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文档介绍
2021高三数学人教B版一轮学案:第二章 第十二节 第3课时 导数与函数的零点问题
www.ks5u.com 第3课时 导数与函数的零点问题 1.两类零点问题的不同处理方法:利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0.①直接法:判断一个零点时,若函数为单调函数,则只需取值证明f(a)·f(b)<0;②分类讨论法:判断几个零点时,需要先结合单调性,确定分类讨论的标准,再利用零点存在性定理,在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)<0. 2.已知函数有零点求参数范围常用的方法:(1)分离参数法:一般命题情境为给出区间,求满足函数零点个数的参数范围,通常解法为从f(x)中分离出参数,然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分类讨论法:一般命题情境为没有固定区间,求满足函数零点个数的参数范围,通常解法为结合单调性,先确定参数分类的标准,在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意,将满足题意的参数的各小范围并在一起,即为所求参数范围. 考向一 判断或证明函数零点个数 【例1】 (2019·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=sinx-ln(1+x),f′(x)为f(x)的导数,证明: (1)f′(x)在区间(-1,)存在唯一极大值点; (2)f(x)有且仅有2个零点. 【解】 (1)设g(x)=f′(x), 则g(x)=cosx-,g′(x)=-sinx+. 当x∈(-1,)时,g′(x)单调递减,而g′(0)>0,g′()<0,可得g′(x)在(-1,)有唯一零点,设为α.则当x∈(-1,α)时,g′(x)>0;当x∈(α,)时,g′(x)<0. 所以g(x)在(-1,α)单调递增,在(α,)单调递减,故g(x)在(-1,)存在唯一极大值点,即f′(x)在(-1,)存在唯一极大值点. (2)f(x)的定义域为(-1,+∞). (ⅰ)当x∈(-1,0]时,由(1)知,f′(x)在(-1,0)单调递增,而f′(0)=0,所以当x∈(-1,0)时,f′(x)<0,故f(x)在(-1,0)单调递减.又f(0)=0,从而x=0是f(x)在(-1,0]的唯一零点. (ⅱ)当x∈(0,]时,由(1)知,f′(x)在(0,α)单调递增,在(α,)单调递减,而f′(0)=0,f′()<0,所以存在β∈(α,),使得f′(β)=0,且当x∈(0,β)时,f′(x)>0;当x∈(β,)时,f′(x)<0.故f(x)在(0,β)单调递增,在(β,)单调递减.又f(0)=0,f()=1-ln(1+)>0,所以当x∈(0,]时,f(x)>0.从而,f(x)在(0,]没有零点. (ⅲ)当x∈(,π]时,f′(x)<0,所以f(x)在(,π)单调递减.而f()>0,f(π)<0,所以f(x)在(,π]有唯一零点. (ⅳ)当x∈(π,+∞)时,ln(x+1)>1,所以f(x)<0,从而f(x)在(π,+∞)没有零点. 综上,f(x)有且仅有2个零点. 方法技巧 函数零点个数也就是函数图象与x 轴交点的个数,所以可以借助函数图象的特征迅速求解函数的零点个数问题.对于含参函数的零点个数,一般可从两个方面讨论: (1)利用导数研究函数的单调性和极值,作出函数的大致图象,根据极大值和极小值的符号确定函数零点的个数,即“几个交点几个根,正负极值定乾坤”; (2)分离参数,将问题转化为:求直线y=a与函数y=f(x)的图象交点个数问题,即“求根问题要通变,分离参数放左边”. 设函数f(x)=lnx+,m∈R.讨论函数g(x)=f′(x)-零点的个数. 解:由题设,g(x)=f′(x)-=--(x>0),令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0). 设φ(x)=-x3+x(x>0), 则φ′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1), 当x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增;当x∈(1,+∞)时,φ′(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减. 所以x=1是φ(x)的极大值点,也是φ(x)的最大值点. 所以φ(x)的最大值为φ(1)=. 由φ(0)=0,结合y=φ(x)的图象(如图), 可知①当m>时,函数g(x)无零点; ②当m=时,函数g(x)有且只有一个零点; ③当0查看更多