【数学】山东省临沂市罗庄区2019-2020学年高一下学期期末考试试题

【数学】山东省临沂市罗庄区2019-2020学年高一下学期期末考试试题

山东省临沂市罗庄区2019-2020学年 高一下学期期末考试试题 注意事项：‎ 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和2B铅笔分别涂写在答题卡上；‎ 将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上.试题不交，只交答题卡.‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若复数满足为虚数单位），则在复平面上对应的点的坐标为　　‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.从分别写有 ，，，， 的 张卡片中随机抽取 张，放回后再随机抽取 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.如图所示的直观图中，，则其平面 ‎ 图形的面积是 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎4.已知非零向量，，若，且， ‎ 则与的夹角为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎5.设是一条直线，，是两个平面，下列结论正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎6.已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为 ‎，若的面积为，则该圆锥的体积为　　‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.已知数据，，，的方差为4，若，2，，，‎ 则新数据，，，的方差为　　‎ A．16 B．13 C． D．‎ ‎8.已知 的三个内角 ，， 所对的边分别为 ，，，‎ ‎，则 等于 ‎ A. B. C. D. ‎ 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分.‎ ‎9．若干个人站成一排，其中不是互斥事件的是（ ）‎ A.“甲站排头”与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙不站排尾”‎ C.“甲站排头”与“乙站排尾” D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”‎ ‎10．下面是甲、乙两位同学高三上学期的5次联考的数学成绩，现只知其从第1次到第5次分数所在区间段分布的条形图（从左至右依次为第1至第5次），则从图中可以读出一定正确的信息是（ ）‎ A．甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数 B．甲同学的成绩的中位数在115到120之间 C．甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差 D．甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数 ‎11．已知，，是同一平面内的三个向量，下列命题正确的是（ ）‎ A. ‎ B.若且，则 ‎ C.两个非零向量，，若，则与共线且反向 ‎ D.已知，，且与的夹角为锐角， 则实数的取值范围是，‎ ‎12．在四棱锥中，底面是正方形，底 ‎ 面，，截面与直线平行，与 ‎ 交于点，则下列判断正确的是　　‎ A．为的中点 ‎ B．与所成的角为 ‎ C．平面 ‎ D．三棱锥与四棱锥的体积之比等于 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. ‎ ‎13．若复数 满足方程 ，则 .‎ ‎14.如图，在中，已知是延长线上一点，点为线段的中点，若 ，‎ 且 ，则 .‎ ‎15.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 . ‎ ‎ ‎ ‎16．如图，在正方体 中，点 为线段 的中点，设点 在 线段 上，直线 与平面 所成的角为 ，则的最小值 ，最大 值 . ‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程 ‎17.（本小题满分10分） ‎ 如图所示，是的重心，， 分别是边 ， 上的动点，且 ，， 三点共线． ‎ ‎（1）设 ，将 用 ，， 表示；‎ ‎（2）设 ，，求的值．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知函数，且当 时，的最小值为 ，‎ ‎（1）求的值，并求 的单调递增区间；‎ ‎（2）先将函数 的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 ，再将所得的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，当时，求的的集合．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱锥中，,底面，‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若,,是的中点，求与平面所成角的正切值.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的 名学生中随机抽取 名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于 分到 分之间（满分 分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组 ，第二组 ，，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．‎ ‎（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；‎ ‎（2）用样本数据估计该校的 名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；‎ ‎（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取 名，求他们的分差的绝对值小于分的概率．‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ ‎ 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知．‎ ‎（1）求 的值；‎ ‎（2）若 ，，求 的面积．‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱柱 中，是正方形的中心，，‎ 平面 ，且 ． ‎ ‎（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；‎ ‎（2）求二面角 的正弦值；‎ ‎（3）设为棱的中点，在上，并且,点在平面内，且平面，证明：ME∥平面．‎ ‎【参考答案】‎ 一、单项选择题： CDABC CAD ‎ 二、多项选择题： 9.BCD 10.BD 11.AC 12.ACD 二、填空题：13. 14. 15. 16.， ‎ 三、解答题：‎ ‎17. 解：（1） ‎ ‎。…………………………5分 ‎ （2）由（1）得 ，……① ……7分 另一方面，因为 是 的重心，‎ 所以， ……② ……9分 由①②得 ，‎ ‎∴．……………………………………………………10分 ‎18.解：（1）函数，…2分 ‎∵，∴ ，‎ ‎，得 ，………………………………………3分 即 ．‎ 令 ，‎ 得 ，………………………………………………5分 ‎∴函数 的单调递增区间为 ．………………6分 ‎（2）由（1）得 ，由 的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 ，得，…………………………7分 再将图象向右平移 个单位，‎ 得，……………………………9分 又∵．即，…………………………………………………10分 ‎∴，‎ 即．…………………………………………………11分 ‎∵ ，∴不等式的解集。 …………………………12分 ‎19.（1）证明：在三棱锥中， ‎ ‎∵底面，∴。………2分 又∵,即，， …………………………3分 ‎∴平面, ………………………………………………5分 平面∴平面平面。 …………………………6分 ‎（2）解：在平面内，过点 作，连结， ……………7分 ‎∵平面平面，‎ ‎∴平面, ………………………………………8分 ‎∴是直线与平面所成的角。 ………9分 在中，∵，,‎ ‎∴为的中点，且，‎ 又∵是的中点，在中，…………………………10分 ‎∵平面,平面，‎ ‎∴，………………………11分 在直角三角形中，。……………12分 ‎20. 解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：‎ ‎．……2分 完成频率分布直方图如下：‎ ‎ ………………4分 ‎  （2） 用样本数据估计该校的 名学生这次考试成绩的平均分为：‎ ‎。 ………………8分 ‎  （3）样本成绩属于第六组的有 人，样本成绩属于第八组的有 ‎ 人， ………………………………………………9分 记第六组的3人为，，；第八组的2人为，。‎ 从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取名，基本事件，，，，，，，，，，‎ 基本事件总数为。 ………………………………10分 他们的分差的绝对值小于分包含的基本事件个数，，，， ‎ ‎． ………………………………11分 故他们的分差的绝对值小于分的概率 ．……………12分 ‎21. 解：（1）∵，‎ ‎∴由正弦定理可知 ，………………2分 即 ，‎ ‎∴ ，…………………………………………………3分 ‎∵ ，∴ ，‎ ‎∵ ，∴，∵，……………………………………5分 ‎∴ ．…………………………………………………6分 ‎  （2）∵ ，，‎ ‎∴由余弦定理 ，可得，‎ ‎∴ ，…………………………………………………………9分 ‎∵ ，∴解得 ，…………………………………………………11分 ‎∴ ．…………………………12分 ‎22.解：(1）∵ ，∴ 是异面直线与所成的角．……1分 ‎∵平面，又为正方形的中心，，．可得 ‎∴ …………………………3分 ‎∴异面直线与 所成角的余弦值为． …………………………4分 ‎（2）连接 ，易知 ，又由于 ，，‎ ‎∴ ，…………5分 过点作于点，连接，得，‎ 故为二面角的平面角．‎ 在中，。‎ 连接 ，在 中，，，‎ ‎，………………………………7分 ‎ 从而 ‎∴二面角 的正弦值为 ．……………………………………8分 ‎（3）∵平面 ，∴．‎ 取 中点 ，则，连接 ，由于 是棱 中点，‎ ‎∴ ,又 平面，‎ ‎∴ 平面，…………………9分 故．又 ，‎ ‎∴ 平面，∴，‎ ‎∵是正方形，∴，………10分 连接，由，得，‎ ‎∴三点共线，‎ ‎，………………………………………………………………………11分 平面，‎ ‎∴平面。…………………………………………………………12分