【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第二章第5讲 指数与指数函数学案
第5讲 指数与指数函数
1．根式
(1)根式的概念
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
②a的n次方根的表示：
xn＝a⇒
(2)根式的性质
①()n＝a(n∈N*，n＞1)．
②＝
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0
0时，y>1；
当x<0时，00时，01
在R上是增函数
在R上是减函数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)＝()n＝a.( )
(2)(－1)＝(－1)＝.( )
(3)函数y＝a－x是R上的增函数．( )
(4)函数y＝a (a>1)的值域是(0，＋∞)．( )
(5)函数y＝2x－1是指数函数．( )
(6)若am0，且a≠1)，则m0且a≠1)的图象恒过定点A，则A的坐标为( )
A．(0，1) B．(2，3)
C．(3，2) D．(2，2)
解析：选B．令x－2＝0，则x＝2，f(2)＝3，即A的坐标为(2，3)．
(教材习题改编)指数函数y＝f(x)的图象经过点(m，3)，则f(0)＋f(－m)＝________．
解析：设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，
所以f(0)＝a0＝1.
且f(m)＝am＝3.
所以f(0)＋f(－m)＝1＋a－m＝1＋＝.
答案：
若指数函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知00)．
【解】 (1)原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝－ab－3÷
＝－ab－3÷＝－a·b
＝－·＝－.
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
[注意] 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，
形式力求统一．
[通关练习]
化简下列各式：
(1)(0.027)＋－；
(2)·.
解：(1)原式＝0.32＋－ ＝＋－＝.
(2)原式＝＝＝.
指数函数的图象及应用
[典例引领]
(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是 ( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．00，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(4)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
[通关练习]
1．函数y＝(a>1) 的图象大致是( )
解析：选B．y＝因为a>1，依据指数函数的图象特征可知选B．
2．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是________．
解析：方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有两个不等实根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．
(1)当0＜a＜1时，如图①，所以0＜2a＜1，即
0＜a＜；
(2)当a＞1时，如图②，而y＝2a＞1不符合要求．
所以0＜a＜.
答案：
指数函数的性质及应用(高频考点)
指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：
(1)比较指数式的大小；
(2)解简单的指数方程或不等式；
(3)复合函数的单调性；
(4)函数的值域(最值)．
[典例引领]
角度一 比较指数式的大小
设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．a0.60.6>0.61.5，即b0，
所以1.50.6>1.50＝1，
即c>1.综上，b－3，此时－30，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
应用指数函数性质解题时应注意3点
(1)判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．
(2)指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分01两种情况分类讨论．
(3)对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围．
1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
解析：选A．将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．
2．化简4a·b÷的结果为( )
A．－ B．－
C．－ D．－6ab
解析：选C．原式＝a－b＝－6ab－1＝－，故选C．
3．已知a＝2，b＝4，c＝25，则( )
A．b0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选B．由f(1)＝得a2＝，所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B．
5．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，＋∞)
解析：选C．因为f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
即＝－，
整理得(a－1)(2x＋1)＝0，
所以a＝1，
所以f(x)>3即为>3，
当x>0时，2x－1>0，
所以2x＋1>3·2x－3，
解得00，所以16－4x<16，
所以0≤16－4x<16，
即0≤y<4.
答案：[0，4)
7．若函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a＝________．
解析：当a>1时，f(x)＝ax－1在[0，2]上为增函数，
则a2－1＝2，所以a＝±，
又因为a>1，所以a＝.
当00，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)．若不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解：把A(1，6)，B(3，24)代入f(x)＝b·ax，
得
结合a>0，且a≠1，解得
所以f(x)＝3·2x.
要使＋≥m在x∈(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y＝＋在(－∞，1]上的最小值不小于m即可．
因为函数y＝＋在(－∞，1]上为减函数，
所以当x＝1时，y＝＋有最小值.
所以只需m≤即可．
即m的取值范围为.
10．已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝，
令g(x)＝－x2－4x＋3，
由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝在R上单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，
单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，
由于f(x)有最大值3，
所以g(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
1．已知实数a，b满足等式＝，下列五个关系式：
①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.
其中不可能成立的关系式有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B．函数y1＝与y2＝的图象如图所示．
由＝得，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.
故①②⑤可能成立，③④不可能成立．
2．已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )
A．a<0，b<0，c<0
B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c
D．2a＋2c<2
解析：选D.作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，
因为af(c)>f(b)，
结合图象知，00，
所以0<2a<1.
所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，
所以f(c)<1，所以0f(c)，
所以1－2a>2c－1，
所以2a＋2c<2，故选D.
3．若函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．
解析：依题意，a应满足解得0，
等价于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解，
记g(m)＝2am2－m－1，
当a＝0时，解为m＝－1<0，不成立．
当a<0时，开口向下，对称轴m＝<0，
过点(0，－1)，不成立．
当a>0时，开口向上，
对称轴m＝>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得a>0.
6．已知定义在R上的函数f(x)＝2x－，
(1)若f(x)＝，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当x<0时，f(x)＝0，无解；
当x≥0时，f(x)＝2x－，
由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0，
将上式看成关于2x的一元二次方程，
解得2x＝2或2x＝－(舍去)，
因为2x>0，所以x＝1.
(2)当t∈[1，2]时，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，
因为22t－1＞0，所以m≥－(22t＋1)，
因为t∈[1，2]，所以－(22t＋1)∈[－17，－5]，
故实数m的取值范围是[－5，＋∞)．
