数学冀教版八年级上册教案15-2二次根式的乘除运算

数学冀教版八年级上册教案15-2二次根式的乘除运算

- 1 - 15.2 二次根式的乘除运算 教学目标 【知识与能力】 1.掌握二次根式的乘除运算法则,会进行简单的二次根式的乘除运算. 2.培养学生的合情推理能力和分母有理化能力. 【过程与方法】 1.在学生原有知识的基础上,经历知识的产生过程,探索新知识. 2.体会用类比的思想研究二次根式的乘除法,体验研究数学问题的常用方法:由特殊到一般, 由简单到复杂. 【情感态度价值观】 通过本节课的学习,让学生认识到事物之间是相互联系、相互作用的. 教学重难点 【教学重点】 二次根式的乘除运算. 【教学难点】 二次根式的乘除运算. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 【课件 1】 电视塔越高,从塔顶发射出的电磁波传播得越远,从而收看到电视节目的区 域就越广.如果电视塔高 h km,电磁波的传播半径为 r km,那么它们之间存在近似关系 r= 2 ,其中 R 是地球的半径,如果两个电视塔的高分别为 h1,h2,那么它们传播的半径的比 为 21 22 ,你能将这个式子化简吗?学了本节后,就很容易解决了. 导入二: 出示问题:【课件 2】 (1)一个长方形的长为 12 cm,宽为 2 cm,求这个长方形的面积; (2)如果一个长方形的面积 S= 18 cm2,长 a= 6 cm,求宽 b. 〔解析〕 (1)利用长方形的面积公式可以得到 S= 12 × 2 (cm2).(2)根据长方形的面 积公式可得 b= = 18 6 (cm). 像 12 × 2 , 18 6 这样的结果能否继续化简,该怎样化简? [设计意图] 两个情境导入都以日常生活中的实际问题为切入点,让学生感受到数学来 源于生活,又应用于生活,从而提出问题,设下悬念,让学生带着问题进入到本节课的学习之 中,为下面知识的学习做好铺垫. 二、新知构建： - 2 - 活动一:二次根式的乘除法法则 思路一 问题 1:请同学们回忆二次根式的性质是如何得到的? 问题 2:【课件 3】 计算:(1) 4 × 25 = , 4 × 25 = ; (2) 0 . 25 × 100 = , 0 . 25 × 100 = ; (3) 4 16 = , 4 16 = ; (4) 36 81 = , 36 81 = . 由计算结果,发现了什么规律?(学生总结出上面式子的规律并填空) 【课件 4】 (1) 4 × 25 4 × 25 ; (2) 0 . 25 × 100 0 . 25 × 100 ; (3) 4 16 4 16 ; (4) 36 81 36 81 . 对于下列各题,是否也有上面的规律呢?请你猜想并利用计算器进行验证. 【课件 5】 ① 4 × 7 28 ; ② 5 × 10 50 ; ③ 3 4 3 4 ; ④ 2 5 2 5 . 通过刚才的观察、类比、计算,你能用字母表示二次根式的乘除法法则吗? 学生分组讨论,补充得出结论: (1) · = (a≥0,b≥0);(2) = (或 ÷ = ÷ )(a≥0,b>0). [知识拓展] 如没有特殊说明,本章中的所有的字母都表示正数.理解二次根式的除法 法则应注意两点:(1)二次根式的除法法则中的被开方数的分母 b 不等于 0;(2)运算时约分要 彻底. 思路二 问题 1:想一想积(商)的算术平方根的性质是什么? 学生回忆:(1)积的算术平方根等于各因数或因式的算术平方根的积,即 = · (a ≥0,b≥0); (2)商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商,即 = (或 ÷ = ÷ )(a≥0,b>0). 问题 2:根据等式的对称性,把上述公式反过来,你能得到什么结论? (1) · = (a≥0,b≥0); (2) = (或 ÷ = ÷ )(a≥0,b>0). 问题 3:你能用自己的语言叙述出上述公式吗? 归纳: (1)二次根式相乘,实际上就是把被开方数相乘,而根号不变.用语言叙述为:两个算术平 方根的积,等于积的算术平方根. (2)二次根式相除,实际上就是把被开方数相除,而根号不变.用语言叙述为:两个算术平 - 3 - 方根的商,等于商的算术平方根. 问题 4:二次根式的乘(除)法法则与积(商)的算术平方根的性质有什么关系? 说明:教师引导、点拨,可提示与整式的乘法和因式分解的关系进行类比. [设计意图] 学生在教师的指导下主动学习并积极思考相关问题,培养学生用类比的方 法探究新知及从特殊到一般的归纳概括能力. 活动二:例题讲解 【课件 6】 计算下列各式. (1) 3 × 2 ; (2) 8 × 32 ; (3) 20 × 50 . 〔解析〕 直接利用二次根式乘法法则进行计算即可. 学生完成后,找同学对每道题进行讲解、分析,说明过程和思路,学生对于(2)(3)有不同 的做法应予以鼓励和表扬. 解 :(1) 3 × 2 = 3 × 2 = 6 . (2) 8 × 32 = 8 × 32 = 256 =16. (3) 20 × 50 = 20 × 50 = 1000 =10 10 . 说明:运算的结果,应化为最简二次根式. 【课件 7】 计算下列各式. (1) 2 3 ; (2) 4 5 ÷ 8 5 ; (3) 7 6 ÷ 5 8 . 〔解析〕 直接利用二次根式的除法法则进行计算,注意结果要化成最简二次根式. 学生完成后,集体讲评,重视解题方法的指导. 解:(1) 2 3 = 2 3 = 6 9 = 6 3 . (2) 4 5 ÷ 8 5 = 4 5 ÷ 8 5 = 4 5 × 5 8 = 1 2 = 1 2 = 2 2 . (3) 7 6 ÷ 5 8 = 7 6 ÷ 5 8 = 7 6 × 8 5 = 28 15 = 2 7 15 = 2 105 15 . [设计意图] 通过例题让学生明确二次根式的乘除法法则,使学生能应用所学的知识解 决问题,提高学生解答问题的能力. 活动三:分母有理化 问题:【课件 8】 观察 3 2 , 2 6 15 , 2 3 , 3 10 的特点,有什么发现? (分母都含有二次根式) 你能把它们分母化成有理数吗? 学生分组讨论,推荐 4 个人到黑板上板书. 教师总结:将分母中含二次根式的式子化为分母中不含二次根式的式子,像这样,把分母 中的二次根式化去,叫做分母有理化. 对应练习:【课件 9】 把下列各式分母有理化: 4 11 , 2 6 , 9 18 , 5 2 3 . 让学生完成导入一中的问题. 教师点评: 21 22 = 21 22 = 1 2 = 12 2 . 【课件 10】 (教材第 96 页大家谈谈)请就小明和大刚分别计算 2 × 18 , 27 3 的做法给 予评价,并谈谈你的想法. 小明的做法(先运算后化简) - 4 - 解: 2 × 18 = 2 × 18 = 36 =6. 27 3 = 27 3 = 9 =3. 大刚的做法(先化简后运算) 解: 2 × 18 = 2 × 2 × 9 = 2 × 3 2 =6. 27 3 = 3 3 3 =3. 说明:小明和大刚的做法都是正确的.在教学过程中,可先由学生独立完成,然后展开交 流,让学生体会到不同的思考方法.解答问题的过程可能是不同的,但结果是唯一的. [设计意图] 通过观察,归纳出分母有理化的概念,通过对新课导入问题的解答让学生 体会知识来源于生活又应用于生活,使预设的问题得以解决,同时,通过“大家谈谈”让学生 体会解题过程的不唯一性. 三、课堂小结： 知识点 内容 公式 二次根式的乘法 法则 两个算术平方根的积,等于 积的算术平方根 a · b = ab (a≥0,b≥0) 二次根式的除法 法则 两个算术平方根的商,等于 商的算术平方根 a b = a b (或 a ÷ b = a ÷ b )(a≥0,b>0) 分母有理化 把分母中的二次根式化去,叫做分母有理化.应用二次根式的乘法法则可 以将分母有理化