河北省涿鹿县涿鹿中学2019-2020学年高一下学期第一次月考数学试题

河北省涿鹿县涿鹿中学2019-2020学年高一下学期第一次月考数学试题

高一年级3月月考卷 一、单选题（每题5分）‎ ‎1.已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平面向量共线和垂直的坐标表示可得出结果.‎ ‎【详解】，，，则，，，‎ 因此，，，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查向量的坐标运算，涉及共线向量和向量垂直的坐标表示，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎2.对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为，所以选项A正确；当与方向相反时，‎ 不成立，所以选项B错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C正确；，所以选项D正确．故选B．‎ ‎【考点定位】1、向量的模；2、向量的数量积．‎ ‎3.已知非零向量，满足：，，，则向量，的夹角大小为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，，，求出，再由向量的夹角公式，即可求解.‎ ‎【详解】由，有，则，‎ 有.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查向量的数量积运算，考查向量的夹角，属于基础题.‎ ‎4.在中， ，那么这样的三角形有（　　）‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 据余弦定理可得，代入题中数据化简得，由根的判别式与韦达定理得到该方程有两个不相等的正实数根，由此可得有两个解．‎ ‎【详解】解：在中，，，，‎ 由余弦定理，得：，‎ 得：… ‎ ‎，且两根之和、两根之积都为正数，‎ 方程有两个不相等的正实数根，即有两个边满足题中的条件．‎ 由此可得满足条件的有两个解．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用余弦定理解三角形、一元二次方程根的判别式与韦达定理等知识，属于基础题．‎ ‎5.已知向量（2，1），点C（﹣1，0），D（3，2），则向量在方向上的投影为（ ）‎ A. B. ﹣2 C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用向量的加减运算可得，运用向量的数量积的坐标表示，以及向量在方向上的投影，即可得到所求值．‎ ‎【详解】向量，点，，可得，‎ 所以，，‎ 所以向量在方向上的投影为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示以及向量的投影的概念，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎6.已知，是非零向量，且向量，的夹角为，若向量，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的模的定义以及向量数量积定义求解.‎ ‎【详解】,选D.‎ ‎【点睛】本题考查向量的模的定义以及向量数量积定义，考查基本求解能力，属基本题.‎ ‎7.如图，两个全等的直角边长分别为的直角三角形拼在一起，若，则等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立坐标系，求出点坐标，从而得出，的值．‎ ‎【详解】解：，，，，‎ 以，为坐标轴建立坐标系，则．‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．‎ ‎8.在中，（　　）‎ A. B. C. 或 D. 以上都不对 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在三角形中，根据正弦定理可知，，所以 ，再根据正弦定理即可求出c.‎ ‎【详解】在三角形中，由正弦定理知，，所以由内角和定理知，由正弦定理知， ，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角形中正弦定理的应用，属于中档题.‎ ‎9.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，‎ ‎∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，‎ ‎∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，‎ ‎∴cosAsinC+sinAsinC=0，‎ ‎∵sinC≠0，‎ ‎∴cosA=﹣sinA，‎ ‎∴tanA=﹣1，‎ ‎∵＜A＜π，‎ ‎∴A= ，‎ 由正弦定理可得，‎ ‎∵a=2，c=，‎ ‎∴sinC== ，‎ ‎∵a＞c，‎ ‎∴C=，‎ 故选B．‎ 点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ ‎10.在锐角中，角所对的边分别为，若，，‎ ‎，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在锐角中，利用，，可求得，再利用，由余弦定理可求得，解方程组可求得的值．‎ ‎【详解】∵在锐角中，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，①‎ 又，是锐角，∴，‎ ‎∴由余弦定理得：，‎ 即，‎ ‎∴②‎ 由①②得：，解得．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，考查方程思想与运算能力，属于中档题 ‎11.在中，为所在平面内一点，且，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得ABCD为矩形，利用三角形面积公式求解即可 ‎【详解】由题可作如图所示的矩形，则易知，则，则，所以 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数与向量的结合，正弦定理，三角形面积公式，是基础题 ‎12.已知的三个内角所对的边分别为，满足，且，则的形状为（ ）‎ A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 顶角为的等腰三角形 D. 顶角为的等腰三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用同角三角函数基本关系得，结合正余弦定理得进而得B,再利用化简得,得A值进而得C,则形状可求 ‎【详解】由题 ‎ 即，由正弦定理及余弦定理得 即 ‎ 故 整理得 ，故 ‎ 故为顶角为的等腰三角形 故选D ‎【点睛】本题考查利用正余弦定理判断三角形形状，注意内角和定理，三角恒等变换的应用，是中档题 二、填空题（每题5分）‎ ‎13.若两个非零向量满足，则向量与的夹角为_____．‎ ‎【答案】60°．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得：，即可以，为边构造一个矩形，利用已知得解．‎ ‎【详解】解：∵，‎ ‎∴，‎ 如图，，，‎ ‎，‎ 由题意，|OC|＝2|OA|，‎ ‎∴∠AOC＝60°，‎ 即向量与向量的夹角为60°，‎ 故答案为60°．‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的加、减的三角形法则，还考查了向量模的定义及几何计算，属于中档题．‎ ‎14.数列,,,，,…的一个通项公式为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 分别观察分子分母的特点，归纳出通项公式来.‎ ‎【详解】数列,,,,…，‎ 观察该数列各项的特征是由分数组成，且分数的分子与项数相同，分子与分母相差1，‎ 由此得出该数列的一个通项公式为．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用观察法求解数列的通项公式，发现蕴含的规律是求解的关键.‎ ‎15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶‎600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ________ m. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由题设可知在中,,由此可得 ‎,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.‎ 考点：正弦定理及运用．‎ ‎16.在中，角所对的边分别为，若的面积为，则的最大值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据三角形的面积公式以及余弦定理，采用整体代换，结合辅助角公式，可得结果.‎ ‎【详解】由面积公式得，，‎ 即,‎ 由余弦定理得，所以 则 其中，，‎ 故当时，取得最大值.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查解三角形中面积公式，余弦定理的应用，以及对辅助角公式的考查，熟练掌握公式，细心计算，属中档题.‎ 三、解答题（17题10分，其余每题12分）‎ ‎17.已知向量；‎ ‎（1）若3与共线，求m；‎ ‎（2）若，求||.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出，，由与共线，能求出；‎ ‎（2）由，求出，从而，由此能求出．‎ ‎【详解】解：（1），，‎ ‎∵与共线，‎ ‎∴﹣3（‎2m+6）﹣13（2﹣‎3m）＝0，解得；‎ ‎（2）∵‎ ‎∴，解得m＝4，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题主要考查向量平行与垂直的坐标运算，属于基础题．‎ ‎18.如图所示，在中，是以为中点的点的对称点，，和交于点，设，.‎ ‎（1）用和表示向量、；‎ ‎（2）若，求实数值.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据平面向量加减运算的三角形法则可得出、关于、的表达式；‎ ‎（2）利用向量减法的三角形法则可得出，设，可建立有关、的方程组，即可解出实数的值.‎ ‎【详解】（1）由题意知，是线段中点，且.‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2），‎ 由题可得，且，‎ 设，即，则有，解得.‎ 因此，.‎ ‎【点睛】本题考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及共线向量、平面向量基本定理，考查方程思想的应用，属于中等题.‎ ‎19.已知分别为三个内角对边，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若是上一点，且，，，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先根据正弦定理得到，再由辅助角公式得到 ‎，即可求出的值.‎ ‎（2）首先根据题意得到是中点，即，再平方即可得到，再利用余弦定理即可求出的值.‎ ‎【详解】（1）在中由正弦定理，‎ ‎∴，‎ ‎∵，得：，即 ‎∵，∴，∴.‎ ‎（2）∵，∴是中点，.‎ 则，‎ ‎∴代入得：，‎ 即，∴或（舍）.‎ 在中，‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，同时考查了向量的线性运算，属于中档题.‎ ‎20.中，三个内角的对边分别为，若，，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得若，则有cosB•（‎2a+c）+cosC•b=0，结合正弦定理可得cosB•（2sinA+sinC）+cosC•sinB=0，将其整理变形可得 ‎，由B的范围分析可得答案；（2）结合题意，根据余弦定理分析可得49=a2+c2+ac，又由a+c=8，变形可得ac=15，由三角形面积公式计算可得答案．‎ 详解：‎ ‎（1）∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴，∴.‎ ‎（2）根据余弦定理可知，∴，‎ 又因为，∴，∴，∴，‎ 则.‎ 点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ ‎21.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，且面积为，求a的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角，整理计算可得，则.‎ ‎（Ⅱ）由三角形面积公式可得：，结合余弦定理计算可得，则.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由正弦定理得，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，即．‎ ‎∵∴，‎ ‎∴∴．‎ ‎（Ⅱ）由：可得．‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴由余弦定理得：，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．‎ ‎22.已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若C为钝角且c，求△ABC的周长的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或9（2）（2，2]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据条件求解，然后结合正弦定理可得；‎ ‎（2）求解角，结合正弦定理表示出三角形的周长，结合角的范围可得周长的取值范围.‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 所以.A∈（0，π）.‎ 解得或.‎ 因为，所以，‎ 所以或9.‎ ‎（2）若C为钝角，所以，C∈（0，π）.‎ 所以.‎ 又，所以A+B，.‎ 所以.‎ ‎△ABC的周长＝‎ A∈（0，），A∈（，），‎ 所以.‎ 所以△ABC的周长的范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用正弦定理求解三角形，三角形中的范围问题一般是转换为角的表达式，然后根据角的范围求解，侧重考查数学运算的核心素养.‎