在 10 3 中， 10 ， 3 分别叫什么？表示的意义是什么？ =10×10×10 3 个 10 相乘 10 3 底数 幂 指数 问题 3 观察算式 10 17 ×10 3 ，两个因式有何特点？ 观察可以发现， 10 17 和 10 3 这两个因数 底数相同 ， 是同底数的幂的形式 . 我们把形如 10 17 ×10 3 这种运算叫作 同底数幂的乘法 . 问题 4 根据乘方的意义，想一想如何计算 10 17 ×10 3 ？ 10 17 ×10 3 =(10×10×10 × … ×10) 17 个 10 ×(10×10×10) 3 个 10 =10×10× … ×10 20 个 10 =10 20 =10 17+3 ( 乘方的意义 ) ( 乘法的结合律 ) ( 乘方的意义 ) （ 1 ） 2 5 ×2 2 =2 （ ） 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？ 试一试 =(2×2×2×2×2) ×(2×2) =2×2×2×2×2× 2×2 =2 7 （ 2 ） a 3 · a 2 = a （ ） =( a﹒a﹒a ) ( a﹒a ) = a﹒a﹒a﹒a﹒a = a 5 7 5 同底数幂相乘，底数 不变 ，指数 相加 （ 3 ） 5 m × 5 n =5 （ ） =(5×5×5× … ×5) m 个 5 ×(5×5×5 × … ×5) n 个 5 =5×5× … ×5 ( m+n ) 个 5 =5 m+n 猜一猜 a m · a n = a （ ） m + n 注意观察：计算前后，底数和指数有何变化 ? a m ·a n = ( a · a ·… a ) ( 个 a ) ( a · a ·… a ) ( 个 a ) = ( a · a ·… a ) ( __ 个 a ) = a ( ) ( 乘方的意义 ) ( 乘法的结合律 ) ( 乘方的意义 ) m n m+ n m+n 证一证 · a m · a n = a m+n ( m 、 n 都是正整数 ). 同底 数幂 相乘 , 底数　　 ， 指数 　　 . 不变 相加 . 同底数幂的乘法法则： 要点归纳 结果： ①底数不变 ②指数相加 注意 条件： ①乘法 ②底数相同 ( 1 ) 10 5 ×10 6 =_____________ ; ( 2 ) a 7 · a 3 =_____________ ; ( 3 ) x 5 · x 7 =_____________ ; 练一练 计算： ( 4) (- b ) 3 · (- b ) 2 =_____________ . 10 11 a 10 x 12 ( -b ) 5 = -b 5 a · a 6 · a 3 类比同底数幂的乘法公式 a m · a n = a m+n ( m 、 n 都是正整数 ) a m · a n · a p = a m+n+p （ m 、 n 、 p 都是正整数 ) 想一想： 当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？用字母表示 等于什么呢？ a m · a n · a p 比一比 = a 7 · a 3 = a 10 下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正 . (1) b 3 · b 3 =2 b 3 (2) b 3 + b 3 = b 6 (3) a·a 5 · a 3 = a 8 (4)(- x ) 4 ·(- x ) 4 =(- x ) 16 × × × × b 6 2 b 3 = x 8 a 9 (- x ) 8 练一练 典例精析 例 1 计算： （ 1 ） x 2 · x 5 ; （ 2 ） a · a 6 ; （ 3 ） (-2) × (-2) 4 × (-2) 3 ; （ 4 ） x m · x 3 m +1 . 解： (1) x 2 · x 5 = x 2+5 = x 7 （ 2 ） a · a 6 = a 1+6 = a 7 ; （ 3 ） (-2) × (-2) 4 × (-2) 3 = (-2) 1+4+3 = (-2) 8 = 256; （ 4 ） x m · x 3 m +1 = x m +3 m +1 = x 4 m +1 . a=a 1 例 2 计算： ( 1 )( a + b ) 4 · ( a + b ) 7 ; ( 2 )( m - n ) 3 ·( m - n ) 5 ·( m - n ) 7 ; ( 3 )( x － y ) 2 ·( y － x ) 5 . 解： (1) ( a + b ) 4 · ( a + b ) 7 = ( a + b ) 4 +7 = ( a + b ) 11 ; ( 2 )( m - n ) 3 ·( m - n ) 5 ·( m - n ) 7 = ( m - n ) 3+5+7 = ( m - n ) 15 ; ( 3 )( x － y ) 2 ·( y － x ) 5 = ( y － x ) 2 ( y － x ) 5 = ( y － x ) 2 +5 = ( y － x ) 7 . 方法总结： 公式 a m · a n = a m+n 中的底数 a 不仅可以代表数、单项式，还可以代表多项式等其他代数式 . 当 底数互为相反数 的幂相乘 时，先把底数统一，再进行计算． n 为偶数 n 为奇数 想一想： a m + n 可以写成哪两个因式的积？ 同底数幂乘法法则的逆用 a m+n = a m · a n 填一填： 若 x m =3 ， x n =2 ，那么， （ 1 ） x m+n = × = × = ； （ 2 ） x 2 m = × = × = ； （ 3 ） x 2 m+n = × = × = . x m x n 6 3 2 x m x m 3 3 9 x 2 m x n 9 2 18 例 3 (1) 若 x a ＝ 3 ， x b ＝ 4 ， x c ＝ 5 ，求 2 x a ＋ b ＋ c 的值． (2) 已知 2 3 x ＋ 2 ＝ 32 ，求 x 的值； (2) ∵ 2 3 x ＋ 2 ＝ 32 ＝ 2 5 ， ∴3 x ＋ 2 ＝ 5 ， ∴ x ＝ 1. 解： (1) 2 x a ＋ b ＋ c ＝ 2 x a · x b · x c ＝ 120. 方法总结： (1) 关键是逆用同底数幂的乘法公式，将所求代数式转化为几个已知因式的乘积的形式，然后再求值 . (2) 关键是将等式两边转化为底数相同的形式，然后根据指数相等列方程解答 . 当堂练习 1. 下列各式的结果等于 2 6 的是 ( ) A 2+2 5 B 2·2 5 C 2 3 ·2 5 D 0.2 2 · 0.2 4 B 2. 下列计算结果正确的是 ( ) A a 3 · a 3 = a 9 B m 2 · n 2 = mn 4 C x m · x 3 = x 3m D y · y n = y n +1 D (1) x · x 2 · x ( ) = x 7 ; (2) x m · （ ） = x 3 m ; (3)8×4=2 x ，则 x =( ). 4 5 x 2 m 4. 填空： 3. 计算 ： (1) x n +1 · x 2 n =_______; (2) （ a - b ) 2 · （ a-b ) 3 =_______; (3) - a 4 · （ - a ) 2 =_______; (4) y 4 · y 3 · y 2 · y =_______ . x 3 n +1 （ a - b ) 5 -a 6 y 10 5. 计算下列各题： (4) － a 3 ·( － a ) 2 ·( － a ) 3 . (2)( a-b ) 3 ·( b-a ) 4 ; (3) (-3) × (-3) 2 × (-3) 3 ; (1)(2 a ＋ b ) 2 n ＋ 1 ·(2 a ＋ b ) 3 ； 解： (1)(2 a ＋ b ) 2 n ＋ 1 ·(2 a ＋ b ) 3 = (2 a ＋ b ) 2 n ＋ 4 ； (2)( a-b ) 3 ·( b-a ) 4 = ( a-b ) 7 ； (3) (-3) × (-3) 2 × (-3) 3 = 3 6 ； (4) － a 3 ·( － a ) 2 ·( － a ) 3 = a 8 . （ 2 ） 已知 a n -3 · a 2 n +1 = a 10 , 求 n 的值 ; 解： n -3+2 n +1=10, n =4; 6. （ 1 ） 已知 x a =8, x b =9, 求 x a+b 的值； 解： x a+b =x a ·x b =8×9=72 ； （ 3 ） 3×27×9 = 3 2 x -4 , 求 x 的值 ; 解： 3×27×9 =3×3 3 ×3 2 = 3 2 x -4 , 2 x -4 =6; x =5. 课堂小结 同底数幂的乘法 法则 a m ·a n =a m+n ( m,n 都是正整数） 注意 同底数幂相乘，底数 不变 ，指数 相加 a m ·a n ·a p =a m+n+p ( m,n,p 都是正整数） 直接应用法则 常见变形： (- a ) 2 = a 2 , (- a ) 3 =- a 3 底数相同时 底数不相同时 先变成同底数再应用法则