八上时 角的平分线的性质二

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八上时 角的平分线的性质二

‎§13.3.2 角的平分线的性质(二)‎ 教学目标 ‎ 1、 角的平分线的性质 ‎ 2.会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”.‎ ‎ 3.能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.‎ ‎ 教学重点 ‎ 角平分线的性质及其应用.‎ ‎ 教学难点 ‎ 灵活应用两个性质解决问题.‎ ‎ 教学过程 ‎ Ⅰ.创设情境,引入新课 ‎ 拿出课前准备好的折纸与剪刀,剪一个角,把剪好的角对折,使角的两边叠合在一起,再把纸片展开,看到了什么?把对折的纸片再任意折一次,然后把纸片展开,又看到了什么?‎ ‎ 分析:第一次对折后的折痕是这个角的平分线;再折一次,又会出现两条折痕,而且这两条折痕是等长的.这种方法可以做无数次,所以这种等长的折痕可以折出无数对.‎ ‎ Ⅱ.导入新课 ‎ 角平分线的性质即已知角的平分线,能推出什么样的结论.‎ ‎ 折出如图所示的折痕PD、PE.‎ ‎ 画一画:‎ ‎ 按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕,并度量所画PD、PE是否等长?‎ ‎ 投影出下面两个图形,让学生评一评,以达明确概念的目的.‎ ‎ 结论:同学乙的画法是正确的.同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线,而不是过角平分线上一点作两边的垂线段,所以他的画法不符合要求.‎ ‎ 问题1:如何用文字语言叙述所画图形的性质吗?‎ ‎ [生]角平分线上的点到角的两边的距离相等.‎ ‎ 问题2:能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话.请填下表:‎ ‎ ‎ ‎ 已知事项:OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,D、E为垂足.‎ ‎ 由已知事项推出的事项:PD=PE.‎ ‎ 于是我们得角的平分线的性质:‎ ‎ 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.‎ ‎ [师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢?(出示投影)‎ 问题3:根据下表中的图形和已知事项,猜想由已知事项可推出的事项,并用符号语言填写下表:‎ ‎ [生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件,所以Rt△PEO≌△PDO(HL).于是可得∠PDE=∠POD.‎ ‎ 由已知推出的事项:点P在∠AOB的平分线上.‎ ‎ 由此我们又可以得到一个性质:到角的两边距离相等的点在角的平分线上.这两个性质有什么联系吗?‎ ‎ 分析:这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换.‎ ‎ 思考:‎ 如图所示,要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路距离相等,离公路与铁路交叉处‎500m,这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1:20000)?‎ ‎ 1.集贸市场建于何处,和本节学的角平分线性质有关吗?用哪一个性质可以解决这个问题?‎ ‎ 2.比例尺为1:20000是什么意思?‎ ‎ 结论:‎ ‎ 1.应该是用第二个性质.这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上,并且要求离角的顶点‎500米处.‎ ‎2.在纸上画图时,我们经常在厘米为单位,而题中距离又是以米为单位,‎ 这就涉及一个单位换算问题了.‎1m=‎100cm,所以比例尺为1:20000,其实就是图中‎1cm表示实际距离‎200m的意思.作图如下:‎ ‎ 第一步:尺规作图法作出∠AOB的平分线OP.‎ ‎ 第二步:在射线OP上截取OC=‎2.5cm,确定C点,C点就是集贸市场所建地了.‎ ‎ 总结:应用角平分线的性质,就可以省去证明三角形全等的步骤,使问题简单化.所以若遇到有关角平分线,又要证线段相等的问题,我们可以直接利用性质解决问题.‎ ‎ III例题与练习 ‎ 例 如图,△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.‎ 求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等.‎ ‎ 分析:点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离,也就是说要证:PD=PE=PF.而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线,根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题.‎ ‎ 证明:过点P作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足为D、E、F.‎ ‎ 因为BM是△ABC的角平分线,点P在BM上.‎ ‎ 所以PD=PE.‎ ‎ 同理PE=PF.‎ ‎ 所以PD=PE=PF.‎ ‎ 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.‎ ‎ 练习:‎ ‎1.课本P107练习.‎ ‎ 2.课本P108习题13.3─2.‎ ‎ 强调:条件充足的时候应该直接利用角平分线的性质,无须再证三角形全等.‎ ‎ IV.课时小结 ‎ 今天,我们学习了关于角平分线的两个性质:①角平分线上的点到角的两边的距离相等;②到角的两边距离相等的点在角的平分线上.它们具有互逆性,随着学习的深入,解决问题越来越简便了.像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题,我们可以直接利用角平分线的性质,而不必再去证明三角形全等而得出线段相等.‎ ‎ Ⅴ.课后作业 ‎ 1、课本习题13.3─3、4、5题.‎ ‎ 2、《课堂感悟与探究》‎
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