【数学】2020一轮复习北师大版（理）44　直线的倾斜角、斜率与直线的方程作业

【数学】2020一轮复习北师大版（理）44　直线的倾斜角、斜率与直线的方程作业

课时规范练44　直线的倾斜角、斜率与直线的方程 ‎　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ 基础巩固组 ‎1.(2018甘肃武威二模,1)把直线x-y+‎3‎-1=0绕点(1,‎3‎)逆时针旋转15°后,所得直线l的方程是(　　)‎ A.y=-‎3‎x B.y=‎3‎x ‎ C.x-‎3‎y+2=0 D.x+‎3‎y-2=0‎ ‎2.直线l的方程为Ax+By+C=0,若直线l过原点和第二、四象限,则(　　)‎ A.C=0,B>0 B.A>0,B>0,C=0‎ C.AB<0,C=0 D.AB>0,C=0‎ ‎3.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α,且sin α+cos α=0,则a,b满足(　　)‎ A.a+b=1 B.a-b=1‎ C.a+b=0 D.a-b=0‎ ‎4.(2018宁夏育才中学四模,6)过点A(1,2),且与原点距离最大的直线方程是(　　)‎ A.2x+y-4=0 B.x-2y+3=0‎ C.x+3y-7=0 D.x+2y-5=0‎ ‎5.经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,则直线的方程为(　　)‎ A.x+2y-6=0 B.2x+y-6=0‎ C.x-2y+7=0 D.x-2y-7=0‎ ‎6.已知点(3,1)和点(-4,6)在直线3x-2y+m=0的两侧,则(　　)‎ A.m<-7或m>24 B.-70,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为　　　　　. ‎ ‎12.根据所给条件求直线的方程:‎ ‎(1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为‎10‎‎10‎;‎ ‎(2)直线过点P(4,1),且在两坐标轴上的截距相等;‎ ‎(3)直线过点(5,10),到原点的距离为5.‎ 综合提升组 ‎13.(2018重庆一中期中,6)已知直线方程为cos 300°x+sin 300°y=3,则直线的倾斜角为(　　)‎ A.60° B.60°或300°‎ C.30° D.30°或330°‎ ‎14.(2018河南适应性考试,4)已知函数f(x)=ex在点(0,f(0))处的切线为l,动点(a,b)在直线l上,则2a+2-b的最小值是(　　)‎ A.4 B.2‎ C.2‎2‎ D.‎‎2‎ ‎15.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是　　　　　. ‎ ‎16.已知直线l过点M(1,1),且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点.当|MA|2+|MB|2取得最小值时,则直线l的方程为　　　　　　　　　　. ‎ 创新应用组 ‎17.(2018陕西西安八校一联,11)曲线y=x3上一点B处的切线l交x轴于点A,△OAB(O为原点)是以A为顶点的等腰三角形,则切线l的倾斜角为(　　)‎ A.30° B.45°‎ C.60° D.120°‎ ‎18.(2018天津耀华中学2017~2018学年高二上学期中,14)过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A,B两点,则使|PA|·|PB|的值最小时直线l的方程为　　　　　. ‎ 参考答案 课时规范练44　直线的倾斜角、斜率与直线的方程 ‎1.B　已知直线的斜率为1,则其倾斜角为45°,绕点逆时针旋转15°后,则直线l的倾斜角α=45°+15°=60°,直线l的斜率为tan α=tan 60°=‎3‎,‎ ‎∴直线l的方程为y-‎3‎=‎3‎(x-1),即y=‎3‎x.‎ ‎2.D　由题意,化直线l的方程为斜截式方程y=-ABx+-CB,‎ 因为直线过原点和第二、四象限,所以-AB<0,且-CB=0,所以AB>0,C=0,故选D.‎ ‎3.D　由sin α+cos α=0,得sinαcosα=-1,即tan α=-1.‎ 又因为tan α=-ab,所以-ab=-1.‎ 即a-b=0,故应选D.‎ ‎4.D　过点A(1,2),且与原点距离最大的直线即为过点A且与OA垂直的直线.kOA=2,利用垂直的条件,可以求直线的斜率为-‎1‎‎2‎,所以直线方程为y-2=-‎1‎‎2‎(x-1),整理得x+2y-5=0.故选D.‎ ‎5.B　解法一:直线过点P(1,4),代入选项,排除A,D,又在两坐标轴上的截距均为正,排除C.‎ 解法二:设所求直线方程为xa+yb=1(a>0,b>0),将(1,4)代入得‎1‎a+‎4‎b=1,‎ a+b=(a+b)‎1‎a+‎4‎b=5+ba+‎4ab≥9,‎ 当且仅当b=2a,即a=3,b=6时等号成立,此时截距之和最小,所以直线方程为x‎3‎+y‎6‎=1,即2x+y-6=0.‎ ‎6.B　因为点(3,1)和点(-4,6)在直线3x-2y+m=0的两侧,所以(3×3-2×1+m)‎3×(-4)-2×6+m<0,即(m+7)(m-24)<0,解得-70,故a<0,b<0.‎ 根据基本不等式ab=-2(a+b)≥4ab,从而ab≤0(舍去)或ab≥4,故ab≥16,当且仅当a=b=-4时等号成立.即ab的最小值为16.‎ ‎12.解 (1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.‎ 设倾斜角为α,则sin α=‎10‎‎10‎(0<α<π),‎ 从而cos α=±‎3‎‎10‎‎10‎,则k=tan α=±‎1‎‎3‎.‎ 故所求直线方程为y=±‎1‎‎3‎(x+4),‎ 即x+3y+4=0或x-3y+4=0.‎ ‎(2)设直线l在x,y轴上的截距均为a.‎ 若a=0,即l过(0,0)及(4,1)两点,‎ ‎∴l的方程为y=‎1‎‎4‎x,即x-4y=0.‎ 若a≠0,则设l的方程为xa+ya=1,‎ ‎∵l过点(4,1),∴‎4‎a+‎1‎a=1,‎ ‎∴a=5,‎ ‎∴l的方程为x+y-5=0.‎ 综上可知,直线l的方程为x-4y=0或x+y-5=0.‎ ‎(3)当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0;‎ 当斜率存在时,设其为k,‎ 则所求直线方程为y-10=k(x-5),‎ 即kx-y+(10-5k)=0.‎ 由点到直线的距离公式,得‎|10-5k|‎k‎2‎‎+1‎=5,解得k=‎3‎‎4‎.‎ 故所求直线方程为3x-4y+25=0.‎ 综上可知,所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.‎ ‎13.C　由直线方程为cos 300°x+sin 300°y=3,‎ 知k=-cos 300°‎sin 300°‎=-cos(360°-60°)‎sin(360°-60°)‎=-cos(-60°)‎sin(-60°)‎=cos 60°‎sin 60°‎=‎3‎‎3‎.‎ 因为直线倾斜角的范围为[0°,180°),所以其倾斜角为30°,故选C.‎ ‎14.D　由题得f'(x)=ex,f(0)=e0=1,k=f'(0)=e0=1.∴切线方程为y-1=x-0,即x-y+1=0,∴a-b+1=0,∴a-b=-1,∴2a+2-b≥2‎2‎a‎·‎‎2‎‎-b=2‎2‎a-b=2‎2‎‎-1‎=‎2‎(当且仅当a=-‎1‎‎2‎,b=‎1‎‎2‎时取等号),故选D.‎ ‎15.5　易知A(0,0),B(1,3),且PA⊥PB,‎ ‎∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,‎ ‎∴|PA|·|PB|≤‎|PA‎|‎‎2‎+|PB‎|‎‎2‎‎2‎=5‎ ‎(当且仅当|PA|=|PB|时等号成立).‎ ‎16.x+y-2=0　设直线l的斜率为k,由题意k<0,直线l的方程为y-1=k(x-1),则A1-‎1‎k,0,B(0,1-k),‎ 所以|MA|2+|MB|2‎ ‎=1-1+‎1‎k2+12+12+(1-1+k)2=2+k2+‎‎1‎k‎2‎ ‎≥2+2k‎2‎‎·‎‎1‎k‎2‎=4,‎ 当且仅当k2=‎1‎k‎2‎,即k=-1时等号成立,此时直线l的方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.‎ ‎17.C　对y=x3求导得y'=3x2,设切点B(x0,x‎0‎‎3‎),则B点处的切线l的斜率为3x‎0‎‎2‎.‎ ‎∴切线l的方程为y-x‎0‎‎3‎=3x‎0‎‎2‎(x-x0).‎ 令y=0,得A‎2‎‎3‎x0,0.‎ ‎∵△OAB是以A为顶点的等腰三角形,‎ ‎∴|OA|=|AB|,即‎2‎‎3‎x0=x‎0‎‎3‎‎2‎‎+‎‎(x‎0‎‎3‎)‎‎2‎.‎ ‎∴x‎0‎‎4‎=‎1‎‎3‎.‎ ‎∴切线l的斜率为3x‎0‎‎2‎=‎3‎.‎ ‎∴切线l的倾斜角为60°.‎ 故选C.‎ ‎18.x+y-3=0　‎ 如图所示,设∠BAO=θ,0°<θ<90°,‎ ‎|PA|=‎1‎sinθ,|PB|=‎2‎cosθ,‎ ‎∴|PA|·|PB|=‎2‎sinθ·cosθ=‎4‎sin2θ,‎ 当2θ=90°,即θ=45°时,|PA|·|PB|取最小值,‎ 此时直线的倾斜角为135°,斜率为-1,‎ ‎∴直线的方程为y-1=-1(x-2),‎ 即x+y-3=0.‎