《同步导学案》人教七年级数学（下册）第八章 8

《同步导学案》人教七年级数学（下册）第八章 8

‎８.３ 实际问题与二元一次方程组 ‎1.理解好掌握用方程组解决实际问题.体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的有效数学模型.‎ ‎2．能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，用方程组来分析问题、解决问题.‎ ‎3.重难点：确定实际问题中的等量关系，把实际问题构建成二元一次方程组的模型并用方程组解决实际问题.‎ 知识导入 有同学去旅游遇一寺院,与院中和尚交谈中得如下信息:“100个和尚吃100个馒头.大和尚一人吃3个,小和尚3人吃一个”.你能从中算出大、小和尚各多少人吗？那让我们一起来加深对二元一次方程组解决问题的理解. ‎ 知识讲解 知识点一：饲料分配 例1 养牛场原有30只母牛和15只小牛，一天约需用饲料675 kg;一周后又购进12只母牛和5只小牛，这时一天约需用饲料940 kg.饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需用饲料18～20 kg,每只小牛1天约需用饲料7～8 kg.你能否通过计算检验他的估计？‎ 分析 判断李大叔的估计是否正确的方法有两种：‎ ‎1、 先假设李大叔的估计正确，再根据问题中的数量关系来检验；‎ ‎2、 根据问题中的数量关系求出大、小牛每天饲料的需求量，再检验.‎ 显然2比1要方便操作，我们先计算大、小牛每天饲料的需求量.‎ 法一：本题的等量关系：（1）30只母牛和15只小牛一天需用饲料为675kg.‎ ‎ （2）（30+12）只母牛和（15+5）只小牛一天需用饲料为940kg.法二：等量关系：（1）30只母牛和15只小牛一天需用饲料为675kg.‎ ‎（2）新增加12只母牛和5只小牛，这时一天饲料比原来增加(940 -675)kg.‎ 解析 法一： 设平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料x kg和y kg.由题意列方程组得:‎ ‎　　‎ 解这个方程组，得 这就是说，平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料20kg和5kg.饲养员李大叔对母牛的食量估计正确，对小牛的食量估计不正确.‎ 法二：设平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料x kg和y kg.由题意列方程组得:‎ 解这个方程组，得 这就是说，平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料20kg和5kg.饲养员李大叔对母牛的食量估计正确，对小牛的食量估计不正确.‎ 点拨 解决实际问题关键是等量关系的寻找．用二元一次方程组解实际问题的思路：（1）审题、分析题目中的已知与未知；（2）找出数量关系；（3）设未知数、列方程；（4）求解方程组；（5）检验(在草稿纸上进行)；（6）答．‎ 知识点二：几何分配问题 例2 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:1.5，现要在一块长200m，宽100m的长方形土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4（结果取整数）？‎ 分析 本题中的基本关系：总产量＝单位面积产量×面积 本题中的等量关系：‎ ‎（1）甲作物的单位面积产量︰乙作物的单位面积产量＝1︰1.5；‎ ‎（2）甲作物的总产量︰乙作物的总产量＝3︰4‎ 划分这块土地有两种方式：‎ 第一种是甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE，如图8.3-1（1）；‎ 第二种是甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形ABFE和FECD,如图8.3-1（2）.‎ ‎ ‎ 解析 第一种种植方案：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.设AE=x m，BE=y m，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组解这个方程组得结果取整数后为 答：这两个长方形是在长方形ABCD的长边上距离A约106米处把这块地分为两个长方形，较大一块种甲种作物，较小的一块种乙种作物.‎ 第二种种植方案：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形ABFE和FEDC.设AE=x m，DE=y m，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组 解这个方程组得结果取整数后为 答：这两个长方形是在长方形ABCD的短边上距离A约69米处把这块地分为两个长方形，较大一块种甲种作物，较小的一块种乙种作物．‎ 知识点三：工程问题 例2 如图8.3-2，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地，公路运价为1.5元/（吨•千米），铁路运价为1.2元/（吨•千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？‎ 分析 问题中的一些已知条件是用图及其标注数据给出的.做题过程中注意读懂图表所给的信息. 产品的销售款、原料费、 运输费的关系.‎ 销售款=产品数量×产品单价，原料费=原料数量×原料单价，‎ 运输费=路程×运价×货物重量.据公路运费和铁路运费建立方程组可解得．‎ 解析 设产品重x吨，原料重y吨.‎ 根据题中数量关系列方程组:‎ 解这个方程组得 所以销售款－原料费－运输费=8000×300-1000×400-15000-97200=1887800元.‎ 因此，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元．‎ 点拨　方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具．列出方程组要根据问题中的数量关系，解出方程组的解后，应进一步考虑它是否符合问题的实际意义．‎ 知识探究 ‎1. 行程问题 行程问题主要把握住三个量:路程、速度与时间的关系.路程=速度×时间.速度=路程÷时间.时间=路程÷速度.‎ 例 为了参加2011年威海国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练．某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分钟．求自行车路段和长跑路段的长度．‎ 分析 题目中等量关系的寻找：（1）自行车路段和长跑路段共5000米.‎ ‎(2) 行车路段和长跑路段共用时15分钟.根据路程、速度与时间的关系列出方程可得.‎ 解析： 设自行车路段的长度为x米，长跑路段的长度y米，可得方程组：‎ 解这个方程组，得 答：自行车路段的长度为32千米，长跑路段的长度2千米．‎ ‎ 2.利润为题 ‎ 利润问题常用到的几个关系式：(1)利润＝售价－成本(进价)；(2)利润率=；(3)利润＝成本（进价）×利润率；(4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率； 例 有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为6%,共可获利61元.价格调整后，甲商品的利润率为6%，乙商品的利润率为5%，共可获利60元，则两件商品的进价分别是多少元？‎ 分析 做此题的关键要知道：利润＝进价×利润率 解： 甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，由题意得：‎ 解得 ‎ 答：两件商品的进价分别为500元和600元.‎ ‎3. 优化方案问题： 例 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元. 当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行细加工，每天可加工6吨. 但两种加工方式不能同时进行. 受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案 　　方案一：将蔬菜全部进行粗加工； 　　方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售； 　　方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成 　　你认为选择哪种方案获利最多？为什么？ 分析 ‎ 优化方案问题首先要列举出所有可能的方案，再按题的要求分别求出每个方案的具体结果，再进行比较从中选择最优方案.‎ 解析 方案一获利为：4500×140=630000(元).‎ 方案二获利为：7500×(6×15)+1000×(140－6×15)=675000+50000=725000.‎ 方案三获利如下：‎ 设将x吨蔬菜进行精加工，y吨蔬菜进行粗加工，则根据题意，得： 　　　，解得： 　　　　所以方案三获利为：7500×60+4500×80=810000(元). 　　　　因为630000＜725000＜810000，所以选择方案三获利最多 　　答：方案三获利最多，最多为810000元 易错辨析 题 一列火车从北京出发到达广州大约需要15小时．火车出发后先按原来的时速匀速行驶8小时后到达武汉，由于2009年12月世界时速最高铁路武广高铁正式投入运营，现在从武汉到广州火车的平均时速是原来的2倍还多50公里，所需时间也比原来缩短了4个小时．求火车从北京到武汉的平均时速和提速后武汉到广州的平均时速． ‎ 错解 设火车从北京到武汉的平均时速为公里每小时，提速后武汉到广州的平均时速为公里每小时．根据题意列方程得：‎ 解方程时发现方程的解不符合实际情况.而无从解答.‎ 辨析 题目隐含着的关系是提速前后北京到广州的距离是不变的.审题过程中没弄清时间减少时在武广铁路段,而误解为全程.可设火车从北京到武汉的平均时速为公里每小时，提速后武汉到广州的平均时速为公里每小时．据提速前后的速度关系；用速度×时间=距离表示出北京到广州的距离.列出方程组解出即可.‎ 正解 设火车从北京到武汉的平均时速为 公里每小时，提速后武汉到广州的平均时速为公里每小时．根据题意列方程得：‎ 解方程组，得 答：火车从北京到武汉的平均时速为150公里每小时，提速后武汉到广州的平均时速为350公里每小时．‎ ‎1. 某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲乙两种奖品各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则方程组正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎2.灾后重建，四川从悲壮走向豪迈.灾民发扬伟大的抗震救灾精神，某村派男女村民共15 人到山外采购建房所需的水泥，已知男村民一人挑两包，女村民两人抬一包，共购回15 包.请问这次采购派男女村民各多少人？‎ A．男村民3人，女村民12人 B．男村民5人，女村民10人 C．男村民6人，女村民9人 D．男村民7人，女村民8人 ‎3. 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米 ，上坡路每分钟走40米，从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟.请问小华家离学校多远？‎ ‎4.某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费.‎ 甲说：“我乘这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘这种出租车走了23千米，付了35元”.请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？‎ ‎5.某天，一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共40 kg到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示：‎ 品　　　名 西红柿 豆角 批发价（单位：元/kg）‎ ‎1.2‎ ‎1.6‎ 零售价（单位：元/kg）‎ ‎1.8‎ ‎2.5‎ 问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？‎ 例 食品安全是每个人关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A、B两种饮料 均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B 两种饮料各生产了多少瓶？‎ 分析 本题是简单的分配问题,等量关系式为(1) A、B两种饮料共100瓶.‎ ‎(2) A饮料中的添加剂+‎ ‎ B饮料中的添加剂=270克.根据等量关系式列出方程或方程组解答即可.‎ 解析 解法一：设A饮料生产了x瓶，则B饮料生产了（100-x）瓶，依题意得： ‎ ‎2x+3(100-x)=270‎ 解得：x=30 100-x=70 ‎ 答：A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶.‎ 解法二：设A饮料生产了x瓶，B饮料生产了y瓶，依题意得：‎ ‎ ‎ 解得： .‎ 答：A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶. ‎ 点拨 方程类应用题关键如何找出并应用题目中所包含的等量关系式，建立模型把实际问题转化为数学问题.‎ 练习 李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？‎ 参考答案 课时检测 ‎1.A ‎ ‎2.B ‎ ‎3.解：设平路有x米，坡路有y米 解这个方程组，得所以x＋y＝700.所以小华家离学校700米.‎ ‎4.解：设这种出租车的起步价是x元，超过3千米后每千米收费y元，根据题得 ‎ ‎ ‎ 所以这种出租车的起步价是5元，超过3千米后每千米收费1.5元.‎ ‎5.解:设批发西红柿xkg，豆角ykg，即该蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共40 kg到菜市场去卖能净赚（0.6x+0.9y）元 则根据题意，得解这个方程组，得 所以当x＝10，y＝30时，0.6x+0.9y＝0.6×10+0.9×30＝33（元）.‎ 答:该蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共40 kg到菜市场去当天卖完这些西红柿和豆角能赚33元钱 拓展提升 解:设李大叔去年甲种蔬菜种植了亩，乙种蔬菜种植了亩，则： 　　　　，‎ 解得 ‎ 答：李大叔去年甲种蔬菜种植了6亩，乙种蔬菜种植了4亩.‎