人教版八年级数学上册第十一章小结与复习PPT

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第十一章 三角形 本章小结与复习 人教版 · 八年级上册 腰和底不等的等腰三角形 要点梳理 1. 三角形的三边关系： 2. 三角形的分类 三角形的 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 . 按边分 按角分 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 3. 三角形的高、中线与角平分线 高： 顶点 与 对边垂足 间的线段，三条高或其延长线 相交于一点，如图  . 中线： 顶点 与 对边中点 间的线段，三条中线相交于 一点（重心），如图  . 角平分线：三条角平分线相交于一点，如图  . 4. 三角形的内角和与外角 (1) 三角形的内角和等于 180 °； (2) 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； (3) 三角形的一个外角 大于和它不相邻的任何一个内角 . 5. 多边形及其内角和 n 边形内角和等于 ( n -2)×180 ° ( n ≥3 的整数） . n 边形的外角和等于 360° . 正多边形的每个内角的度数是 正多边形的每个外角的度数是 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做 多边形 . 正多边形的 各个角都相等，各条边都相等 的多边形 . 考点一 三角形的三边关系 例 1 已知两条线段的长分别是 3cm 、 8cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段 a 的长为奇数，问第三条线段应取多长？ 解：由三角形两边之和大于第三边 , 两边之差小于第三边得 8-3< a <8+3, ∴ 5 < a <11. 又∵第三边长为奇数 , ∴ 第三条边长为 7cm 或 9cm . 考点讲练 三角形两边之和大于第三边，可以用来判断三条线段能否组成三角形，在运用中一定要注意检查是否任意两边的和都大于第三边，也可以直接检查较小两边之和是否大于第三边 . 三角形的三边关系在求线段的取值范围以及在证明线段的不等关系中有着重要的作用 . 1. 以线段 3 、 4 、 x -5 为边组成三角形，那么 x 的取值范围是 . 6< x <12 归纳 针对训练 例 2 等腰三角形的周长为 16 ，其一边长为 6 ，求另 两边长 . 解：由于题中没有指明边长为 6 的边是底还是腰， ∴ 分两种情况讨论：  当 6 为底边长时，腰长为 (16-6) ÷ 2=5 ，这时另两边长分别为 5,5 ； 当 6 为腰长时，底边长为 16-6-6=4 ，这时另两边长分别为 6,4 . 综上所述，另两边长为 5,5 或 6,4. 【变式题】 已知等腰三角形的一边长为 4 ，另一边长为 8 ，则这个等腰三角形的周长为 ( ) A.16 B.20 或 16 C.20 D.12 C 归纳 等腰三角形的底边长不确定时，要分两种情况讨论，还要注意三边是否构成三角形 . 2. 若 ( a - 1) 2 +| b - 2|=0, 则以 a , b 为边长的等腰三角形的周长为 . 5 针对训练 考点二 三角形中的重要线段 例 3 如图， CD 为△ ABC 的 AB 边上的中线，△ BCD 的周长比△ ACD 的周长大3cm， BC =8cm，求边 AC 的长． 解：∵ CD 为△ ABC 的 AB 边上的中线， ∴ AD = BD ， ∵△ BCD 的周长比△ ACD 的周长大3cm， ∴（ BC + BD + CD ）-（ AC + AD + CD ）=3， ∴ BC - AC =3， ∵ BC =8， ∴ AC =5． 【变式题】 在△ ABC 中， AB = AC ， DB 为 △ABC 的中线，且 BD 将△ ABC 周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长． 解：如图，∵ DB 为△ ABC 的中线， ∴ AD = CD ， 设 AD = CD = x ，则 AB =2 x ， 当 x +2 x =12，解得 x =4 . BC + x =15，得 BC =11 . 此时△ ABC 的三边长为 AB = AC =8， BC =11； 当 x +2 x =15， BC + x =12，解得 x =5， BC =7， 此时△ ABC 的三边长为 AB = AC =10， BC =7． 无图时，注意分类讨论 例 4 如图， D 是△ ABC 的边 BC 上任意一点， E 、 F 分别是线段 AD 、 CE 的中点，且△ ABC 的面积为24，求△ BEF 的面积． 解：∵点 E 是 AD 的中点， ∴S △ ABE = S △ ABD ，S △ ACE = S △ ADC ， ∴S △ ABE +S △ ACE = S △ ABC = ×24=12， ∴S △ BCE = S △ABC = ×24=12， ∵点 F 是 CE 的中点， ∴S △ BEF = S △ BCE = ×12=6． 3. 下列四个图形中，线段 BE 是△ ABC 的高的是（　　） 归纳 三角形的中线分该三角形为面积相等的两部分 . 针对训练 C 4. 如图，① AD 是△ ABC 的角平分线，则∠ _____ =∠ ____= ∠ _____ ， ② AE 是△ ABC 的中线，则 _____ = _____ = _____ ， ③ AF 是△ ABC 的高线，则∠ _____ =∠ _____ =90°． BAD C AD C A B CE BE BC AFB AFC 考点三 有关三角形内、外角的计算 例 5 ∠ A , ∠ B , ∠ C 是△ ABC 的三个内角，且分别满足下列条件，求 ∠ A ， ∠ B ， ∠ C 中未知角 的度数 . (1) ∠ A － ∠ B ＝ 16° ， ∠ C ＝ 54° ； (2) ∠ A : ∠ B : ∠ C ＝ 2:3:4. 解 : (1) 由 ∠ C ＝ 54° 知 ∠ A ＋ ∠ B ＝ 180° － 54° ＝ 126° ① , 又 ∠ A － ∠ B ＝ 16° ② , 由 ①② 解得 ∠ A ＝ 71°, ∠ B ＝ 55°; (2) 设 ∠ A ＝ 2 x ， ∠ B ＝ 3 x ， ∠ C= 4 x ， 则 2 x + 3 x + 4 x = 180 ° ，解得 x =20 ° ， ∴ ∠ A ＝ 40°, ∠ B ＝ 60° ， ∠ C ＝ 80°. 若题中没有给出任意角的度数，仅给出数量关系，常用方程思想设未知数列方程求解 . 例 6 如图，在△ ABC 中， D 是 BC 边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠ BAC =63°，求∠ DAC 的度数． 解：设∠1=∠2= x ，则∠ 4 =∠ 3 =2 x ． 因为∠ BAC =63°， 所以∠2+∠4=117°，即 x +2 x =117°， 所以 x =39° , 所以∠3=∠4=78°， ∠ DAC =180°-∠3-∠4=24° . 归纳 5. 在△ ABC 中 , 三个内角 ∠ A ,∠ B , ∠ C 满足 ∠ B - ∠ A= ∠ C - ∠ B ，则 ∠ B = . 针对训练 60 ° 6. 如图，在△ ABC 中， CE ， BF 是两条高， 若∠ A =70° ，∠ BCE =30° ，则∠ EBF 的度数 是 ，∠ FBC 的度数是 . 7. 如图，在△ ABC 中，两条角平分线 BD 和 CE 相交于点 O ，若∠ BOC =132° ， 那么∠ A 的度数是 . A B C E F A B C D E O 20 ° 40 ° 84 ° 考点四 多边形的内角和与外角和 例 7 已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 ，求这个多边形的边数 . 解：设此多边形的外角的度数为 x , 则内角的度数为 4 x , 则 x +4 x =180°, 解得 x =36°. ∴边数 n =360°÷36°=10. 归纳 在求边数的问题中，常常利用定理列出方程，进而再求得边数 . 例 8 如图，五边形 ABCDE 的内角都相等，且∠1=∠2，∠3=∠4．求∠ CAD 的度数． 解：∵五边形的内角和是540°， ∴每个内角为540°÷5=108°， ∴∠ E =∠ B =∠ BAE =108°， 又∵∠1=∠2，∠3=∠4， 由三角形内角和定理可知 ∠1=∠2=∠3=∠4=（180°-108°）÷2=36°， ∴∠ CAD =∠ BAE -∠1-∠3=108°-36°-36°=36°． 【变式题】 如图，六边形 ABCDEF 的内角都相等，∠1=∠2=60°， AB 与 DE 有怎样的位置关系？ AD 与 BC 有怎样的位置关系？为什么？ 解： AB ∥ DE ， AD ∥ BC . 理由如下： ∵六边形 ABCDEF 的内角都相等， ∴六边形 ABCDEF 的每一个内角都等于120°， ∴∠ EDC =∠ FAB =120° . ∵∠1=∠2=60°， ∴∠ EDA =∠ DAB =60°，∴ AB ∥ DE ， ∵∠ C =120°，∠2=60°， ∴∠2+∠ C =180°， ∴ AD ∥ BC . 针对训练 8. 已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°， 求这个多边形的边数． 解：设这个多边形的边数是 n ， 依题意得（ n -2）×180°=3×360°-180°， （ n -2）=6-1， 解得 n =7． ∴这个多边形的边数是7． 考点五 本章中的思想方法 方程思想 例 9 如图，在 △ ABC 中， ∠ C=∠ABC,BE ⊥ AC , △ BDE 是等边三角形，求 ∠ C 的度数 . A B C E D 解：设 ∠ C = x °, 则∠ ABC = x °, 因为 △ BDE 是等边三角形， 所以 ∠ ABE =60°, 所以∠ EBC = x ° -60°. 在 △ BCE 中， 根据三角形内角和定理， 得 90°+ x °+ x °-60°=180°, 解得 x =75, 所以 ∠ C =75 °. 在角的求值问题中，常常利用图形关系或内角、外角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解 . 【变式题】 如图， △ ABC 中， BD 平分 ∠ ABC , ∠1=∠2, ∠3= ∠ C , 求 ∠1 的度数 . A B C D ) ) ) ) 2 4 1 3 解：设 ∠ 1= x , 根据题意得 ∠2= x . 因为 ∠3= ∠1+ ∠2 ， ∠4= ∠2 ， 所以 ∠3=2 x , ∠4= x ， 又因为 ∠3= ∠ C ， 所以 ∠ C =2 x . 在△ ABC 中，根据三角形内角和定理， 得 x +2 x +2 x =180 °, 解得 x =36°, 所以 ∠1=36 ° . 归纳 分类讨论思想 例 10 已知等腰三角形的两边长分别为 10 和 6 ， 则 三角形的周长是 　　　　　 ． 【 解析 】 由于没有指明等腰三角形的腰和底，所以要分两种情况讨论：第一种 10 为腰，则 6 为底，此时周长为 26 ；第二 种 10 为底，则 6 为腰，此时周长为 22 . 26 或 22 【 易错提示 】 别忘了用 三边关系 检验能否组成三角形这一重要解题环节 . 化归思想 A B C D O 如图， △ AOC 与 △ BOD 是有一组对顶角的三角形，其形状像数字“ 8 ”，我们不难发现有一重要结论 ： ∠ A+ ∠ C= ∠ B+ ∠ D . 这一图形也是常见的基本图形模型，我们称它为“ 8 字型 ”图 . 例 11 如图，求 ∠A ＋ ∠B ＋ ∠C ＋ ∠D ＋ ∠E ＋ ∠F ＋ ∠G 的度数 . 解析：所求问题不是常见的求多边形的内角和问题，我们发现，只要连接 CD 便转化为求五边形的内角和问题 . A B C F G D E 解：连接 CD ， 由“ 8 字型”模型图可知 ∠ FCD + ∠ GDC = ∠ F + ∠ G , 所以 ∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＋∠ E ＋∠ F ＋∠ G = （ 5-2 ） ×180 °=540 °. 三角形 与三角形有关的线段 三角形内角和： 180° 三角形外角和： 360° 三角形的边： 三边关系定理 高线 中线： 把三角形面积平分 角平分线 与三角形有关的角 内角与外角关系 三角形的分类 多边形 定义 多边形的内外角和 内角和 ：（ n-2) ×180 ° 外角和 ： 360 ° 对角线 多边形转化为三角形和 四边形的重要辅助线 正多边形 内角 = ; 外角 = 课堂小结