人教版七年级数学下册84三元一次方程组的解法

人教版七年级数学下册84三元一次方程组的解法

8.4 三元一次方程组的解法 R · 七年级下册 情景导入 前面我们学习了二元一次方程组及其解法 . 有些含有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决，实际上，有不少问题含有更多未知数，这时又该怎么解决呢？ 提问 这节课我们就来学习三元一次方程组及其解法. 可以设 3 个未知数吗？ 学习目标： 1 ． 知道什么是三元一次方程组. 2 ．会用代入消元法和加减消元法解简单的三元一次方程组. 3. 通过解三元一次方程组进一步体会消元思想. 学习重、难点： 重点： 用代入消元法和加减消元法解简单的三元一次方程组，进一步体会消元思想. 难点： 根据方程组的特征寻找合适的消元途径. 探究新知 知识点 1 三元一次方程组的概念和解法 问题 小明手头有 12 张面额分别为 1 元、 2 元、 5 元的纸币，共计 22 元，其中 1 元纸币的数量是 2 元纸币数量的 4 倍。求 1 元、 2 元、 5 元纸币各多少张？ （ 1 ） 题目中有几个未知量？ （ 2 ）题目中有哪些等量关系？ （ 3 ）如何用方程表示这些等量关系？ 思考 解答 设 1 元、 2 元和 5 元的纸币分别为 x 张、 y 张和 z 张． 　　你能说说什么叫 三元一次方程组 吗？ 问 含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1 ，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做 三元一次方程组 ． 小 结 怎么解呢？ 　　你能类比二元一次方程组的解法来求解吗？ 问 ① ② ③ 将③代入①②，得 解答 　　为什么要用③代入，而不用①②代入？ 问 即 解三元一次方程组的基本思路是什么？ 思考 通过 “ 代入 ” 或 “ 加减 ” 进行消元，把 “ 三元 ” 转化为 “ 二元 ” ，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程 . 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 例1 解三元一次方程组 对于这个方程组，消哪个元比较方便？为什么？ 问 ① ② ③ 方程①只含 x 、 z ，因此，可以由②③消去 y ，得到的方程可与①组成一个二元一次方程组 . 解： ②× 3+ ③，得 11 x +10 z =35. ④ ①与④组成方程组 解得 把 x =5 ， z =-2 代入②，得 2 × 5+3 y -2=9 ， 所以 还有其他解法吗？ 知识点 2 解较复杂的三元一次方程组 例 2 在等式 y = ax 2 + bx + c 中，当 x =-1 时， y =0 ； 当 x =2 时， y =3 ；当 x =5 时， y =60 ，求 a ， b ， c 的值 . 分析已知条件，你能得到什么？ 问 怎么解？ 1. 先消去哪个未知数？为什么？ 问 2. 选择哪种消元方法，得到二元一次方程组？ 解： 根据题意，得三元一次方程组 ②-① ，得 a + b =1; ④ ③-① ，得 4 a + b =10; ⑤ ① ② ③ ④ 与 ⑤ 组成方程组 解这个方程组，得 代入 ① ，得 c = - 5. 因此 答： 可以 消去 a 吗？如何操作？ 问 可将 ②-①×4 ，得 即 再将 ③-①×25 ，得 即 ④ ⑤ 可以消去 b 吗？如何操作？ 问 可将 ①×2+② ，得 即 再将 ①×5+③ ，得 即 ④ ⑤ 练习 1. 解下列三元一次方程组： ① ② ③ ① ② ③ 解： (1) ② ×2+ ③得 x +2 y =53. ④ ④ + ①得 x =22. 代入④ 得 y = 代入② 得 z = ∴ 原方程的解是 解： (2) ① + ② 得 5 x +2 y =16. ④ ② + ③得 3 x +4 y =18. ⑤ ⑤ - ④× 2 得 x =2. 代入④ 得 y =3. ∴ 原方程的解是 把 x =2 ， y =3 代入③ 得 z=1 . 2. 甲乙丙三个数的和是 35 ，甲数的 2 倍比乙数 大 5 ，乙数的 等于丙数的 ，求这三个数 . 解：设甲、乙、丙三数分别为 x 、 y 、 z ， 则 解得 ∴ 甲数是 10 ，乙数是 15 ，丙数是 10. 误区 两次消去的未知数不同，导致解方程无法进行 错 解 ② - ①，得 y -3 z =-12. ④ ③ + ②，得 3 x - y =3. ⑤ ④和⑤组成的还是三元一次方程组，不能往下解了 . 解方程组 ① ② ③ 正 解 ② - ①，得 y -3 z =-12. ④ ②× 2- ③，得 7 y -3 z =6. ⑤ ④和⑤组成方程组 解得 代入①，得 x =2 ， 所以原方程的解为 错因分析 本题错在解题过程中，通过② - ①，得到 y -3 z =-12 之后，发现②③两个方程中 z 的系数互为相反数，就消去 z ，从而导致不能顺利消元得到二元一次方程组，造成解题无法进行.解三元一次方程组的基本思想是消元，每个方程最多使用两次，首先要观察方程组，确定消去哪一个未知数，得到关于另两个未知数的方程组，然后解这个二元一次方程组. 基础巩固 随堂演练 1. 对于方程组 此二元一次方程的 最优的解法是先消去（ ）转化为二元一 次方程组. C 2 x +3 y =5，2 x + y + z =6， 3 x -2 y - z =-2， D. 都一样 综合运用 2. 解方程组 解：①+②×2 ， 得8 x +13 z =31. ④ ②×3-③ ， 得 x +2 z =5. ⑤ 2 x +4 y +3 z =9, ① 3 x -2 y +5 z =11, ② 5 x -6 y +7 z =13. ③ ④与⑤组成方程组 解得 代入①，得 ∴原方程组的解为 2. 解方程组 2 x +4 y +3 z =9, ① 3 x -2 y +5 z =11, ② 5 x -6 y +7 z =13. ③ 课堂小结 三元一次方程组 定义 含未知数的项的次数都是 1 含有 3 个未知数 解答思路 化 “ 三元 ” 为 “ 二元 ” 一共有 三 个方程 拓展延伸 解： 根据题意，得三元一次方程组 在等式 y = ax 2 + bx + c 中，当 x =1时， y =-2;当 x =-1时， y =20;当 与 时， y 的值相等，求 a 、 b 、 c 的值. 解得 1. 从课后习题中选取； 2. 完成练习册本课时的习题。 课后作业 教学反思 本节课在学习三元一次方程组解法过程中，采取了类比迁移、举一反三的方法，类比二元一次方程组的知识学习三元一次方程组.根据方程组的特点灵活选择恰当的解法，在应用过程中形成技能技巧，并且培养了学生分析题目特点、选择合适方法的学习能力. 习题 8 .4 复习巩固 1. 解下列三元一次方程组： ① ② ③ ① ② ③ 解： (1) ①代入②得：11 x +2 z =23 . ④ ④×2+③得： x =2， 代入④ 得 z = 代入①得 y =-3 . ∴ 原方程的解为 解： (2) ①-②×3得 4 x +6 z =9 . ④ ③×6-④×5得 x = 代入③ 得 z =2. 代入② 得 y = ∴ 原方程的解是 2. 解下列三元一次方程组： ① ② ③ ① ② ③ 解： (1) ② ×2- ③得 5 x +27 z =34. ④ ④ + ① ×3 得 x =5. 代入① 得 z = 代入③ 得 y =-2. ∴ 原方程的解是 解： (2) ① + ②× 2 得 8 x +13 z =31. ④ ② × 3- ③得 x +2 z =5. ⑤ ⑤× 8- ④ 得 z =3. 代入⑤ 得 x =-1. ∴ 原方程的解是 把 z =3 ， x =-1 代入① 得 y = 综合运用 3. 一个三位数，个位、百位上的数的和等于十位上的数，百位上的数的 7 倍比个位，十位上的数的和大 2 ，且个位、十位、百位上的数的和是 14 ，求这个三位数 . 解：设这个三位数的百、十、个位上的数分别为 x 、 y 、 z ， 则 解得 ∴2 × 100+7 × 10+5=275 ，即这个三位数为 275. 4. 解方程组 ① ② ③ 解：由①得 x : y =3 : 2=15 : 10 由②得 y : z =5 : 4=10 : 8，∴ x : y : z =15 : 10 : 8 . 设 x =15 a ，则 y =10 a ， z =8 a ， 代入③得 a =2， 拓广探索 解： 根据题意，得三元一次方程组 在等式 y = ax 2 + bx + c 中，当 x =1时， y =-2;当 x =-1时， y =20;当 与 时， y 的值相等，求 a 、 b 、 c 的值. 解得 5.